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1、一、等积变换模型 等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如上图 12 :SSa b 夹在一组平行线之间的等积变形，如下图 ACDBCD SS= ； 反之，如果 ACDBCD SS ，则可知直线AB平行于CD。 正方形的面积等于对角线长度平方的一半； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 五大模型 二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图，在ABC中，,D
2、 E分别是,AB AC上的点 (如图1)或在的延长线上，在上(如图2)，则 :() : () ABCADE SSABACADAE 图 1 图 2 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系( “ 蝴蝶定理 ”)： 1243 :SSSS 或者 1324 SSSS 1243:AO OCSSSS 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不 规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例 关系。 梯形中比例关系( “ 梯形蝴蝶定理 ”) 22 13:SSab 22 1324:SSSSabab ab ； 梯形的对应份数为
3、 2 ab。 四、相似模型 相似三角形性质： 金字塔模型沙漏模型 ADAEDEAF ABACBCAG ； 22 : ADEABC SSAFAG 。 所谓的相似三角形，就是形状相同， 大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它 们都相似 )，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。 五、燕尾定理模型 SABGSAGCSBGESEGCBEEC SBGASBGCSAGFSFGCAFFC SAGCSBCGSADGSDGBADDB 典型例题精讲 例 1一个长方形分成4 个不同的三角
4、形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15 倍，黄色三角形的面积是 21 平方厘米。问：长方形的面积是_平方厘米。 例 1 图 例 2如图，三角形田地中有两条小路AE 和 CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道 DF DC， 且 AD2DE 。则两块地ACF 和 CFB 的面积比是 _。 例 2 图 【举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3， 7，7，则阴影四边形的面积是多少？ 举一反三图 【拓展】如图，已知长方形ADEF 的面积 16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三 角形 ABC 的面积是多少？ 拓展图 例
5、3如图，将三角形ABC 的 AB 边延长 1 倍到 D，BC 边延长 2 倍到 E，CA 边延长 3 倍到 F。如果三角 形 ABC 的面积等于1，那么三角形DEF 的面积是 _。 例 3 图 【拓展】如图，在ABC 中，延长AB 至 D，使 BD AB,延长 BC 至 E，使 1 2 CEBC ，F 是 AC 的中点， 若 ABC 的面积是2，则 DEF 的面积是多少？ 拓展图 例 4如图，在 ABC 中，已知M、N 分别在边AC、BC 上， BM 与 AN 相交于 O，若 AOM、 ABO 和 BON 的面积分别是3、2、1，则 MNC 的面积是 _。 例 4 图 【秒杀题】四边形ABCD
6、 的对角线AC 与 BD 交于点 O（如图所示） 。如果三角形ABD 的面积等于三角形 BCD 的面积的 1 3 ，且 AO2， DO3, 那么 CO 的长度是DO 的长度的 _倍。 秒杀题图 例 5如图，四边形 EFGH 的面积是66 平方米， EAAB，CB BF，DCCG，HD DA，求四边形ABCD 的面积。 例 5 图 例 6如右图长方形ABCD 中， EF16，F 9，求 AG 的长。 例 6 图 【铺垫】图中四边形ABCD 是边长为12cm 的正方形，从G 到正方形顶点C、D 连成一个三角形，已知 这个三角形在AB 上截得的EF 长度为 4cm，那么三角形GDC 的面积是多少？
7、铺垫图 例 7如图， 长方形 ABCD 中，E 为 AD 中点， AF 与 BE、BD 分别交于G、H，已知 AH5cm，HF 3cm， 求 AG。 例 7 图 例 8如右图，三角形ABC 中， BDDC49，CEEA43，求 AFFB。 例 8 图 【拓展】如图，三角形ABC 的面积是1，BDDEEC， CF FGGA，三角形ABC 被分成 9 部分，请 写出这 9 部分的面积各是多少? 拓展图 例 9如右图， ABC 中， G 是 AC 的中点， D、E、F 是 BC 边上的四等分点，AD 与 BG 交于 M，AF 与 BG 交于 N，已知 ABM 的面积比四边形FCGN 的面积大7.2 平方厘米，则ABC 的面积是多少平 方厘米？ 例 9 图 例 10如图，在正方形ABCD 中， E、F 分别在 BC 与 CD 上，且 CE2BE，CF2DF，连接 BF，DE， 相交于点G，过 G 作 MN，PQ 得到两个正方形MGQA 和正方形PCNG，设正方形MGQA 的面积 为 S1，正方形PCNG 的面积为S2，则 S1：S2_。 例 10 图