选修2-3第二章概率统计复习题(教师版).pdf

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1、第二章（ 1） 一、基础知识汇总 1随机变量：随着_的变化而变化的变量 离散型随机变量：所有取值可以_的随机变量 2.离散型随机变量的分布列 (1) 一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为 12 , n xxx， X取每一个值 (1, 2,) i xin=的概率() ii P Xxp=，称表格 X 1 x 2 x , n x P 1 p 2 p , n p 为离散型随机变量X 的概率分布列 (2)性质： _ ； _- 练习 1（ 1） 一袋中有6 个同样大小的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3 球， 求取出球的最大号码的分布列。 X 3 4 5 6 P 1/20 3/

2、20 3/10 1/2 练习 1（ 2） 一袋中有5 只同样大小的球，编号分别为1,2,3,4,5 从中同时取出3 只，求取出 球最小的号码的分布列 X 1 2 3 P 3/5 3/10 1/10 练习 2 设随机变量的分布列()(1, 2, 3, 4, 5) 5 k Pak k （1）求常数a的值； （2）求 3 () 5 P； （3）求 17 () 1010 P答案： 142 ; 1555 a 练习 3 已知随机变量的的分布列为 210 1 2 3 P 1 12 1 4 1 3 1 12 1 6 1 12 分别求出随机变量 2 12 1 , 2 的分布列 1 11 2 0 1 2 1 3

3、2 P 1 12 1 4 1 3 1 12 1 6 1 12 2 0 1 4 9 P 1 3 1 3 1 4 1 12 练习 4 抛掷一枚质地均匀的硬币2 次，写出正面向上次数X 的分布列 X 0 1 2 P 1 4 1 2 1 4 3.典型的离散型随机变量 （1）两点分布成功概率为p X 1 0 P （2）超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次 品，则()_PXk=，k=_ 练习 1（只列式不计算） （1）在含有5 件次品的100 件产品中，任取3 件，求取到的次品数的分布列；至少取 到 1 件次品的概率 X 0 1 2 3 P 03 595 3 1

4、00 C C C 12 595 3 100 C C C 21 595 3 100 C C C 30 595 3 100 C C C P(X1) （2）从一副不含大小王的52 张扑克牌中任意抽出5 张，求至少3 张 A 的概率 3241 44844 8 55 5252 C CC C CC + （3）学校要从30 名候选人中选10 名同学组成学生会，其中某班有4 名候选人。假设每名 候选人都有相同的机会被选到，求该班恰有两名同学被选到的概率。 28 426 10 30 C C C （4） 生产方提供50 箱的一批产品， 其中有 2 箱不合格产品。 采购方接收该批产品的准则是： 从该批产品中任取5

5、箱产品进行检测，若至多有一箱不合格产品，便接收该批产品。问：该 批产品被接收的概率是多少？ 0514 24824 8 55 5050 C CC C CC + 能力提升 1. （09 川文）为振兴旅游业，四川省2009 年面向国内发行总量为2000 万张的熊猫优惠 卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡） ， 某旅游公司组织了一个有36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 3 4 是省外游客，其余是 省内游客，在省外游客中有 1 3 持金卡，在省内游客中有 2 3 持银卡 . （）在该团中随即采访2 名游客，求恰有1 人持银卡的概率； 2 7 （）在该团

6、中随机采访2 名游客，求其中持金卡与持银卡人数相当的概率. 44 105 2. 在 10 件产品中，有3件一等品， 4 件二等品， 3 件三等品。从这10 件产品中任取3 件， 求： （I ） 取出的 3 件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II ） 取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基 础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12 分。 （）解：由于从10 件产品中任取3 件的结果为 C k 3 ，从 1

7、0 件产品中任取3 件，其中恰有 k 件一等品的结果数为 CC kk3 73 ，那么从 10 件产品中任取3 件，其中恰有k 件一等品的 概率为 P(X=k)= C CC kk 3 10 3 73 ,k=0,1,2,3. 所以随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 P 24 7 40 21 40 7 120 3 X的数学期望EX= 10 9 120 1 3 40 7 2 40 21 1 24 7 0 （）解：设“取出的3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A， “恰好取出1 件 一等品和2 件三等品”为事件A1“恰好取出2 件一等品“为事件A2， ”恰好取出3 件 一等品”为事件A3由

8、于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1A2A3而 , 40 3 )( 3 10 2 3 1 3 1 C CC AP P(A2)=P(X=2)= 40 7 ,P(A3)=P(X=3)= 120 1 , 所以取出的3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 40 3 + 40 7 + 120 1 = 120 31 3.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球， 乙箱子里装有1个 白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球， 若摸出的白球不少于2个则获奖 （每次游戏结束后将球放回原箱） (

9、)求在1次游戏中， () 摸出3个白球的概率；() 获奖的概率； ()求在2次游戏中，获奖次数X的分布列及数学期望EX 【解】( )()设“ 在1次游戏中摸出i个白球 ” 为事件 i A0,1, 2, 3i，则 21 32 3 22 53 CC1 CC5 PA ()设 “ 在1次游戏中获奖” 为事件B，则 23 BAA， 21121 33222 2 2222 5353 CC CCC1 CCCC2 PA， 因为 2 A和 3 A互斥，所以 23 117 2510 PBPAPA () X的所有可能值为0,1, 2X 2 79 01 10100 PX， 1 2 7721 11 101050 PXC，

10、 2 749 2 10100 PX， 所以X的分布列是 数学期望 921497 012 100501005 EX 4.条件概率与事件的独立性 （1）条件概率 （2）事件的独立性：设事件 12 , n AAA，其中任一事件的发生不受其他事件的影响，称 这 n 个事件相互独立 练习1 甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天占 的比例分别为20% 和 18% ，两地同时下雨的比例为12% 。问： （1）乙地为雨天时甲地也为雨 天的概率是多少？ 2 3 （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？ 3 5 练习 2 一袋中有3 个白球、 2 个红球，每次从中任取2 个球

11、，取出后放回，求： （1）第一次取出的2 个球都是白球，第二次取出的2 个球都是红球的概率； 3 100 （2）第一次取出的2 个球是 1 白 1 红，第二次取出的2 个球都是白球的概率； 9 50 练习 3 甲乙 2 个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别是 1 3 和 1 4 ，求 X012 P9 100 21 50 49 100 （1）2 个人都译出密码的概率； 1 12 （2）2 个人都译不出密码的概率； 1 2 （3）恰有 1 人译 出密码的概率； 5 12 （4）至多 1 人译出密码的概率 11 12 （5）至少 1 人译出密码的概率 1 2 练习 4 甲乙两袋中有大小相

12、同的红球和白球，甲袋装有2 个红球 2 个白球；乙袋装有2 个 红球 n 个白球。甲乙两袋中各任取2 个球 （1）若 n=3，求取到的4 个球全是红球的概率 1 60 （2）若取到的4 个球中至少有2 个红球的概率为 3 4 ，求 n2 （11 湖北）7. 如图，用 21 AAK、三类不同的元件连接成一个系统，K正常工作且 21 AA 、 至少有一个正常工作时，系统正常工作. 已知 21 AAK、正常工作的概率依次为9.0、8.0、 8.0，则系统正常工作的概率为 A. 960.0 B. 864.0 C. 720.0 D. 576.0 【答案】 B 解析： 21 AA 、至少有一个正常工作的概

13、率为 21 1APAP 94.004.018.018.011， 系统正常工作概率为864.096.09.01 21 APAPKP，所以选 B. 5. 二项分布： 一般地，在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率，用X 表示事 件 A 发生的次数，设每次试验事件A 发生的概率为p，则 ()_P Xk=，k=_ 称随机变量X 服从二项分布，记作(,)XBnp 1.有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是 p(01)p ，假设每 位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为 A(1) n pB1 n pC n pD1(1) n p K A1 A2 2.

14、 一位国王的铸币大臣在每箱100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用 两种方法来检测。方法一：在10 箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5 箱中各任意抽查两 枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 1 p和 2 p，则 A. 1 p= 2 pB. 1 p 2 p D。以上三种情况都有可能 3将一枚均匀的硬币投掷6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率_ 4.（10 江苏）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%； 乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产 1 件甲产品，若是一等品则获得利润4 万元， 若是二等品则亏损1 万元

15、；生产1 件乙产品， 若是一等品则获得利润6 万元， 若是二 等品则亏损2 万元。设生产各种产品相互独立。 （1）记 X（单位： 万元） 为生产 1 件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求 X 的分布列； 求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于10 万元的概率 解析 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10 分。 解： （1）由题设知， X 的可能取值为10，5，2， -3，且 P（X=10 ）=0.80.9=0.72，P（X=5）=0.20.9=0.18， P（X=2 ）=0.80.1=0.08，P（X=-3 ） =0.20.1=0.02。 由此得 X 的分布列为： X1052

16、-3 P0.720.180.080.02 （2）设生产的4 件甲产品中一等品有n件，则二等品有4n件。 由题设知4(4)10nn，解得 14 5 n， 又nN，得3n，或4n。 所求概率为 334 4 0.80.20.80.8192PC 答：生产 4 件甲产品所获得的利润不少于10 万元的概率为0.8192。 5. （ 10 天津 18）. （本小题满分12 分） 某射手每次射击击中目标的概率是 2 3 ，且各次射击的结果互不影响。 （）假设这名射手射击5 次，求恰有2 次击中目标的概率 （）假设这名射手射击5 次，求有3 次连续击中目标。另外2 次未击中目标的概率； （）假设这名射手射击3

17、次，每次射击，击中目标得1 分，未击中目标得0 分，在 3 次射 击中，若有2 次连续击中，而另外1 次未击中，则额外加1 分；若 3 次全击中，则额外加3 分，记为射手射击3 次后的总的分数，求的分布列。 【解析】 本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件 和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12 分。 （1）解：设X为射手在5 次射击中击中目标的次数，则X 2 5, 3 B . 在 5 次射击中，恰 有 2 次击中目标的概率 22 2 5 2240 (2)1 33243 P XC （）解：设“第i次射击击中目标”为事件(1, 2

18、, 3, 4, 5) iAi； “射手在5 次射击中， 有 3 次连续击中目标，另外2 次未击中目标”为事件A, 则 123451234512345 ()()()()PAP A A A A APA A A A APA A A A A = 32323 2112112 3333333 = 8 81 （）解：由题意可知，的所有可能取值为0,1, 2, 3, 6 3 123 11 (0)() 327 PPA AA 123123123 (1)()()()PP A A AP A AAPA A A = 22 21121122 33333339 123 2124 (2)() 33327 PP A A A 12

19、3123 (3)()()PPA A APA A A 22 21118 333327 123 (6)()PPA A A 3 28 327 所以的分布列是 6.(11 大纲 18)( 本小题满分l2 分)( 注意：在试题卷上作答无效 ) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5 ，购买乙种保险但不购买甲种 保险的概率为0.3, 设各车主购买保险相互独立. (I) 求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率； ( )X表示该地的l00 位车主中 , 甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X的期望 . 【命题意图】 本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二项

20、分布 的数学期望，考查考生分析问题、解决问题的能力. 【解析】记A表示事件 : 该地的 1 位车主购买甲种保险； B表示事件 : 该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C表示事件 : 该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种； D表示事件 : 该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买. (I)()0.5PA, ()0.3P B, CAB,3 分 ()()()()0.8P CPABPAP B,6 分 ( )DC,()1()10.80.2P DP C (100, 0.2)XB:, 即X服从二项分布, ,10 分 所以期望 1000.220EX . ,12 分 【点评】概率与统

21、计是每年的必考题，一般安排在解答题的前3 题.本题属于已知概率求概 率类型 . 考查保险背景下的概率问题，要求考生熟练掌握独立事件的概率、对立事件的概率、 互斥事件的概率及二项分布的数学期望. 7.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时 刻发生故障的概率分别为 1 10 和p。 （）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 49 50 ，求p的值； （）求系统A在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。 （ I）设系统A在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分 布列及数学期望E。 解析 （1）设： “

22、至少有一个系统不发生故障” 为事件 C，那么 1-P（C） =1- 10 1 P= 50 49 ，解得 P= 5 1 4 分 （ 2）设 “ 系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数” 为 事件 D, 那么 P(D)= 2 3 C 250 243 1000 972 ) 10 1 1() 10 1 1( 10 1 32 答：检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为 250 243 . （ 2）由题意， P（=0）= 1000 1 10 1 30 3 ）（C P（=1）= 1000 27 10 1 1 10 1 21 3 ）（）（C P（=2）= 1000 2

23、43 10 1 1 10 1 22 3 ）（）（C P（=3）= 1000 729 10 1 1 10 1 303 3 ）（）（C 所以，随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 P 1000 1 1000 27 1000 243 1000 729 故随机变量X 的数学期望为： E=0 10 27 1000 729 3 1000 243 2 1000 27 1 1000 1 012 分. 点评 本小题主要考查相互独立事件，独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学 期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 8. 现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏

24、可供参加者选择. 为增加 趣味性， 约定： 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数 为 1 或 2 的人去 参加甲游戏，掷出点数大于2 的人去参加乙游戏. （）求这4 个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率： （）求这4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率： （） 用,XY分别表示这4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=|XY，求随机变 量的分布列与 数学期望E. 【参考答案】 （1）每个人参加甲游戏的概率为 1 3 p，参加乙游戏的概率为 2 1 3 p 这 4个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率为 222 4 8 (1) 27 Cpp （2） 4 4 (4,)()(1)(0,1, 2, 3, 4) kkk XBpPXkCppk， 这4个 人 中 去 参 加 甲 游 戏 的 人 数 大 于 去 参 加 乙 游 戏 的 人 数 的 概 率 为 1 (3)(4) 9 P XPX （3）可取0, 2, 4 8 (0 )(2 ) 27 40 (2)(1)(3) 81 17 (4)(0)(4) 81 PPX PPXP X PPXPX 84 01 71 4 8 024 2 78 18 18 1 E 024 P 8 27 40 81 17 81