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1、2007 年高中数学竞赛模拟试题 一、选择题： 1. 设 集 合5 ,4,3 ,2, 1,1 ,0,2NM， 映 射NMf :使 得 对 任 意 的Mx， 都 有 )()(xxfxfx是奇数，则这样的映射f的个数是（ A ） （A）45 （B）27 （C）15 （D）11 提示 ：当2x时，)2(2)()(fxxfxfx为奇数，则)2(f可取1、3、5，有3 种取法；当0x时，)0()()(fxxfxfx为奇数，则)0(f可取 1、3、5，有 3 种取法； 当1x时，)1(21)()(fxxfxfx为奇数，则) 1(f可取 1、2、3、4、5，有 5 种取法。 由乘法原理知共有45533个映射
2、。 2.设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知0)()2(ACABDADCDB，则 ABC 的形状是（ A ） （A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等腰直角三角形（D）等边三角形 提示 ：ACABADDCDBDADCDB22. 3.设函数 x b axxgxxf)(,ln)(， 它们的图象在x轴上的公共点处有公切线，则当1x时， )(xf与)(xg的大小关系是（ B ） （A）)()(xgxf（B）)()(xgxf（C）)()(xgxf（D）)(xf与)(xg的大小不确定 提示 ：)(xf与)(xg的图象在x轴上有公共点)0 , 1(，0,0)1 (bag即. x xf 1 )( , 2
3、 )( x b axg, 由题意1, 1)1 () 1( bagf即, . 2 1 , 2 1 ba 令) 2 1 2 1 (ln)()()( x xxxgxfxF, 则0) 1 1 ( 2 1 2 1 2 11 )( 2 2 xxx xF )(xF在其定义域内单调递减. 由0)1 (F, 当1x时,0)(xF, 即)()(xgxf. 4.设 AB 是椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0ba）的长轴，若把AB100 等分，过每个分点作AB 的垂 线 ， 交 椭 圆 的 上 半 部 分 于P1、 P2、 、 P99 ， F1为 椭 圆 的 左 焦 点 ， 则 21111 PFPFAF+B
4、FPF 1991 的值是（ D ） （A）a98（B）a99（C）a100（D）a101 提示 ： （方法一）由椭圆的定义知aPFPF ii 2 21 (99,2, 1i)， .198992)( 99 1 21 aaPFPF i ii 由题意知 9921 ,PPP关于y轴成对称分布， .99)( 2 1 )( 99 1 21 99 1 1 aPFPFPF i ii i i 又aBFAF2 11 ，故所求的值为a101. （方法二） 21111 PFPFAF+BFPF 1991 )()( 1 exaexa A )()( 99B exaexa .101)(101 9921 axxxxxea BA
5、（A, 9921 ,PPP,B 关于y轴成对称分布） 5.已知正方体ABCD A1B1C1D1，过顶点 A1在空间作直线l，使直线l与直线AC 和 BC1所成 的角都等于60 0，这样的直线 l可以作（ B ） （A）4 条（ B）3 条（ C）2 条（ D） 1 条 提示 ：易知异面直线AC 与 BC1所成的角为600，因此，本题等价于：已知直线a与b所成的角 为 600，则过空间一点P 且与a、b所成的角都是600的直线有且仅有多少条？这不难可判断有 3 条。 6. 12 )526( n 的小数表示中，小数点后至少连续有（ A ） （A）12n个零（ B）22n个零（ C）32n个零（ D
6、）42n个零 提 示 ： 由 二 项 式 定 理 知 易 证Z nn ) 526()526( 1212 ， 因 此 12 )526( n 与 12 )526( n 的小数部分完全相同。 10 1 526 1 5260， 1212 ) 10 1 ()526(0 nn ，即 12 )526( n 的小数表 示中小数点后面至少接连有12n个零，因此， 12 )526( n 的小数表示中，小数点后至少连 续有12n个零。 二、填空题： 7.已知 0 2sin2sin5，则 )1tan( )1tan( 0 0 的值是 _. 【答案】 2 3 . 提示：弦切变换, 构造齐次式解题. )1()1sin(1(
7、)1sin(5 0000 )1sin()1cos(6)1cos()1sin(4 0000 . 8.乒乓球比赛采用7 局 4 胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5 局后 仍不能结束比赛的概率等于_. 【答案】 8 5 . 提示： （方法一）打完5 局后仍不能结束比赛的情况是甲、乙两人中任意某个人 任意胜 3 局，另一个人胜2 局，其概率为 8 5 2 1 1 2 1 233 5 1 2 ）（）（CC. （方法二） 打完 5 局后能结束比赛的情况是：甲、乙两人中任意某个人任意胜4 局或 5 局全胜， 其概率等于 8 3 ) 2 1 () 2 1 1() 2 1 ( 55 5 4
8、4 5 1 2 CCC，所以，打完5 局后仍不能结束比赛的概率等 于 8 5 8 3 1. 9.不等式92 )211( 4 2 2 x x x 的解集为 _. 【答案】) 8 45 , 0()0 2 1 ，. 提示：原不等式等价于)21222()92(4 2 xxxx 设tx21，则10tt且，12 2 tx，从而原不等式可化为 2 7 110 8)1( 1 0 )8()1()1( 1 0 222222 tt tt t t ttt t t 或. 10.把半径为 1 的 4 个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为_. 【答案】 2 6 1.提示： 4 个小球在大球内两两相切，4 个小球的
9、球心连线构成1 个正四面体， 正四面体的中心与大球的球心重合，大球的半径等于正四面体的外接球半径加上小球的半径， 所以大球半径为 2 6 112 4 6 1 3 6 4 3 1 4 3 ah.(其中 ,h表示正四面体的 高,a表示正四面体的棱长.) 11.设 200221 ,aaa均为正实数， 且 2 1 2 1 2 1 2 1 200221 aaa ， 则 2 0 0 221 aaa 的最小值为 _. 【答案】 2002 4002. 提示：令 i i x a2 2 ，则 i i i x x a 1 2，且1 21i xxx， 其中.2002,2, 1i )( 1 2 200232 20022
10、1 2002 200221 xxx xxx aaa )()( 200121200231 xxxxxx 2001 200121 2001 200231 2001 200232 200221 2002 200120012001 1 2xxxxxxxxx xxx 200220022002 400220012 12. 关 于x的 三 次 函 数)(xfy的 两 个 极 值 点 为P、 Q ， 其 中P 为 原 点 ， Q 在 曲 线 2 21xxy上，则曲线)(xfy的切线斜率的最大值的最小值为_. 【答案】 4 3 . 提示：设dcxbxaxxf 23 )(，依题意知：0)0(0)0( ff且， 0
11、dc，故 23 )(bxaxxf，bxaxxf23)( 2 ，由 2 21xxy及点 Q 在其 上，可设Q 点的坐标为,0),sin1 ,cos1(. 由 Q 为)(xfy的一个极值点得 )cos1 (2)cos1(30 )cos1 ()cos1(sin1 2 23 ba ba ， 显然, 1cos， a b 3 2 cos1， 2 3 )cos1 ( )sin1 (3 )cos1( )sin1 (2 b a ， 0a，bxaxxf23)( 2 存在最大值 cos1 sin1 2 3 ) 2 cos1 () 3 2 ( f a b f， 数形结合可求得 OQk 2 3 cos1 sin1 2
12、3 ，其最小值为 4 3 . 三、解答题： 13.已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0ba） ，过椭圆中心O 作互相垂直的两条弦AC 、BD，设点 A、 B 的离心角分别为 1和2 ，求)cos( 21 的取值范围。 解：当AC 、BD 与坐标轴重合时， 0)cos( 21 ；当AC 、BD与坐标轴不重合时，令 21, xOBxOA，则)(2 2 21 Zkk，1tantan 21 . 由题意知 ,)sin,cos( 11 abA,)sin,cos( 22 abB, 则 11 tantan b a , 22 tantan b a . 21 21 21 tantan tantan1
13、)cot( 2 2 22 21 21 2 2 tan tan 1 1 )tan(tan tantan1 ab ba a b a b . 2 22 ab ba 22 22 2 22 21 2 21 ) 2 (1 1 1 )(cot1 1 1)cos( ba ba ab ba . 当 且 仅 当1t a n 2 ， 即BD的 倾 斜 角 为 4 或 4 3 时 ， 上 式 取 等 号 。 22 22 21 )cos(0 ba ba . 14.若a、b、Rc，且满足 22 )4()(cbaba cba kabc ，求k的最大值。 解: 由均值不等式得 2222 )2()2()()4()(cbcaba
14、cbaba abcbcacabbcacab222224244)2222()2( 22 abcbcacab16884, )( 16884 )( )4()( 22 cba abc abcbcacab cba abc cbaba ) 2222 )( 1111 2 1 (8)( 1688 4 (c bbaa abab abc cba ab ab c 100) 2 5() 2 1 5(8 5 4 22 5 22 cba cba , 等号成立当且仅当02cba, 故k的最大值为100 . 15.某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数是一个随机变量，它的分布 列如下： 1 2 3 12 P
15、12 1 12 1 12 1 12 1 设每售出一台电冰箱，电器商获利300 元。如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费 100 元。问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大？ 解：设x为电器商每月初购进的冰箱的台数，依题意，只需考虑121x的情况。 设电器商每月的收益为y元，则y是随机变量的函数，且 )(100300 300 xx x y )( )( x x . 电器商每月获益的平均数, 即数学期望为 1121 )1(100300)(300PxPPPxEy xx2 )2(1003002Px 1 100300)1( x Px 2 ) 1( 100 2 )1( 300 12 1 12 1 )112(300 xxxx xx )382( 3 25 2 xx. Nx, 当98xx或时, 也就是电器商每月初购进8台或 9 台电冰 箱, 收益最大 .