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1、高考总复习 含详解答案 高中数学高考总复习椭圆习题及详解 一、选择题 1设 0 1 sin 0，故选 C. 2(文 )(2010 瑞安中学 )已知双曲线C 的焦点、 顶点分别恰好是椭圆 x 2 25 y 2 161 的长轴端 点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为() A4x 3y0 B3x 4y0 C4x 5y0 D5x 4y0 答案 A 解析 由题意知双曲线C 的焦点 ( 5,0)，顶点 ( 3，0)，a3，c5，bc 2 a2 4， 渐近线方程为y 4 3x，即 4x 3y0. (理)(2010 广东中山 )若椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21 过抛物线y 28x 的焦点，且与双曲线
2、x2y21， 有相同的焦点，则该椭圆的方程是() A. x 2 4 y 2 2 1 B. x 2 3 y21 C.x 2 2 y 2 4 1 Dx 2y 2 3 1 答案 A 解析 抛物线 y 2 8x 的焦点坐标为 (2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又 椭圆与双曲线x2 y2 1 有相同的焦点，a2，c2， c2a2b2， b22，椭圆的方程为 x 2 4 y 2 2 1. 3分别过椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它 高考总复习 含详解答案 们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是() A(0,
3、1) B. 0， 2 2 C. 2 2 ，1D. 0， 2 2 答案 B 解析 依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部， c2c2，即 e2 c 2 a 20， 0b0)的离心率为 3 2 ，则双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 的渐 近线方程为 () Ay 1 2x By 2x Cy 4xDy 1 4x 答案 A 解析 由椭圆的离心率e c a 3 2 ， c 2 a 2 a 2b2 a 2 3 4， b a 1 2，故双曲线的渐近线方程为 y 1 2x，选 A. 6(文)(2010 南昌市模考 )已知椭圆E 的短轴长为6，焦点 F 到长轴的一个端点的距离 等于 9，则椭
4、圆E 的离心率等于() A. 5 13 B. 12 13 C.3 5 D.4 5 高考总复习 含详解答案 答案 A 解析 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a、b、c，则由条件知， b6，a c9 或 ac9， 又 b2a2c2(ac)(ac)36， 故 ac 9 ac 4 ， a 13 2 c 5 2 ， e c a 5 13. (理)(2010 北京崇文区 )已知点 F， A 分别是椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左焦点、右顶点，B(0， b)满足 FB AB 0，则椭圆的离心率等于() A. 31 2 B. 51 2 C. 31 2 D. 5 1 2 答案 B 解
5、析 FB (c， b)，AB (a，b)， FB AB 0， acb20， b2a2c2， a2acc 20， e2e10， e0， e 51 2 . 7(2010 浙江金华 )若点 P 为共焦点的椭圆C1和双曲线 C2的一个交点， F1、F2分别是 它们的左、右焦点设椭圆离心率为e1， 双曲线离心率为e2， 若PF1 PF2 0， 则 1 e1 2 1 e2 2 ( ) A2 B.2 C.3 D3 答案 A 解析 设椭圆的长半轴长为a， 双曲线的实半轴长为a， 焦距为 2c， 则由条件知 |PF1| |PF2|2a，|PF1|PF2|2a，将两式两边平方相加得： |PF1| 2|PF 2|
6、22(a2a2)， 高考总复习 含详解答案 又|PF1| 2 |PF 2| 24c2， a2a22c2， 1 e1 2 1 e2 2 1 c a 2 1 c a 2 a 2a2 c 22. 8(2010 重庆南开中学)已知椭圆 x 2 4 y 2 2 1 的左右焦点分别为F1、F2，过 F2且倾角为 45 的直线 l 交椭圆于A、B 两点，以下结论中：ABF1的周长为 8；原点到l 的距离为 1； |AB| 8 3；正确结论的个数为 () A3B2 C1D0 答案 A 解析 a2， ABF1的周长为 |AB|AF1| |BF1|AF1|AF2|BF1|BF2| 4a 8，故正确； F2( 2，
7、0)， l：yx2，原点到l 的距离 d |02| 2 1，故正确； 将 yx2代入 x 2 4 y 2 2 1 中得 3x242x0， x10，x2 42 3 ， |AB|112 42 3 0 8 3，故正确 9 (文)(2010 北京西城区 )已知圆 (x2) 2y236 的圆心为 M， 设 A 为圆上任一点， N(2,0)， 线段 AN 的垂直平分线交MA 于点 P，则动点P 的轨迹是 () A圆B椭圆 C双曲线D抛物线 答案 B 解析 点 P 在线段 AN 的垂直平分线上，故|PA| |PN|，又 AM 是圆的半径， |PM|PN|PM|P A|AM|6|MN|，由椭圆定义知，P 的轨
8、迹是椭圆 (理)F1、F2是椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的两焦点， P 是椭圆上任一点，过一焦点引 F1PF2 的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为 () 高考总复习 含详解答案 A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 答案 A 解析 PQ 平分 F1PA，且 PQAF1， Q 为 AF1的中点，且 |PF1|PA|， |OQ| 1 2|AF 2| 1 2(|PA|PF2|) a， Q 点轨迹是以O 为圆心， a 为半径的圆 10(文)(2010 辽宁沈阳 )过椭圆 C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左顶点 A 的斜率为k 的直线交椭 圆 C 于另一个点B，且点
9、 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点F，若 1 3b0)的一个顶点作圆 x 2y2b2 的两条切线，切点分别 为 A， B，若 AOB90 (O 为坐标原点 )，则椭圆C 的离心率为 _ 答案 2 2 解析 因为 AOB 90 ，所以 AOF45 ，所以 b a 2 2 ，所以 e 2c 2 a 2 a 2b2 a 21 b 2 a 2 1 2，即 e 2 2 . (理)(2010 揭阳市模拟 )若椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)与曲线 x 2y2a2b2 无公共点， 则椭圆 的离心率e的取值范围是_ 答案 0， 2 2 解析 易知以半焦距c 为半径的圆在椭圆内部，故bc， b
10、 2c2，即 a22c2， c ab0)上存在点 P(x，y)，使得 OP PA 0，则椭 圆离心率的范围是_ 答案 2 2 2 2 ， 00，b0)的面积为 ab，M 包含于平面 区域 ： |x|2 |y|3 内，向 内随机投一点Q，点 Q 落在椭圆M 内的概率为 4，则椭圆 M 的 方程为 _ 答案 x 2 4 y 2 3 1 高考总复习 含详解答案 解析 平面区域： |x|2 |y|3 是一个矩形区域，如图所示， 依题意及几何概型，可得 ab 83 4， 即 ab23. 因为 0b0)的长轴长为 4. (1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线yx2 相切，求椭圆C 的焦点坐 标；
11、 (2)若点 P 是椭圆 C 上的任意一点，过焦点的直线l 与椭圆相交于M，N 两点，记直线 PM，PN 的斜率分别为kPM、kPN，当 kPM kPN 1 4 时，求椭圆的方程 解析 (1)圆 x 2y2b2 与直线 yx2 相切， b 2 11 ，得 b2. 又 2a4， a2， a24，b22， c 2 a2b22，两个焦点坐标为 (2，0)，(2，0) (2)由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M， N 关于坐标原点对称， 不妨设： M(x0， y0)，N(x0， y0)，P(x， y)， 由于 M，N，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程， 即有 x0 2 a 2 y0 2 b 21，
12、x 2 a 2 y 2 b 21. 两式相减得： y 2 y 0 2 x 2 x 0 2 b 2 a 2. 由题意可知直线PM、PN 的斜率存在，则 kPM yy0 xx0，k PN yy0 xx0， 高考总复习 含详解答案 kPM kPN yy0 xx0 y y0 x x0 y 2y 0 2 x 2x 0 2 b 2 a 2， 则 b 2 a 2 1 4，由 a2 得 b1， 故所求椭圆的方程为 x 2 4 y21. (理)(2010 北京东城区 )已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点F(2,0)，且长轴长与短轴 长的比是23. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设点 M(m,0)在椭圆 C
13、 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点当|MP |最小时，点P 恰好 落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围 解析 (1)设椭圆 C 的方程为 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) 由题意 a 2b2c2 ab23 c2 ， 解得 a216， b212. 所以椭圆 C 的方程为 x 2 16 y 2 12 1. (2)设 P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为 x 2 16 y 2 121，故 4x4. 因为 MP (xm，y)， 所以 |MP | 2(x m)2y2 (xm)2 12 1 x 2 16 . 1 4x 22mxm2121 4(x4m) 2123m2. 因为当 |MP |最
14、小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点， 即当 x4 时， |MP | 2 取得最小值而x4,4， 故有 4m4，解得 m1. 又点 M 在椭圆的长轴上，即4 m 4. 故实数 m 的取值范围是m 1,4 16(2010 辽宁文， 20)设 F1，F2分别为椭圆 C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab 0)的左、右焦点，过 F2的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为60 ， F1到直线 l 的距离为23. (1)求椭圆 C 的焦距； 高考总复习 含详解答案 (2)如果 AF2 2F2B ，求椭圆C 的方程 解析 (1)设焦距为2c，则 F1(c,0)，F2(c,0)
15、 kl tan60 3 l 的方程为y3(xc) 即：3xy3c0 F1到直线 l 的距离为23 |3c3c| 3 2 12 3c 2 3 c2 椭圆 C 的焦距为4 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由题可知y10，y20 直线 l 的方程为y3(x2) 由 y3 x 2 x 2 a 2 y 2 b 2 1 消去 x 得， (3a 2 b2)y24 3b2y 3b2(a2 4)0 由韦达定理可得 y1 y2 43b 2 3a 2b2 y1 y2 3b2a24 3a 2b2 AF2 2F2B ， y1 2y2，代入得 y2 43b 2 3a 2 b2 2y2 23b 2 a 24 3
16、a 2 b2 2 得 1 2 48b 4 3a 2b2 23a 2b2 3b 2 a 24 16b 2 3a 2b2 a 24 又 a2b24 由解得a 29 b 25 椭圆 C 的方程为 x 2 9 y 2 5 1. 17(文)(2010 安徽文 )椭圆 E 经过点 A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在 x 轴上， 离心率 e 1 2. 高考总复习 含详解答案 (1)求椭圆 E 的方程； (2)求 F1AF2的角平分线所在直线的方程 解析 (1)由题意可设椭圆方程为 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) e 1 2，即 c a 1 2， a 2c 又 b2a2c23c2 椭圆
17、方程为 x 2 4c 2 y 2 3c 21.又椭圆过点 A(2,3) 4 4c 2 9 3c 21，解得 c 24，椭圆方程为x 2 16 y 2 12 1. (2)法一：由 (1)知 F1(2,0)，F2(2,0)， 直线 AF1的方程 y3 4(x2)，即 3x4y60， 直线 AF2的方程为x2. 设 P(x，y)为角平分线上任意一点，则点P 到两直线的距离相等 即 |3x4y6| 5 |x2| 3x4y65(x 2)或 3x4y65(2x) 即 x2y8 0 或 2xy10. 由图形知， 角平分线的斜率为正数，故所求 F1AF2的平分线所在直线方程为2xy1 0. 法二：设 AM 平
18、分 F1AF2，则直线AF1与直线 AF2关于直线AM 对称 由题意知直线AM 的斜率存在且不为0，设为 k. 则直线 AM 方程 y3k(x2) 由(1)知 F1(2,0)，F2(2,0)， 直线 AF1方程为 y3 4(x2)，即 3x4y60 设点 F2(2,0)关于直线 AM 的对称点F2(x0，y0)， 则 y0 x02 1 k y0 2 3k x02 2 2 高考总复习 含详解答案 解之得 F2 (6k2k 22 1 k 2 ， 6 1k 2) 直线 AF1与直线 AF2关于直线AM 对称， 点 F2在直线 AF1上 即 36k2k 22 1k 24 6 1k 26 0. 解得 k
19、 1 2或 k2. 由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正， k 1 2(舍去 ) 故 F1AF2的角平分线所在直线方程为2xy1 0. 法三： A(2,3)，F1(2,0)，F2(2,0)， AF1 (4， 3)，AF2 (0， 3)， AF1 |AF2 | AF2 |AF2 | 1 5( 4， 3) 1 3(0， 3) 4 5(1,2) ， kl 2， l：y 32(x2)，即 2xy10. 点评 因为 l 为 F1AF2的平分线，AF1 与AF2 的单位向量的和与l 共线 从而可由 AF1 、 AF2 的单位向量求得直线l 的一个方向向量，进而求出其斜率 (理)(2010 湖北黄冈 )已
20、知点 A(1,1)是椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)上一点， F1，F2是椭圆的两焦 点，且满足 |AF1|AF2|4. (1)求椭圆的两焦点坐标； (2)设点 B 是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B 两点关于原点O 不对称； (3)设点 C、D 是椭圆上两点，直线AC、AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是 否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由 解析 (1)由椭圆定义知：2a4， a2， x 2 4 y 2 b 21 把(1,1)代入得 1 4 1 b 21 b2 4 3，则椭圆方程为 x 2 4 y 2 4 3 1 高考总复习 含详解答案
21、c2a2b244 3 8 3， c 2 6 3 故两焦点坐标为 26 3 ，0 ， 2 6 3 ，0 . (2)用反证法：假设A、B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为 (1， 1)，此时 |AB| 22，取椭圆上一点M(2,0)，则 |AM|10 |AM|AB|. 从而此时 |AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立 (3)设 AC 方程为： yk(x1)1 联立 yk x1 1 x 2 4 3y 2 4 1 消去 y 得 (13k 2)x2 6k(k1)x3k26k10 点 A(1,1)在椭圆上 xC 3k 2 6k1 3k 2 1 直线 AC、AD 倾斜角互补 AD 的方程为 y k(x1)1 同理 xD 3k 26k1 3k 21 又 yCk(xC1)1，yD k(xD 1) 1 yCyDk(xCxD) 2k 所以 kCD yCyD xCxD 1 3 即直线 CD 的斜率为定值 1 3.