离散数学教案范本.pdf

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1、离散数学教案 课目：第一章命题逻辑 教师：熊建英 学时： 12课时 教学提要 一、教学对象（人数） 学生：信息安全专业本科二年级学生50 人 二、教学目标（任务） 各小结中知识点掌握程度 (* 理解； * 基本掌握； * 熟练掌握 ) 知识点程度 1.1 命题及 联接词 (1) 命题的概念、表示方法及基本分类* (2) 五种联接词的逻辑关系* (3) 复合命题符号化* (4) 复合命题的真值判断* 1.2 命题公 式及其赋值 (1) 合式公式的概念、层次及不同的解释* (2) 求公式的真值表的方法* (3) 判断命题公式的类别 : 永真式、永假式、可满足式* (4) 公式与真值表之间的关系*

2、1.3 等值式(1) 等值式的概念* (2) 通过等值演算判断两个公式是否等值* (3) 通过真值表判断两个公式是否等值* 1.4 析取范 式与合取范 式 (1) 简单析取与简单合取的定义* (2) 析取范式与合取范式定义* (3) 大项与小项定义* (4) 主析取范式与主合取范式定义* (5) 利用等值演算与真值表求得主范式* 1.5 推理理 论与消解法 (1) 推理定义、规则* (2) 推理证明的方法* (3) 消解法* 1.6 应用案 例 (1) 命题逻辑应用领域* (2) 典型应用案例* (3) 编写程序求解复杂命题* 三、教学要求 （一）学生：着重知识点的学习，积极思考，参与提问。

3、（二）教官：严格纪律，严密组织、保持良好教学秩序，确保教学效果。 四、教官分工 主讲教师 1 名：负责教案编写，课堂的组织教学，教学总结编写。 五、本章重点 1、利用联接词构造复合命题公式 2、真值表的构建 3、等值演算 4、复合命题公式转化为主析取范式、主合取范式的方法 5、推理证明 六、本章难点 1、利用命题公式演算、真值表进行等值判断和公式类型判断 2、利用命题公式演算、真值表转化主析取范式、主合取范式 3、将现实背景下的条件约束构造为命题公式 七、教学方法 采用课堂教授，主要使用多媒体课件，部分内容及例题用黑板解释。 八、课时分配 1.1 命题及联接词2 课时； 1.2 命题公式及其赋

4、值2 课时； 1.3 等值式2 课时； 1.4 析取范式与合取范式2 课时； 1.5 推理理论与消解法2 课时； 1.6 命题逻辑应用案例2 课时； 九、场地器材 多媒体教室 十、参考书目 1、杨圣洪、张英杰、陈义明：离散数学，科学出版社，2011年。 2、屈婉玲、耿素云、张立昂：离散数学，高等教育出版社，2008年。 3、屈婉玲、耿素云、张立昂：离散数学学习指导与习题解析，高等教 育出版社， 2008年。 教学进程 1.1 命题及联接词（ 2 课时） 一、教学内容 1、命题的概念表示与分类 2、五种基本的联接词的逻辑关系 3、复合命题的符号化 4、复合命题的真值判断 二、课程时间安排 1、首

5、先介绍本课程的性质，任务和教学安排，对学生明确提出教学上的要 求（10 分钟） 2、介绍离散数学学科的发展历史（20 分钟） 3、命题与真值、命题的分类、简单命题符号化（15 分钟） 4、联结词与复合命题（ 35分钟） 5、本次课小结（ 10分钟） 三、教学实施 （一）创设意境、导入课程（10 分钟） 目 的 体会离散数学理论在现实生活中的应用、是计算机专业多门核心课程的基 础，让学生明白“离散数学”课程作用和意义。 1、从生活应用中理解逻辑推理作用，及离散数学学习意义； 如：犯罪推理、电路设计、人事安排的最优方案、网络中最优路径等； (1) 逻辑推理问题范例（ PPT展示一个犯罪推理案例）

6、(2) 离散数学是一门可以对逻辑推理规律建立相应的符号运算系统，解决此 类问题的科学。 2、离散数学与其他专业课程的联系； (1) 涉及多门计算机专业中很多专业课程，如：编程语言、数据结构、操作 系统、数据数据加密。 通过事先了解 “教学计划” 中学生已经学过的专业课程，后面将着重以计 算机基础与 C语言编程为例 (2) 以 C语言编程中算法、条件判断为例 (3) 以计算机基础中逻辑运算为例 总结：计算机在日常生活中的用途是非常大的，进一步说明该课程的任务和 教学安排，对学生明确提出教学上的要求。 （二）离散数学的发展史（20 分钟） 1、利用多媒体向学生简要介绍离散数学学科的发展历史，了解离

7、散数学的 起源和一些重要的人物资料。 2、介绍第一章命题逻辑的主要内容、及在生活中的应用、引发同学们对离 散数学的兴趣。 （三）命题与真值、命题的分类、简单命题符号化（15 分钟） 1、命题与联接词 （1）数理逻辑研究的中心问题是推理。 （2）推理的前提和结论都是表达判断的陈述句。 （3）表达判断的陈述句构成了推理的基本单位。 2、命题概念 （1）称能判断真假而不是可真可假的陈述句为命题 （2）作为命题的陈述句所表达得的判断结果称为命题的真值。 （3）真值只取两个 : 真与假。 真值为真的命题称为真命题。真值为假的命题称为假命题。 说明: 感叹句、疑问句、祈使句都不能称为命题。 判断结果不唯一

8、确定的陈述句不 是命题。陈述句中的悖论不是命题。 但现在不知道真假， 未来有一天必定会知道 真假的陈述句是命题。 3、命题的表示 （1)用小写英文字母 p, q,r.,pi,qi,ri表示命题 （2)用“1、T”表示真，用“ 0、F”表示假 （3) 不能被分解成更简单的陈述句，称这样的命题为简单命题或原子命 题。 （4)由简单陈述句通过联结词而成的陈述句，称这样的命题为复合命题。 课堂练习： 判断教材中的例1.1 中语句是否是命题 目的：检验学生是否学会如何判断命题 （四）联结词与复合命题（35 分钟） 1、五种联结词 （1) 否定 设 P为命题，复合命题“非 p”( 或“p 的否定”) 称为

9、 p 的否定式，记作 p， 符号称作否定联结词，并规定p 为真当且仅当 p 为假。 注意：否定之否定是肯定，即p 等价于 p （2）合取 设 p,q 为二命题，复合命题“ p 并且 q(或“P与 q”) 称为 p 与 q 的合取式， 记作 pq，称作合取联结词，规定pq 为真当且仅当 P与 q 同时为真。 使用合取联结词时要注意的两点: 描述合取式的灵活性与多样性。自然语言中的“既又”、 “不 但而且”、 “虽然但是” 、 “一面 一面”等联结词 都可以符号化为 。 分清简单命题与复合命题。不要见到“与”或“和”就使用联结词。 （3）析取 设 p, q 为二命题，复合命题“ p 或 q”称作

10、p 与 q 的析取式，记作pq， 称作析取联结词，并规定pq 为假当且仅当 p 与 q 同时为假。 自然语言中的“或”具有二义性，用它联结的命题有时具有相容性，有时具 有排斥性，对应的联结词分别称为相容或和排斥或( 排异或 )。 （4）蕴涵 设 p，q 为二命题，复合命题“如果p，则 q”称作 p 与 q 的蕴涵式，记作 P-q，并称 p 是蕴涵式的前件， q 为蕴涵式的后件， -称作蕴涵联结词，并规定 p-q 为假当且仅当 P为真 q 为假。 p-q 的逻辑关系表示 q 是 p 的必要条件。q 是 p 的必要条件有许多不同的叙 述方式：只要 p，就 q；因为 p，所以 q；p 仅当 q；只有

11、 q 才 p；除非 q 才 p；除 非 q，否则非 p。 作为一种规定，当p 为假时，无论 q 是真是假， p-q 均为真。也就是说， 只有 p 为真 q 为假这一种情况使得复合命题p-q 为假，称为实质蕴含。 从现实案例中理解 范例 1：爸爸的承诺为：如果儿子考上大学，爸爸就送IPAD 我们只有在儿子考上大学，爸爸没送IPAD时，才能说爸爸的承诺无效，其他时 候任何情况都不能否定承诺的有效性。 （5）等价 设 p，q 为二命题，复合命题“ p 当且仅当 q”称作 p 与 q 的等价式，记作 pq，称作等价联结词， 并规定 pq 为真当且仅当 p 与 q 同时为真或同时 为假。 2. 复合命题

12、符号化 通过范例理解如何将现实中的表达进行符号化 范例:2 条件联接 爸爸的承诺为：如果儿子考上大学，爸爸就送IPAD 用 p 表示儿子考上大学， q 表示爸爸送 IPAD，承诺可以表示为： p-q； 注意如果承诺为： 只有儿子考上大学，爸爸才买IPAD； 这句话也表明当我们看见爸爸送了IPAD时， 也可以推理出儿子考上了大学， 即 q-p；用一个表达式将p-q 和 q-p 表达，则为 pq。 范例 3 析取合取 子 题 超过 1.8 不超过 1.8 男性女性超过 1.6 不超过 1.6 符 号 p p q s r r 复合命题 1：身高超过 1.8 米的男性： pq 复合命题 2：身高超过

13、1.6 米的女性： r s 复合命题 3：身高超过 1.8 米的男性或者身高超过1.6 米的女性：（pq） （rs） 课堂练习： 复合命题 4：身高超过 1.8 米的女性 复合命题 5：身高不超过 1.6 米的男性 复合命题 6：身高不超过 1.6 米的女性并且身高不超过1.8 米的男性； 目的：检验学生是否学会利用连接词和命题符号构造复合命题 2. 复合命题的真值判断 通过范例理解命题真假 范例 4 析取、合取 复合命题 1：身高超过 1.8 米的男性： pq 如果当前判断对象状态为身高为1.7 米，男性，明显判断为假； 即 p=0，q=1，pq 为 01，结果为 0； 范例 5 条件联接

14、对于“如果儿子考上大学，爸爸就送IPAD”会出现 4 种情况： （1）如果儿子考上大学，爸爸送了IPAD ，承诺有效，即p-q 为真； （2）如果儿子考上大学，爸爸没买IPAD ，承诺无效，即p-q 为假； （3）如果儿子没考上大学， 爸爸买或没买 IPAD，之前承诺本身都是有效的， 即 p-q 为真； 所以：只有 p 成立， q 不成立， p-q 为假。 注意如果承诺为： 只有儿子考上大学，爸爸才买IPAD；那么： 儿子没考上大学，爸爸没买IPAD；遵守了承诺，即p-q 为真 1； 儿子没考上大学，爸爸买了IPAD；违背了承诺，即p-q 为假 0； 课堂练习： 如果 p=0,q=1; 计算下

15、面复合表达式的值； pq；pq； （pq）（pq） ；p-q；pq； 目的：让学生掌握各种联接词联接命题的值。 （五）课堂小结（10 分钟） 1、命题符号化 2、熟记五种命题联结词及运用。 3、命题符号化后求真值：一般地，规定的联结词优先顺序为:( ) ， ， ，-，对于同一优先级的联结词，先出现者先运算。 易犯错误： p-q 真值表中， p 为 0 时，q 为 0 或 1，p-q 为 1 不是 0； pq 为真时，与 p-q 不同， p 为 0 时，q 为 0，pq 为 1，否则为 0； 解决方法： p-q 理解 p 不是 q 的唯一条件， p 不成立，其他条件也可能使q 成立； pq 理解

16、是 p 是 q 唯一条件，前提不成立，结论也不该成立； 1.2 命题公式及其赋值（ 2 课时） 一、教学内容 1、合式公式的概念、层次、解释 2、求公式的真值表 3、命题公式的分类 二、课程时间安排 1、章节导入（ 5 分钟） 2、介绍与讲解合式公式（ 40 分钟） 3、讲解真值表（ 35分钟） 4、本次课小结（ 10分钟） 三、教学实施 （一）章节导入（ 5 分钟） 目 的 判断一个合法的复合命题， 通过真值表熟练掌握不同命题取值下计算复合命 题的值。 （1）回顾初等数学中的加减乘除混合运算 （2）混合运算式的书写规则，即合法性判断； 如：5+*9-2 为不合法表达式 （3）联接词对应运算符

17、号、变元为数字，引导出命题表达式也存在合法性 问题； （4）由四则运算有最终结果去理解命题运算存在结果值； （二）合式公式（ 40分钟） 1、基本概念： （1）简单命题是命题逻辑中最基本的研究单位，也称为命题常项或者命题 常元。 （2）将命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑关系联接起来的符号串叫 作命题公式或者合式公式。 2、定义 （1) 单个命题变项是合式公式，并称为: 原子命题公式。 （2) 若 A是合式公式，则 A也是合式公式。 (3) 若 A, B 是合式公式，则 (AB), ( AB), (A-B), (AB)也是合式 公式。 (4) 只有有限次地使用 (1) 一(3) 形成的符号串

18、才是合式公式 若 A为合式公式， B是 A的一部分，且 B也是合式公式，则称B为 A的子公 式。 注意: (l) 若公式 A是单个的命题变项，则称A为 0 层公式; (2) 称 A是 n+1层公式是指有以下几种情形之一的: (a) A= B,B 是 n 层公式 ; (b) A=B C, B、C分别是 i, j层公式，且 m=max(i,j) (c) A=B C, B、C分别是 i, j层公式，且 m=max(i,j) (d) A=B-C, B 、C分别是 i, j层公式，且 m=max(i,j) (e) A=BC, B 、C分别是 i, j层公式，且 m=max(i,j) 若公式 A的层次是

19、k，则称 A为 k 层公式。 定义 1. 8 设 pl ，p2， pn，是出现在公式 A中的全部命题变项，给pl ， p2， pn 各指定一个真值，称为对A 的一个赋值或者解释。若设定的一组值 使 A的真值为 1，则称这组值为成真赋值，反之则称为成假赋值。 课堂练习： 利用合式定义判断以下不是合式公式 pq-；pq；（pq）（pq）；p-q；pq； 目的：判断复合命题公式的合法性 （三）真值表（ 35 分钟） 1、定义将命题公式 A在所有赋值下取值情况列成表，称作A的真值表。 注意：含 n 个命题变项的公式共有2 n 个不同的赋值。 2、构造步骤 : (1) 列出 2“个赋值，一般从 0000

20、 开始直到 1111 结束; (2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次; (3) 对应各个赋值计算出各个层次的值，直到计算出最后结果。 3、定义 设 A为公式 : (1) 如果 A在所有解释下取值均为真，则称A是永真式或重言式 ; (2) 如果 A在所有解释下取值均为假，则称A是永假式或矛盾式 ; (3) 如果至少存在一种解释使公式A取值为真，称 A是可满足式。 注意: (1) 可满足式的定义至少有一个为真; (2) 重言式一定是可满足式，但是可满足不一定是重言式; (3) 真值表最后一列判断公式的类型。 例题讲解 利用板书形式，逐步讲解过程，并进行以下引导 讲解例题 1.2.2 ，引导学生

21、思考问题 : 问题 1. 3个变元时，真值表需要构造多少行？ 问题 2. 含有 n 个命题变项的所有公式与n 个命题变项构成的所有真值 表之间具有什么样的关系? 课后作业：课本P7 习题 2,4,8 ； （四）课堂小结（10 分钟） 1、合式公式、层次 2、构造真值表 3、判断命题公式的类别 : 永真式、永假式 ; 易犯错误： 命题公式书写错误；解决方法：参照 C语言中单目、双目运算 符记忆书写 易犯错误： 真值表的行数确定错误；解决方法：记住是 2 的 n 次方数， n 为变元数量 1.3 等值式（ 2 课时） 一、教学内容 1、等值式定义 2、等值式的两种判别方法 3、等值演算的简单应用

22、二、教时安排 1、章节导入（ 5 分钟） 2、等值式定义（ 15 分钟） 3、等值判定（ 45 分钟） 4、等值演算的应用（ 15 分钟） 5、本次课小结（ 10 分钟） 三、教学实施 （一）章节导入（ 5 分钟） 目 的 判断两个表达式是否是相等，或求表达式的值。 我们同样在小学就学过计算式转化，如99*89 等价于（ 100-1）*89、99* （10+2）=99*10+99*2 等等，也就是一个计算式可以有很多表达形式，活在我 们为了计算表达式值也会进行很多等价的转化。同理对于命题表达式来说， 也 可以根据我们的判断或求值的目的，采用一些转化的方法， 这种等价的转化后 的表达式就和原来的

23、是等值的， 即等值式。本节需要利用像小学学过的交换律、 分配律等把我们的命题公式进行等值转化，当然我们现在是大学， 转化规律也 会有所增加， 但是有初等数学做基础， 求命题等值式并不是一个完全陌生的问 题。 （二）等值式（ 15 分钟） 1、定义 设 A, B 是两个命题公式，若A, B 构成的等价式AB 为重言式，则称 A, B 是等值的，记作 AB。 注意： AB与 AB的区别 基本等值式理解记忆 原命题逆否命题； 双条件等值式； 双重否定；交换律；结合律；分配律； 吸收律（多吃少）；德摩根律； （三）等值判定（ 45分钟） 1、真值表法 注意: (1) 最后一列可以不写出，可以看两个公式

24、的值是否相同 (2) 公式按照运算优先规则分层写出，熟悉了可以简化 (3) 运用真值表应该熟练基本逻辑联结词的真值情况。其中前者等值，后 者不是等值的，这一也说明了，蕴含运算是不满足结合律的。 2、等值演算法 (1) 验证等值 (2) 判断公式类型 例题讲解 利用板书形式，逐步讲解、完成推理，并进行以下引导 （1）通过例题 1.3.1 的讲解引导学生掌握进行等值演算的基本步骤； （2）通过记忆技巧掌握基本等值式，其中较容易混淆有： (a) 命题交换律： p(qr)= (pq)(p r) 或 p (q r)= (pq) (p r) 可套用 3* （2+3）=（3*2）+（3*3） (b) 命题结

25、合律： p(qr)= p qr) 可套用 3* （2*3）=3*2*3 (c) 德摩根律： (qr)= pq ；(qr)= pq 整体否定表示里面每个元素都取反面，即肯定变否定， 析取变合取， 合取变 析取； 课堂练习：利用等值演算判断公式：（p-q）p) -q 目的：检验学生是否可以灵活应用常用的等值变换规律。 （四）等值演算的应用（15 分钟） 通过生活推理案例引导学生思考 范例 1：在某次研讨会的体息时间，3 名与会者根据王教授的口音分别作出 下述判断 : 甲说: 王教授不是苏州人，是上海人。 乙说: 王教授不是上海人，是苏州人。 丙说: 王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后，

26、笑曰 : 你们 3 人中有一人全说对了，有一人全说错了，还有一 人对错各半。 试用逻辑演算法判断王教授是哪里人? 利用板书形式，逐步讲解、完成推理，并进行以下引导 引导过程 : （1）首先命题符号化：如何将甲乙丙的话用命题公式描述？ 是上海人不是上海人是苏州人不是苏州人 王教授p p p p （2）然后进行命题演算 : 如何将所有约束条件联接，化简公式？ （3）最后根据结果判断。 目的： （1）通过生活中一个推理问题让学生体会命题推理知识的应用； （2）重点引导掌握将现实问题转化为命题推理问题 通过生活推理案例引导学生思考 范例一的另一种解法： 在生活实例中， 这样判断往往比较复杂， 不妨换一

27、种 角度来想，我们可以设想王教授只可能是这三个城市的其中之一，或者 不是这三个城市中的任何一个， 设王教授是苏州人，则甲错乙全对丙全对与题意不符合; 设王教授是上海人，则甲全对乙全错并对一半与题意相符合; 至此我们可以判定王教授是上海人，这样判断速度会快好多。 课堂练习：利用真值表判断：（ p-q）p) -q 目的：检验学生是否可以通过构造真值表计算公式值 （五）教终小结（10 分钟） 1、基本等值式 2、利用命题演算判断等值式 3、利用真值表判断等值式 易犯错误： 命题公式的分配律的展开，及与交换律差异； 解决方法： 用乘法分配律去记忆 1.4 析取范式与合取范式（ 2 课时） 一、教学内容

28、 1、文字、简单析 (合)取式、析 (合)取范式、极小 ( 大) 项、主析 ( 合) 取范式 2、求命题公式的主析 ( 合) 取范式 3、主析 (合)取范式的简单应用 二、课程时间安排 1、章节导入（ 5 分钟） 2、基本概念（ 25 分钟） 3、求主析取范式和主合取范式（25 分钟） 4、主析取范式的作用（ 25分钟） 5、本次课小结（ 10分钟） 三、教学实施 （一）章节导入（ 5 分钟） 目 的 理解范式是一种规定的表示形式，为什么需要规定命题范式。 1、利用范例说明为什么需要将公式转化为一种统一的样式，即范式； 如：化妆舞会上同一个人有多种装扮，很难区分是否为同一人； 2、利用例子让学

29、生理解范式的分类 如：穿红衣的男生或穿绿衣的女生，（主析取范式公式表达） 3、转化为范式的作用 如：书上例题 1.4.6 中描述的问题 （二）基本概念（ 25分钟） 1、简单式定义 命题变项及其否定称作文字。仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取 式。仅有有限个文字构成的合取式称作简单合取式。 注意: 单个文字即是简单析取式一也是简单合取式 2、简单式定理 (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定 式; (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定 式。 3、范式定义 (1) 由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式; (2) 由有限个简单

30、析取式构成的合取式称为合取范式; (3) 析取范式与合取范式统称为范式。 4、范式定理 （1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每一个简单合取式都是矛盾式; （2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每一个简单析取式都是重言式。 （3）任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式 5、大项小项定义 在含有一 n 个命题变项的简单合 ( 析) 取式中，若每个命题变相和它的否定式 不同时出现， 而两者之一必出现且仅出现一次，且第 1 个命题变项或它的否定出 现在从左起的第 1 个位置上 ( 若命题变元没有脚标， 就按字典序排列 )，称这样的 简单合 ( 析) 取式为极小 ( 大) 项。 6、大项小项

31、定理 设 mi 与 Mi 是命题变项 pl ，p2，pn 形成的极小项与极大项，则miMi 9、主范式定义 设有 n 个命题变项构成的析 ( 合) 取范式中所有的简单合 ( 析) 取式都是极小 ( 大) 项，则称该析 (合)取范式为主析 ( 合) 取范式。 10、主范式定理 任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是唯一 的。 （三）求主析取范式和主合取范式（25 分钟） 例题讲解： （1）利用等值演算求例题1.4.1 的主析取范式、主合取范式 通过板书形式，逐步讲解、完成推理，并进行以下引导 1）引导学生按照等值演算转化条件联接与否定到底； 2）引导学生主析取时，如果外层不

32、是符号，利用分配律将 转到外层； 3）引导学生主合取时，如果外层不是符号，利用分配律将 转到外层； 4）引导学生在简单式中缺少变元时，析取添加0，合取添加 1；即利用缺少 的变元及其否定构成0,1 ，进行分配结合演算； 注意: 在求命题公式的主析取和主合取的时候一定要根据公式中所含有的 命题个数区决定极大项和极小项。 （2）利用真值表转化1.4.1 的主析取范式、主合取范式 通过 PPT展示构造真值表，并进行如下引导 1）引导学生如何根据命题构造真值表； 2）让我们理解真值表规模与变元个数关系； 3）可以根据主析取、主合取选择小项、大项； 4）如何根据大项、小项编号构造命题公式 注意: 永真式

33、、永假式在范式上的特殊性 （四）主范式的作用（ 25 分钟） (1) 求公式的成真与成假赋值 (2) 判断公式的类型 (3) 判断两个公式是否等值 (4) 应用其解决实际问题 例题讲解 利用板书形式，逐步讲解、完成推理，并进行以下引导 范例 1：某科研所要从 3 名科研骨干 A, B, C 中挑选 1-2 名出国进修。由于工作 需要，选派时要满足以下条件: (1) 若 A去，则 C同去; (2) 若 B去，则 C不能去 ; (3) 若 C不去，则 A或 B可以去。 问所里应如何选派他们 ? 解: 设 P:派 A去 Q:派 B去 R:派 C去，选派方案有三种 : (a) C去，而 A,B 都不去

34、 ; (b) B去，而 A,C都不去 ; (c) A,C同去，而 B不去 注意: 重点引导 学生理解在判定 3 个对象状态时， 只有主范式是对 3 个对象（变元）都有真假值的确定； 课堂练习： 判断( p-q) - （qr ）公式类型，求其主范式； 目的： 检验学生是否会判断一个公式类型，是否掌握主析取、主合取范式转换方法； 课后作业： 课本 P27 习题 1, (3)、 （4） 、 （5） ；习题 2； （五）教终小结（10 分钟） 1、析取（合取）范式是由简单合取（析取）式构成； 2、主析取（合取）范式由小项（大项）构成 3、小项（大项）项与简单合取（析取）差异在于变元不重复且都出现； 4

35、、求主析取范式与主合取范式方法 5、用主析取范式解决实际问题 易犯错误： 大项、小项混淆； 解决方法：大项是析取得到，析取是并且含义，条件越来越大，为大项；小 项反之； 1.5 推理理论与消解法（ 2 课时） 一、教学内容 1、推理定义 2、推理证明方法 3、消解法 二、教时安排 1、章节导入（ 5 分钟） 2、推理定义与规则（ 10 分钟） 3、常用推理证明方法（ 45分钟） 4、消解法（ 20 分钟） 5、本次课小结（ 10分钟） 三、教学实施 （一）章节导入（ 5 分钟） 目 的 让学生理解学习命题推理意义 1、生活中推理的意义：利用PPT展示推理小范例 2、简单推理问题对待：可以像简单

36、算术一样通过心算完成。 3、复杂推理问题：借助逻辑推理公式 （二）推理定义与推理规则（10 分钟） 1、定义 第一种： A -C 为重言式，则 A=C ； 第二种： A为真时， C为真，则 A=C ； 2、推理规则 （1）判断推理是否正确常用三种方法: 真值表法、等值演算法和传递推理。 （2）当推理中包含的命题变项较多时，前2 种方法演算量太大。 （3）对于由前提 Al, A2 Ak推 B的正确推理应该给出严谨的证明。 （4）证明是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每个公式或者是前 提，或者是由某些前提应用推理规则得到的结论( 中间结论或推理中的结论 ) 。 （5）要构造出严谨的证明就必须

37、在形式系统中进行。 （三）推理证明的方法（45 分钟） 1、字母表解释： (1) 命题变项符号 : p, q, r， pi ，qi ，ri ， (2) 联结词符号 : ，, , -, (3) 括号与逗号 :( )， ， 2、合式公式 ( 同定义 ) （1）等值演算法 注意： 即利用第一种定义通过演算证明公式为重言式； 例题讲解 利用板书形式，逐步讲解、完成推理，并进行以下引导 1）通过例题 1.6.1 引导学生将一个推理转化为等值演算问题； 2）将例题中（ A（A-B） ）-B 用现实语境解释，引导学生充分理解并记 忆该命题含义，强调表明1.6.1 的公式即为著名的“假言推理”或“分离原则”

38、； 如：我考入前 10 名，就可以得到一台学习机，后来最终考试为第8 名，那 么就推理出，一定可以得到一台学习机； 3）让学生掌握利用等值演算进行推理的过程，并引导学生在范例中理解一 些著名命题推理。 （2）真值表法 注意： 即利用第一种定义通过穷举所有取值判断公式永真； 例题讲解 利用 PPT展示真值表，并进行以下引导 1）对例题 1.6.3 构造真值表，引导学生将一个推理转化为命题真值计算问 题； 2）让学生逐步变化每个变元取值， 体会依靠变元个数产生的多层循环规律； （3）假言推理 注意： 即利用第二种定义通过假设条件为真，证明结论为真； 例题讲解 对于前两种方法的评价 从 1.6.1

39、，1.6.3 中总结公式复杂时，真值表构造工作量非常大，等值演算 过程中存在多种演算方法，演算繁琐、且很难一不到位得到最终结果。 1）通过例题 1.6.4 、1.6.5 课堂讲解引导学生理解在对待外层为合取的公式 时，可分解为每个内层的合式都为真； 2）引导学生通过观察结论中变元，将条件中的几个为真的合式通过传递律 得到结论； 分析范例过程， 结论 BD;前提分解为 A-B、C-D 、A-C；观察结论变元中 有 B和 D ，前提中 B和 A相关； D和 C相关；为了找到B和 D的关系就需要 A和 C； 形象的建立一个连接的桥：B A C D 即： A-B A-C归纳为B-C； B-C C-D

40、归纳为B-D；转化为结论； 课堂练习： （1）让学生尝试用真值表与等值演算方法证明例1.6.6 、1.6.7 ，初步体验 计算的复杂度； （2）根据第 2 种定义，利用传递律证明例1.6.6 、1.6.7 。 目的：着重让学生体会到这种方法的高效。 ( 四)消解法（ 20 分钟） 1、消解法：通过化解公式中的变元，节约大量证明中间环节，提高证明效 率。 注意: 上一节中利用传递律可以很高效的进行推理证明，适合条件式推理； 当前提 条件中存在大量析取式的情形， 可采用消解法， 如果公式不是这种情形则需要转 换为这种形式。 2、证明方法 （1）将前提中每层转化为析取式； （2）将有互补公式对的公式

41、，形如 (A p)、(Bp) 时，直接可以写出 AB（可利用分配律等值演算证明） （3）通过观察结论，安排消解的顺序； 例题讲解 通过生活推理案例引导学生思考 （1）通过 1.7.1 的讲解 , 让学生掌握消解法的应用； （2）引导学生通过观察结论，安排消解的顺序： 例题中，结论 A-C；前提通过转化分解为 AB、C D 、BD； 观察结论变元中有A和 C，前提中 B和 A相关； D和 C相关； B和 D相关； 为了找到 A和 C的关系就需要通过 B和 D； 形象的建立一个连接的桥：A B D C 即：AB BD通过消解得到AD； AD CD消解得到AC ；转化为结论； 课堂练习： 通过消解法

42、证明在假言推理证明章节中例题1.6.6 ；1.6.7 ； 让学生充分掌握这种方法，并体验方法的高效性。 目的：消解法是一个高效的方法， 可以完成前面所有利用假言完成的推 理。 （五）教终小结（10 分钟） 1、推理的 2 种定义 2、利用等值演算证明推理 3、通过真值表证明推理。 4、利用消解法证明推理 易犯错误： 消解的变元的顺序出错，导致无法演变到结论； 解决方法： 从结论中已有的变元出发，利用老师比喻的“建桥”的方法，寻 找条件应该消解的变元。 1.6 应用案例（ 2 课时） 一、教学内容 1、根据环境约束条件求结论 2、根据现实背景推理结论 3、编写程序求解命题公式 二、课程时间安排

43、1、介绍本章所学的命题逻辑在现实中的典型应用（10 分钟） 2、典型应用案例（ 40 分钟） 3、编写程序求解以上复杂案例的结果（30分钟） 4、本次课小结（ 10分钟） 三、教学实施 （一）章节导入应用介绍（10 分钟） 目 的 可以运用命题逻辑对现实建模，解决一些现实问题。 （1）命题逻辑是数理逻辑的重要组成部分： （2）典型应用介绍：案件审理、人事管理、电路设计等多方面。 （3）公务员的考试的必考内容 利用 PPT向学生展示几个公务员国考题 例如（ 1）甲、乙和丙，一位是山东人，一位是河南人，一位是湖北人。现 在只知道：丙比湖北人年龄大，甲和河南人不同岁，河南人比乙年龄小。由此可 以推知

44、哪项结论。 （二）典型综合案例（ 25 分钟） 1、案例一（犯罪推理）（利用 PPT展示题目） 在针对江滨路一带酒吧、 夜总会等娱乐场所的一次突击检查中，西江公安分 局拘捕了一批聚众吸食K粉、摇头丸等毒品的人员。经初步讯问，甲、乙、丙和 丁涉嫌贩毒。 随后的审讯集中于这四个人，得到四人笔录， 他们当中只有一人没 有说谎，推理贩毒人？ （1）命题符号化 贩毒未贩毒 甲A A 乙B B 丙C C 丁D D 甲说：“我没有贩毒。”A 乙说：“我们中有人贩毒。” A BCD 丙说：“我们中有人没有贩毒。”ABCD 丁说：“乙和丙都在说谎。” (ABCD) (ABCD) 通过演算，丁：永假式；再加上只有

45、1 人说谎，可以推理出乙、丙两人有1 个说谎，那么甲也为说谎； 即： A=0；则 ABC D=1 ；ABC D=0 推理出： B、C 、D都为 0；即四个都是毒贩； 2、案例二（利用 PPT展示题目） 某栋楼在同一个晚上发生了3 起案件， 10 楼的业主都谋杀了， 8 楼被盗了， 7 楼发生强奸案件。经过排查，发现都是不同的人独立作案，逮捕到3 个可疑人 甲乙丙，审理过程中，甲乙丙三人不同口供。 如果每个人都有半句真话时，求解3 个人各犯了什么罪？ （1）引导学生在遇到多个命题时候，利用矩阵清晰定义符号； 谋杀犯盗窃犯强奸犯 甲 乙 丙 （2）引导学生如何将三个人的供词进行符号化； 甲：甲为谋

46、杀犯，乙为盗窃犯 乙：丙为谋杀犯，甲为盗窃犯 丙：乙为谋杀犯，甲为强奸犯 （3）引导学生将一些现实暗含条件符号化，即不同的人独立作案如何化 解为符号表示？ 即: 一个人只能做一个案件；一个案件只有一个罪犯； 3、案例三（利用 PPT展示题目） 某公司要从曹、乔、宋、李、邹五人中，选择一些人承包工程，考虑到人与 人的组合优化问题，需要满足一些约束条件。 让学生按照前面案例中的步骤，建立命题公式 四、编程求解（ 30 分钟） 提示学生 在案例 2 和案例 3 中涉及到的命题变元很多，案例2 中有 9 个变元；案例 3 中有 5 个；如果进行演算或者真值表计算工作量很大。 考虑学生在学习本课程前已经

47、学完C语言编程 ，利用程序设计求解案例2 和案例 3，体会专业课程之间的内在联系； （1）让学生从 2 个变元、 3 个变元推理多个变元的取值组合2n （2）引导学生将命题公式转化为程序可以表达的方式 （3）引导学生理解通过循环可以试探所有取值下是否满足约束条件 案例 2 例题讲解 (1) 变元分析：案例 2 中，3 个罪犯， 3 种案件，一种有 3*3 种组合，即可 以得到 9 个变元； 转化为程序中的9 个变量； (2) 循环分析： 9 个变元，每个变元 2 个取值，即一种有 2 9 次取值；转 化为程序中的 9 重 2 次循环； (3) 命题公式分析： 为并且、为或者、为非，程序中有对应

48、的运算符； -和没有相应运算符，所以需要通过等值演算转化为、和的组合。 转化为程序中的运算符p1=1;p1+) 将命题转化为运算表达式： 如（p1q2）（p1q2）转为： (p1&!q2)|(!p1&q2) (4) 通过 TC编译平台，运行程序，得到结论： 课堂练习： 尝试通过程序求解案例3； 目的： 重点在于引导学生利用同样的方法在案例2 的程序上进行修改， 得到案例 3 的程序。 课后作业： 课本 P35 习题 1（2） ；习题 2（4） ；习题 3（1） ； 课本 P36 习题 1（1） 、(2) （四）教终小结（10 分钟） 1、命题推理现实意义 2、如何将现实背景下的条件进行命题符号

49、化 3、通过真值表、等值演算求解。 4、利用编程对多个变元的命题公式进行求解。 友情提示： 命题推理可以应用于侦查办案，方案设计，在很多公务员国考里 面都有相关题型； 本章教学总结 一、教学任务的完成 通过 12 课时的课堂教学完成命题逻辑的学习，让学生理解命题、 命题逻辑； 掌握命题符号化，求公式的真值表的方法， 会判断命题公式的类别； 理解析取（合 取）范式、主析取（合取）范式及其差异；通过真值表、等值演算、假言推理等 方法进行逻辑推理。 通过案例理解命题逻辑去解决现实中的一些问题，让学生掌 握命题逻辑方法， 并借助前序编程课程中知识， 解决复杂命题求解。 引发同学们 对逻辑推理、离散数学的兴趣，有少数学生理解不透彻的，进行课后个