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1、第六讲 最大与最小问题 先看一个简单的问题： 妈妈让小明给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟，小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟.为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？ 这个题目，取材于华罗庚教授1965年发表的统筹方法平话. 开水壶不洗，不能烧开水，因而洗开水壶是烧开水的先决条件；没开水、没茶叶、不洗壶杯则不能泡茶，这些又是泡茶的先决条件.因此我们可以列出它们的相互关系图 从上图中很容易看出，最省时间的办法是：先洗开水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待水开的过程中，可以完成洗茶壶、洗
2、茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，这样仅用16分钟就能沏茶了，这是没有“窝工”的最合理的安排，用最少的时间完成了工作. 像这样，研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值或最小值的问题，我们称为最大与最小问题. 在日常生活、科学研究和生产实践中，存在大量的最大与最小问题.如，把一些物资从一个地方运到另一个地方，怎样运才能使路程尽可能短，运费最省；一项（或多项）工作，如何安排调配，才能使工期最短、效率最高等等，都是最大与最小问题.这里贯穿了一种统筹的数学思想-最优化原则.概括起来就是：要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果.这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的
3、应用. 一、数、式、方程（组）中的最大最小问题 例1 把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？ 分析与解答 这要考虑到一些隐含着的限制条件，可以这样思考： 要使14拆成的自然数的乘积最大，所拆成的数的个数要尽可能多，多一个可以多乘一次，但1不应出现，因为1与任何数的积仍为原数. 拆出的加数不要超过4，例如5，它还可以拆成2和3，而235，所以加数大于4的数还要继续拆小. 由于4=2+2，又4=22，因此拆出的加数中可以不出现4. 拆出的加数中2的个数不能多于两个.例如拆成三个2，不如拆成两个3.因为三个2的积为8，两个3的积为9，这就是说，应尽可能多拆出3. 因为1
4、4=34+2，所以把14拆成3、3、3、3、2时，积为33332=162最大. 对最大与最小问题一要注意变化规律，即弄清思路，又要注意限制条件，对于字母则要根据其特点进行讨论分析. 例2 已知pq-1=x，其中p、q为质数且均小于1000，x是奇数，那么x的最大值是_. 分析与解答 由pq-1=x，x为奇数可知， qp=x+1是偶数 又因为p、q为质数，所以p、q中必有一个为偶质数2.不妨设p=2. 为了使x尽可能大，只须取q为最大的三位质数997.这时x达到最大值： 2997-1=1993. 方程中有参数和其他条件，也可能出现最大或最小问题. 的根为自然数，则最小自然数a=_. 分析与解答
5、由原方程可得 例4 求同时满足a+bc6，2a-bc=3，且bc0的a的最大值及最小值. 分析 既然是求a的最大值及最小值，就要想办法将b及c用a的代数式表示出来，再根据bc0来求.求b及c可将abc6，2a-b+c=3看作含b、c的二元一次方程组 二、统筹方法中教学思想方法的初步应用 在开始引例中引用了华罗庚教授统筹方法平话中的例子，统筹方法是生产建设和企业管理中合理安排工作的一种科学方法，它对于进行合理调度、加快工作进展、提高工作效率、保证工作质量是十分有效的，所用数学思想是朴素而精彩的. 例5 5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分
6、钟和5分钟.如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，使所有人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值. 分析 这是我们经常遇到而不去思考的问题，其中却有着丰富的数学思想.5个人排队一共有54321=120种顺序，要把所有情形的时间总和都计算出来加以比较，就太繁琐了.凭直觉，应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些.试用“逐步调整”法求解. 解：首先证明要使所用总时间最省，应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置. 假如第一位置的人打水时间要a分钟（其中2a5），而打水需1分钟的人排在第b位（其中2b5），我们将这两个人位置交换，其他三人位置不动.这样调整以后第b位后面的人排队和打
7、水所费时间与调整前相同，并且前b个人打水所费时间也未受影响，但第二位至第b位的人排队等候的时间都减少了（a-1）分钟，这说明调整后五个人排队和打水时间的总和减少了.换言之，要使所费时间最省，就要把打水需1分钟的人排在第一位置. 其次，根据同样的道理，再将打水需2分钟的人调整到第二位置；将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到三、四、五位.所以，将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队，所费的总时间最省，得出5人排队和打水时间总和的最小值是： 1524334251=35（分钟）. 本题所用的逐步调整法是一个很朴素的数学思想，它使我们思考问题过程简化，更有趣味. 例6 一个水池，底部安有一个常开的排水
8、管，上部安有若干个同样粗细的进水管，当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？ 分析 本题没给出排水管的排水速度，因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系，才能确定至少要打开多少个进水管. 解：本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速度和排水速度，故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a，排水管1小时排水量为b，根据水池的容量不变，我们得方程（4a-b）5=（2a-b）15，化简，得： 4a-b=6a-3b，即a=b. 这就是说，每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量. 再设
9、2小时注满水池需要打开x个进水管，根据水池的容量列方程，得 （xa-a）2（2a-a）15， 化简，得 2ax-2a=15a， 即 2xa=17a.（a0） 所以x=8.5 因此至少要打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满. 注意：x=8.5，这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求；开8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行. 例7 在一条公路上，每隔100千米有一个仓库，共5个.一号仓库存货10吨，二号仓库存货20吨，五号仓库存货40吨，三、四号仓库空着.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要0.8元运费，那么最少要花多少运费？ 分析与解答 由于运
10、费是以每吨货物运输1千米为单位（即吨千米）计量的，因此要使运费最省，就要把所有货物运往离货物最多的仓库适当近的地方集中. 我们依次计算以一、二、五号仓库为集中点所需的运费： 0.8（20100+40400）=14400（元）， 0.8（10100+40300）=10400（元）， 0.8（100200+20100+40200）=9600（元）， 0.8（10300+20200+40100）=8800（元）， 0.8（1040020300）=8000（元）. 因此，把所有货物集中到五号仓库所需的运费最少，运费为8000元. 说明：由例7的枚举解法中我们可以看出，如果某处货物的重量大于或等于货物总
11、重量的一半，那么，把货物往此处集中花的运费是最少（或最少之一）的.这可以叫做“小往大处靠”原则. 可以解释如下.把各个仓库用A1，A2，An表示，Ai中的货物重量为mi，把所有货物集中到Ai的运输吨千米数为ai（它与集中货物到A所需的运输费用成正比），货物总重量为M（=m1m2mn）. a1相比较，把货物集中到Ai（2in）的运输吨千米数ai所增加的至少是m1A1Ai，所减少的至多是（m2m3+mn）A1Ai，这里A1Ai表示A1与Ai之间的距离. aia1. 这说明了“小往大处靠”原则是正确的. 处靠”原则不成立.例如.在例7中一、二、五号仓库中的存货如果分别为30吨、10吨、30吨，那么容
12、易知道把货物集中到二号仓库运费最少. 例8 若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过353千克，今有载重量为1.5吨的汽车，至少需要几辆，才能把这些箱货物一次全部运走？ 分析与解答 如果认为19.51.5=13，因此只需13辆汽车就可以把这些箱货物一次全部运走，这就把题意理解错了.因为货物是整箱装的，每辆汽车不一定都能满载.请先看一个反例，它说明甚至15辆车都不一定能一次运完. 例如这批货物共装有65只箱子，其中64箱的重量都是301千克（不超过353千克），另一箱的重量是236千克，那么总重量为 30164+236=19500（千克）. 恰好符合总重为19.5吨的要求由于 3015=1505
13、（千克） 即5只重量为301千克的箱子的总和超过1.5吨，因此，每辆汽车最多只能装4只重量为301千克的箱子，15辆汽车最多只能装41560（只）重量为301千克的箱子，这样，必然有4只重量为301千克的箱子无法再装运了. 既然15辆汽车无论如何无法一次运完上例中的65只箱子，那么16辆汽车能不能一次运完这些货物呢？答案是肯定的.事实上， 3014+2361440（千克）， 不超过1.5吨，这就是说，第16辆汽车可以装余下的4只重量为301千克的箱子和1只重量为236千克的箱子.所以，16辆汽车可以一次运完这些箱货物. 问题到这里仍然没有彻底解决.因为每箱货物的重量只要求不超过353千克，除此
14、别无具体数量的限制，所以我们还应该对于一般情况（上例仅是一种特殊情况）来验证16辆汽车确实能一次运完全部箱子. 首先让12辆汽车装货刚刚超过1.5吨，即若取下最后装的一只箱子就不超过1.5吨，再从这12辆汽车上把每辆车最后装的那只箱子卸下来，并把这12只箱子分别装上另外3辆空车，每车4箱，由于每车4箱总重量不超过 43531412（千克）. 因此也不超过1.5吨.这时，12315辆车就装完原来前12辆车上全部货物，总重量超过 1.512=18（吨）. 而且每辆车载重不超过1.5吨，于是，剩下来装车的箱子总重量不足 19.5-181.5（吨）， 可以把它们全部装在第16辆车上运走. 三、最短的路
15、线（几何中的最大最小问题） 例9 下图，直线l表示一条公路，A、B表示公路同一侧的两个村子，现在要在公路l上修建一个汽车站，问这个汽车站建在哪一点时，A村与B村到汽车站的距离之和最短？ 分析与解答 如果A、B两个村子在公路l的两侧，问题就简单了，只要把A、B两点连接起来，与公路l的交点就是建站的地方，因为两点之间，线段最短. A、B两村在公路l的同侧的情形，我们用“对称”的方法来解决，先求出A点关于l的对称点A，连结AB与l交点于C点，则C点就是汽车站应建的那个点. 为什么ACBC是距离最短呢？我们假设不选C点，而选择C外的一点C，显然有 ACCB=ACCB=AB， AC+CB=AC+CB.
16、根据“连接两点的线中直线段最短”，有 ACCBAB，所以选择C点能使ACCB距离最短. 利用这种对称原理可以解决很多复杂的问题. 例10 设牧马营地在M，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回营地.问：怎样的放牧路程最短？ 分析与解答 依题意，每一条放牧路线都是一个三角形的三条边，我们设法把这条路线变成两个固定点之间的连线. 根据“对称”原理，设草地的边线是l1，河流的岸线是l2（下图）.令M关于l1、l2的对称点分别是M1、M2连结MM，分别交l1、l2于A、B，则路线MBAM就是最短路线，读者可自己证明其路线最短. 几何中的最大与最小问题很多，待学习一些知识后，将有很多有趣的最大与最小的问题等待你去解决. 3N