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1、1 专题 8.1 空间几何体的表面积与体积 【考纲解读】 内容 要求备注 A B C 空 间 几 何 体 柱、锥、台、球及其 简单组合体 1认识柱、 锥、台、球及其简单组合体的结构特征能 正确描述现实生活中简单物体的结构 2了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公 式 ( 不要求记忆台体的体积公式) 柱、锥、台、球的表 面积与体积 【知识清单】 考点 1 几何体的表面积 圆柱的侧面积rlS2 圆柱的表面积)(2lrrS 圆锥的侧面积rlS 圆锥的表面积)(lrrS 圆台的侧面积lrrS)( 圆台的表面积)( 22 rllrrrS 球体的表面积 2 4 RS 柱体、锥体、台体的侧面积，就是各
2、个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底 面积之和 . 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图 分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积. 考点 2 几何体的体积 圆柱的体积hrV 2 圆锥的体积hrV 2 3 1 圆台的体积)( 3 1 22 rrrrhV 球体的体积 3 3 4 RV 正方体的体积 3 aV 正方体的体积abcV 2 【考点深度剖析】 柱、锥、台、球等简单几何体的面积与体积( 尤其是体积 ) 是高考热点 【重点难点突破】 考点 1 几何体的表面积 【 1-1 】 【苏州市2014 届高三调研测试】若圆锥
3、底面半径为1，高为 2，则圆锥的侧面积为 【答案】 5 【 1-2 】 【2012江苏高考】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥A- BB1D1D的体积为 _cm 3. 【答案】 6 【解析】由题意得VABB1D1D 2 3V ABD A1B1D 1 2 3 1 23326 cm 2. 【思想方法】 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理 圆柱、 圆锥、 圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面 积与底面圆的面积之和 【温馨提醒】多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注
4、意重合部分的处理；圆锥、圆 柱、圆台的侧面是曲面，计算侧面积或长度时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与 底面圆的面积之和. (1)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系(2) 注意组合体的表面积问题中 重合部分的处理 考点 2 几何体的体积 【 2-1 】 【江苏省南京市2014 届高三 9 月学情调研】若一个圆柱的侧面展开图是边长为2 的正方形，则此 圆柱的体积为 . 【答案】 2 . 【 2-2 】 【苏州市2014 届高三暑假自主学习测试】如图，在直四棱柱 1 1 11 ABCDA B C D中，点,E F分别 在 11 ,AA CC上，且 1 3 4 AEAA， 1
5、1 3 CFCC，点,A C到BD的距离之比为3: 2，则三棱锥EBCD 3 和FABD的体积比 EBCD FABD V V . 【答案】 3 2 【解析】点,A C到BD的距离之比为3: 2，所以 2 3 BCD ABD S S ，又直四棱柱 1 1 11 ABCDA B C D中， 1 3 4 AEAA， 1 1 3 CFCC，所以 9 4 AE CF ，于是 1 293 3 1 342 3 BCD E BCD FABD ABD SAE V V SCF . 【 2-3 】 【江苏省诚贤中学2014 届高三数学月考试题】正三棱锥SABC中，2BC，3SB，DE、 分别是棱SASB、上的点，Q
6、为边AB的中点，SQCDE平面，则三角形CDE的面 为 【答案】 10 4 【解析】 【思想方法】若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行 求解 【温馨提醒】(1) 计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高 (2) 注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算 4 常用的方法，应熟练掌握 (3) 注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征 考点 3 几何体的展开、折叠、切、截问题 【 3-1 】(2014南通期末) 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为23，则四面体AB1CD1的外接球的体积为 _ 【
7、答案】 36 【解析】四面体AB1CD1的外接球即为正方体ABCDA1B1C1D1的外接球，故正方体的外接球的直径为 (23) 2(2 3) 2 (23) 26，故 V 4 3 R 34 3 (6 2) 336. 【 3-2】如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC 1的体积 为 _ 【答案】 3 12 【解析】三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥A B1BC1的体积，三棱锥A B1BC1的高为 3 2 ，底面积为 1 2，故其 体积为 1 3 1 2 3 2 3 12 . 【思想方法】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，
8、弄清相关元素的关系和数 量关系，选准最佳角度作出截面( 要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素 之间的关系 ) ，达到空间问题平面化的目的 有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形( 折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元 素间的位置 和数量关系，哪些变，哪些不变 研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短 距离问题 【温馨提醒】简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握 各类简单几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则 几何体的技巧、把一个简单几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、 通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解简单几何体面积和体积计算难点的关键 【易错试题常警惕】 求空间几何体的表面积应注意的问题 (1) 求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理 (2) 底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错