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1、- 1 - 第 03 节等比数列及其前n 项和 【考纲解读】 考点考纲内容五年统计分析预测 等比数列的概 念与运算 1. 理解等比数列的概念，掌 握等比数列的通项公式； 2. 了解等比数列与指数函数 的关系 . 2013 浙江文 19；理 18； 2014 浙江理 19； 2015 浙江文 10,17 ；理 3； 2016 浙江文 17. 1.高频考向 : 利用方程思想应 用等比数列通项公式、前n 项和公式求基本量； 2.低频考向 : 等比数列的性质 及应用. 3.特别关注 : （1） 与等差数列的综合问题； （2）根据已知递推式构造等 比数列求解相关问题. 等比数列前n 项和及应用 1. 掌
2、握等比数列的通项公 式与前 n 项和公式及其应 用； 2. 会用数列的等比关系解 决实际问题 . 2016 浙江文 17. 【知识清单】 一等比数列的有关概念 1. 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数 列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(0)q，即： )0( 1 qq a a n n , （注意：“从第二项起”、“常数”q、等比数列的公比和项都不为零） 2等比数列通项公式为：)0( 1 1 1 qaqaa n n . 说明： （1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d时该数列既是等比数列也是等差数
3、列； （ 2）等比数列的通项公式知：若 n a为等比数列，则 mnm n a q a . 3等比中项 如果在ba与中间插入一个数G，使bGa,成等比数列， 那么G叫做ba与的等比中项 （两个 符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 4等比数列前n项和公式 一般地，设等比数列 123 , n a a aa的前 n 项和是 n S 123n aaaa，当1q时 - 2 - ， q qa S n n 1 )1( 1 或 1 1 n n aa q S q ；当1q时， 1 naSn（错位相减法）. 说明： （1） （1） n Snqa, 1 和 nn Sqaa, 1 各已知三个可求第四个； （2）注意
4、求和公式中是 n q， 通项公式中是 1n q不要混淆；（3）应用求和公式时1q，必要时应讨论1q的情况 . 5. 等差数列与等比数列的区分与联系 (1) 如果数列 n a成等差数列，那么数列 n a A( n a A总有意义 ) 必成等比数列 (2) 如果数列 n a成等比数列，且0 n a，那么数列log an a (0a，且1a) 必成等差数 列 (3) 如果数列 n a既成等差数列又成等比数列，那么数列 n a是非零常数数列数列 n a是 常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件 (4) 如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一 般
5、”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构 成什么样的新数列 对点练习： 【2017 届浙江省杭州高级中学高三2 月模拟】已知数列 na 的前n项和为 n S，对任意正整 数n， 1 3 nn aS，则下列关于 n a的论断中正确的是（） A. 一定是等差数列 B. 一定是等比数列 C. 可能是等差数列，但不会是等比数列 D. 可能是等比数列，但不会是等差数列 【答案】 C 【解析】 an+1=3Sn， Sn+1- Sn=3Sn， Sn+1=4Sn， 若 S1=0，则数列 an 为等差数列； 若 S10，则数列 Sn为首项为S1，公比为4 的等比数列，Sn=
6、S1?4 n-1， 此时 an=Sn-Sn-1=3S1?4 n-2(n ? 2)，即数列从第二项起，后面的项组成等比数列。 综上，数列 an 可能为等差数列，但不会为等比数列。 本题选择C选项 . 二等比数列的相关性质 - 3 - 1. 等比数列的性质： （1）在等比数列 n a中，从第2 项起，每一项是它相邻二项的等比中项； （2）在等比数列 n a中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列，如： 1 a， 3 a， 5 a， 7 a，； 3 a， 8 a， 13 a， 18 a，； （3）在等比数列 n a中，对任意m，nN， mn mn qaa； （4）在等比数列 n a中，若m，n，p，q
7、N且mnpq，则 mnpq aaaa, 特殊 地，2mpq时，则 2 mpq aaa， m a是 pq aa、的等比中项 . 也就是： 23121nnn aaaaaa，如图所示： n n aa n aa nn aaaaaa 1 12 , 12321 . （5） 若数列 n a是等比数列， 且公比不为1， n S是其前n项的和， * Nk， 那么 k S， kk SS2， kk SS 23 成等比数列 . 如下图所示： k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321. （6）两个等比数列 n a与 n b的积、商、倒数的数列 nn ab、 n
8、n b a 、 n b 1 仍为等比数 列 （7）若数列 n a是等比数列 , 则 n ka， 2 n a仍为等比数列 2. 公比不为1 的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即 21 aa， 32 aa， 43 aa，成等比数列，且公比为 2132 2121 aaq aa q aaaa . 3. 等比数列的单调性 当 1 0 1 a q 或 1 0 01 a q 时， n a为递增数列，当 1 0 01 a q 或 1 0 1 a q 时， n a为递减数列 4. 等差数列和等比数列比较 等差数列等比数列 - 4 - 定义 1nn aa常 数 1n n a a 常数 通项公
9、式 1 (1) n aand)0( 1 1 1 qaqaa n n 判定方法 (1) 定义法； (2) 中项公式法： 21 2 nnn aaanN? n a 为等差数列； (3) 通项公式法： n apnq(,p q 为常数 ,nN) ? n a为等差数 列； (4) 前n项和公式法： 2 n SAnBn(,A B为常数 , nN) ? n a为等差数列； (5) n a为等比数列，且0 n a， 那么数列log an a (0a，且 1a) 为等差数列 (1) 定义法 (2) 中项公式法： 2 12nnn aaa nN (0 n a) ? n a为等比数 列 (3) 通项公式法： n n a
10、cq (, c q均是不 为 0 的常数，nN) ? n a为等比数 列 (4) n a为等差数列 ? n a A( n a A总有 意义 ) 为等比数列 性质 (1) 若m，n，p，qN ，且 mnpq， 则 mnpq aaaa (2) () nm aanm d (3) 232 , nnnnn S SS SS，仍成 等差数列 (1) 若m，n，p，qN ，且 mnpq，则 mnpq aaaa (2) mn mn qaa (3) 等比数列依次每n项和 (0 n S) ，即 232 , nnnnn S SS SS，仍成等比数列 前n项和 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snad 1q时， 1 naSn；当1q时， q qa S n n 1 )1 ( 1 或 1 1 n n aa q S q . 对点练习： 1. 【2016 天津理 5】设 na 是首项为正数的等比数列，公比为q，则“0q”是“对任意的 正整数n， 212 0 nn aa”的（） . A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也