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1、1 / 11 第一单元分数乘法 一、分数乘法 ( 一) 分数乘法的意义： 1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。 例如： 655 表示求 5 个 65的和是多少 ? 1/3 5 表示求 5 个 1/3 的和是多少 ? 2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。 例如： 1/3 4/7 表示求 1/3 的 4/7 是多少。 43/8 表示求 4 的 3/8 是多少 . ( 二) 、分数乘法的计算法则： 1、分数与整数相乘： 分子与整数相乘的积做分子， 分母不变。( 整数和分母约分 ) 2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。注意：当
2、带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 5PTjBzHg 3、 为了计算简便， 能约分的要先约分， 再计算。 （尽量约分，不会约分的就不约， 常考的质因数有 1111=121；1313=169；1717=289；1919=361）5PTjBzHg 4、小数乘分数，可以先把小数化为分数，也可以把分数化成小数再计算（建议 把小数化分数再计算） 。 (三)、 乘法中比较大小的规律 一个数 (0 除外)乘大于 1 的数，积大于这个数。 一个数 (0 除外)乘小于 1 的数(0 除外)，积小于这个数。 一个数 (0 除外)乘 1，积等于这个数。 ( 四) 、 分数混合运算的运算顺序和整
3、数的运算顺序相同。整数乘法的交换律、 结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 5PTjBzHg 乘法交换律： a b = b a 乘法结合律： ( a b ) c = a ( b c ) 乘法分配律： ( a + b )c = a c + b c 二、分数乘法的解决问题 ( 已知单位“ 1”的量 ( 用乘法 )，即求单位“ 1”的几 分之几是多少 ) 1、画线段图： (1) 两个量的关系：画两条线段图，先画单位一的量，注意两条线 段的左边要对齐。 (2) 部分和整体的关系：画一条线段图。 5PTjBzHg 2、找单位“ 1” ： 单位“ 1” 在分率句中分率的前面； 或在“占”、 “是” 、
4、 “比” “相当于”的后面。 3、写数量关系式的技巧： (1) “的” 相当于 “” ， “占” 、 “相当于”“是” 、 “比”是“ = ” (2) 分率前是“的”字：用单位“1”的量分率 =具体量 例如：甲数是 20，甲数的 1/3 是多少？列式是： 201/3 4、看分率前有没有多或少的问题；分率前是“多或少”的关系式： （比少） ：单位“ 1”的量 (1- 分率)=具体量； 例如：甲数是 50，乙数比甲数少 1/2 ，乙数是多少？ 列式是： 50（1-1/2 ） （比多） ：单位“ 1”的量 (1+分率)=具体量 例如：小红有 30 元钱，小明比小红多3/5 ，小红有多少钱？ 列式是：
5、 50（1+3/5） 3、求一个数的几倍是多少：用一个数几倍； 2 / 11 4、求一个数的几分之几是多少：用一个数几分之几。 5、求几个几分之几是多少：用几分之几个数 6、求已知一个部分量是总量的几分之几，求另一个部分量的方法： (1) 、单位“ 1”的量 (1- 分率)=另一个部分量（建议用） (2) 、单位“ 1”的量 - 已知占单位“ 1”的几分之几的部分量 =要求的部分量 例如：教材 15 页做一做和 16 页练习第七题 （题目中有时候会有这种题的关键字 “其中” ） 第二单元位置与方向（二） 一、确定物体位置的方法： 1、先找观测点； 2、再定方向（看方向夹角的度数）； 3、最后确
6、定距离（看比例尺） 二、描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标，确定方向和路程。 三、位置关系的相对性： 1、两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时，观 测点不同，叙述的方向正好相反，而度数和距离正好相等。5PTjBzHg 四、相对位置：东 - 西；南 - 北；南偏东 - 北偏西。 第三单元分数除法 三、倒数 1、倒数的意义：乘积是 1 的两个数互为倒数。 强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。 ( 要说清谁是谁的倒数 )。 2、求倒数的方法： (1) 、求分数的倒数：交换分子分母的位置。 (2) 、求整数的倒数：把整数看做分母是1 的分数，再交换分子分母
7、的位置。 (3) 、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。 (4) 、求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数。 3、 1的倒数是 1； 因为 11=1；0 没有倒数， 因为 0 乘任何数都得 0，(分 母不能为 0) 4、真分数的倒数大于1; 假分数的倒数小于或等于1; 带分数的倒数小于1。 5、运用， a2/3=b1/4 求 a 和 b 是多少。把 a2/3=b1/4 看成等于 1, 也就 是求 2/3 的倒数和求 1/4 的倒数。5PTjBzHg 1、分数除法的意义： 乘法： 因数 因数 = 积 除法： 积 一个因数 = 另一个因数 分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的
8、积和其中一个因数，求另 一个因数的运算。 例如：1/2 3/5 意义是：已知两个因数的积是1/2 与其中一个因数3/5 ，求另一 个因数的运算。 2、分数除法的计算法则： 除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。 3、分数除法比较大小时的规律： (1) 当除数大于 1，商小于被除数 ; (2) 当除数小于 1(不等于 0)，商大于被除数 ; 3 / 11 (3) 当除数等于 1，商等于被除数。 “ ”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小 括号里面的，再算中括号里面的。 5PTjBzHg 二、分数除法解决问题 1，解法： (1) 方程： 根据数量关系式设未知量为X，用
9、方程解答。 解：设未知量为 X （一定要解设） , 再列方程用 X分率 =具体量 例如：公鸡有20 只，是母鸡只数的1/3 ，母鸡有多少只。（单位一是母鸡只数， 单位一未知 . ）解：设母鸡有 X只。列方程为： X1/3=205PTjBzHg (2) 算术( 用除法 )：单位“ 1”的量未知用除法： 即已知单位“ 1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。 分率对应量对应分率 = 单位“ 1”的量 例如：公鸡有20 只，是母鸡只数的1/3 ，母鸡有多少只。（单位一是母鸡只数， 单位一未知，）用除法，列式是： 201/35PTjBzHg 2、看分率前有没有比多或比少的问题； 分率前是“多或少”的关
10、系式： （比少） ：具体量 (1- 分率)= 单位“ 1”的量； 例如: 桃树有 50 棵，比苹果树少 1/6 ，苹果树有多少棵。 列式是： 50（1-1/6 ） （比多） ：具体量 (1+ 分率)= 单位“ 1”的量 例如: 一种商品现在是 80 元，比原价增加了1/7，原价多少？ 列式是： 80（1+1/7） 3、求一个数是另一个数的几分之几是多少：用一个数除以另一个数， 结果写 为分数形式。 例如: 男生有 20 人，女生有 15 人，女生人数占男生人数的几分之几。 列式是： 1520=15/20=3/4 4、求一个数比另一个数多几分之几的方法： 用两个数的相差量单位“1”的量 =分数
11、即求一个数比另一个数多几分之几：用（大数小数）另一个数（比那个 数就除以那个数），结果写为分数形式。5PTjBzHg 例如：5 比 3 多几分之几？（53） 3=2/3 求一个数比另一个数少几分之几：用（大数小数）另一个数（比那个数 就除以那个数），结果写为分数形式。5PTjBzHg 例如：3 比 5 少几分之几？（53） 5=2/5 说明：多几分之几不等于少几分之几，因为单位一不同。 5、工程问题：把工作总量看作单位“ 1” ，合做多长时间完成一项工程用1效率 和，即 1（ 1/ 时间 +1/ 时间）， （工作效率 =1/ 时间）5PTjBzHg 例如：一项工程甲单独做要5 天完成，乙单独做
12、要10 天完成，甲单独做要3 天 完成，三人合做几天可以完成？列式：1（ 1/5+1/10+1/3）5PTjBzHg 第四单元比 ( 一) 、比的意义 1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 2、 在两个数的比中， 比号前面的数叫做比的前项， 比号后面的数叫做比的后项。 比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 5PTjBzHg 例如15 ：10 = 15 10=3/2( 比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示) 4 / 11 15 10 3/2 前项比号后项比值 3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。例：长是宽的几倍。 也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例：路程速度 =时间。
13、 4、区分比和比值 比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。 比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。 5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。 6、比和除法、分数的联系： 比前 项比号“：”后 项比值 除 法被除数除号“”除 数商 分 数分 子分数线“”分 母分数值 7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的 关系。 8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。 9、体育比赛中出现两队的分是2：0 等，这只是一种记分的形式，不表示两个数 相除的关系。 10、求比值：用前项除以后项，结果最好是写为分数（
14、不会约分的就不约分） 例如：15 10 151015 103/2 (二)、比的基本性质 1、根据比、除法、分数的关系： 商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0 除外)，商不变。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0 除外) ，分数值 不变。 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外)，比值不变。 2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简 整数比。 3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。 4. 化简比： (2) 用求比值的方法。注意：最后结果要写成比的形式。 例如： 15 10 = 15 10 =151
15、0 3/2 = 32 还可以 1510 = 15 10 = 3/2 最简整数比是 32 5、比中有单位的，化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值，结果没有 单位。 6. 按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例 分配。一般有两种解题法 ，用分率解 : 按比例分配通常把总量看作单位一，即转化成分率。要先求出总 5 / 11 份数，再求出几份占总份数的几分之几，最后再用总量分别乘几分之几。 5PTjBzHg 例如：有糖水 25 克，糖和水的比为1:4 ，糖和水分别有几克？ 1+4=5 糖占 1/5 用 25 1/5 得到糖的数量，水占 4/5 用 254/5 得到水
16、的数 量。 2，用份数解：要先求出总份数，再求出每一份是多少，最后分别求出几份是多 少。 例如：有糖水 25 克，糖和水的比为1:4 ，糖和水分别有几克？ 糖和水的份数一共有1+4=5 一份就是 255=5糖有 1 份就是 51 水有 4 分就 是 54 第五单元圆的认识 一、认识圆形 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。 2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆 心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等.5PTjBzHg 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r 表示。把圆 规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 5PTj
17、BzHg 4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d 表示。直 径是一个圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6、在同一个圆内或等圆内， 有无数条半径， 有无数条直径。 所有的半径都相等， 所有的直径都相等。 7. 在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2 倍，半径的长度是直径的1/2 。用字 母表示为： d=2r 或 r=d/2 5PTjBzHg 8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合， 这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。5PTjBzHg 9、长方形、正方形和圆都是对称图形， 都有对称轴。 这些图形都是轴对
18、称图形。 10、只有 1 条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只 有 2 条对称轴的图形是：长方形；只有 3 条对称轴的图形是：等边三角形；只 有 4 条对称轴的图形是：正方形 ; 有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。5PTjBzHg 、画对称轴要用铅笔画，同时要用尺子（三角板）画出虚线，这条虚线两端 要超出图形一点。 二、圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。 2、圆周率实验： （滚动法）在圆形纸片上做个记号，与直尺0 刻度对齐，在直尺 上滚动一周， 得到圆的周长。 或者用线围绕圆形纸片一周量出线的长度就是圆的 周长（测绳法）。5PTjBzH
19、g 发现，圆周长与它直径的比值（圆周长除以直径）是一个固定数即倍多一点， 我们把它叫做圆周率用字母表示。5PTjBzHg 3、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫 做圆周率。用字母 (pai) 表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数 学家祖冲之。 5PTjBzHg (1) 、一个圆的周长总是它直径的3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周 率是一个无限不循环小数。在计算时，一般取 3.14 。5PTjBzHg (2) 、在判断时，圆周长与它直径的比值是倍，而不是 3.14 倍。 6 / 11 4、圆的周长公式：圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示C= d
20、(1) 、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，用字母表示 d = C 或圆的周长等于乘圆周率乘半径，用字母表示C=2 r (2) 、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的倍， 用字母表示 r = C 2 （r = C / 2） 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方 形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。5PTjBzHg 6、区分周长的一半和半圆的周长： (1) 、周长的一半：等于圆的周长2 计算方法： 2 r 2 即 C半= r (2) 半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。计算方法：半圆的周长 =5.14 r （推导过程 C半=2 r 2+d=r
21、+d=r+2r =5.14 r）5PTjBzHg 三、圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母 S表示。 2、圆面积公式的推导： (1) 把一个圆等分 (偶数份 ) 成的扇形份数越多， 拼成的图 像越接近长方形。长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的 半径。5PTjBzHg (2) 拼出的图形与圆的周长和半径的关系。 圆的半径 = 长方形的宽 圆的周长的一半 = 长方形的长 3、圆面积的计算方法：因为：长方形面积 = 长宽 所以：圆的面积 = 圆周长的一半 圆的半径 即 S圆 = 2 r r r r 圆的面积公式： S圆 =r r = S 圆 4、环形的面积：
22、一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r 表 示。(R=r+环的宽度 .) S环 = R -r或环形的面积公式： S环 = (R -r) （建议用这个公式）。 5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而 面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 5PTjBzHg 例如：在同一个圆里，半径扩大3 倍，那么直径和周长就都扩大3 倍，而面积扩 大 3 的平方倍得到 9 倍。 6、两个圆：半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 例如：两个圆的半径比是23，那么这两个圆的直径比和周长比都是23， 面积比是 49 7 / 11 7、任意一个正方形与它
23、内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4 8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面 积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。 5PTjBzHg 9、常用各 值结果： = 3.14 ；2 = 6.28 ；5=15.7 10、外方内圆（内切圆）公式S=0.86r推导过程： S=S正-S 圆=d -r=2r 2r-r=4r- r=r(4-)=0.86r新5PTjBzHg 11、外圆内方（外切圆）公式 S=1.14r推导过程：S=S圆-S 正=r-dr/22=2r r/2r=r-2r=r(-2)=1.14r（把正方形看成两个面积相等的三角形，
24、三角形的底就是直径，高是半径） 5PTjBzHg 12、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的 角叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。 5PTjBzHg 13、S扇=S圆 n/360；S扇环=S环 n/360 14、扇形也是轴对称图形，有一条对称轴。 15、常见半径与直径的周长和面积的结果。 半径半径的平方直径周长面积 1 1 2 6.28 3.14 2 4 4 12.56 12.56 8 / 11 第六单元百分数 一、百分数的意义和写法 （一） 、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指的两个 数的比，因此也叫百分率或百分比。5PTj
25、BzHg （二） 、百分数和分数的主要联系与区别： 联系：都可以表示两个量的倍比关系。 区别：、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量， 所以不能带单位 ; 分数既可以表示具体的数， 又可以表示两个数的关系， 表示具体数时可以带单位。 、百分数的分子可以是整数，也可以是小数; 分数的分子不能是小数，只能是除0 以外的自然数。 3、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“% ”来表示， 读作百分之。 二、百分数和分数、小数的互化 ( 一) 百分数与小数的互化： 1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位（数位不够用0 补足） ，同时在后面 添上百分号。 2. 百
26、分数化成小数： 把小数点向左移动两位 （数位不够用 0 补足） ，同时去掉百 分号。 ( 二) 百分数的和分数的互化 1、百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100 的分数，能约分要约成最简 分数。 2、分数化成百分数： 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100 的分数，再写成百 分数形式。 先把分数化成小数 ( 除不尽时， 通常保留三位小数 ) ，再把小数化成 百分数。 （建议用这种方法）5PTjBzHg (三)常见分数小数百分数之间的互化； 3 9 6 18.84 28.26 4 16 8 25.12 50.24 5 25 10 31.4 78.5 6 36 12 37.68
27、 113.04 7 49 14 43.96 153.86 8 64 16 50.24 200.96 9 81 18 56.52 254.34 10 100 20 62.8 314 1.5 2.25 3 9.42 7.065 2.5 6.25 5 15.7 19.625 3.5 12.25 7 21.98 38.465 4.5 20.35 9 28.26 63.585 5.5 30.25 11 34.54 94.985 7.5 56.25 15 47.1 176.625 9 / 11 三、用百分数解决问题 ( 一) 一般应用题 1、常见的百分率的计算方法： 一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确
28、率能达到100% ，出米率、出油率 达不到 100% ，完成率、增长了百分之几等可以超过100% 。5PTjBzHg 2、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数，结果写为百分数形 式。 例如：例如 : 男生有 20 人，女生有 15 人，女生人数占男生人数的百分之几。 列式是： 1520=15/20=75 3、已知单位“ 1”的量( 用乘法 ) ，求单位“ 1”的百分之几是多少的问题，数量 关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同： 5PTjBzHg (1) 百分率前是“的”： 单位“ 1”的量百分率 =百分率对应量 (2 百分率前是“多或少”的数量关系： 单位“ 1”的量 (1百分率
29、 )=百分率对应量 4、 未知单位“1”的量( 用除法 ) ， 已知单位“1”的百分之几是多少， 求单位“1” 。 方法与分数的方法相同。5PTjBzHg 解法：(1) 方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。 (2) 算术( 用除法 )： 百分率对应量对应百分率 = 单位“ 1”的量 5、求一个数比另一个数多 ( 少) 百分之几的方法与分数的方法相同。只是结果要 写为百分数形式。看百分率前有没有比多或比少的问题； 5PTjBzHg 百分率前是“多或少”的关系式： （比少） ：具体量 (1- 百分率 )= 单位“ 1”的量； 10 / 11 例如: 大米有 50 千克，比面粉树少 50
30、，面粉有多少千克。 列式是： 50（1-50） （比多） ：具体量 (1+ 百分率 )= 单位“ 1”的量 例如: 工人做 110 个零件，比原计划多做了10，原计划做多少个？ 列式是： 110（1+10） 6、求一个数比另一个数多百分之几的方法：方法与分数的方法相同。 用两个数的相差量单位“1”的量 =百分之几 即求一个数比另一个数多百分之几：用（大数小数）另一个数（比那个 数就除以那个数），结果写为百分数形式。 5PTjBzHg 甲比乙多几分之几的问题，方法A， （甲- 乙）乙 （建议用） 方法 B，甲乙 -100 例如：老师计划改40 本作业，实际改了50 本，实际比计划多改了百分之几？
31、 列式是：（5040）40=0.25=25 求一个数比另一个数少几分之几：用（大数小数）另一个数（比那个数 就除以那个数），结果写为百分数形式。5PTjBzHg 乙比甲少几分之几的问题，方法A,（甲- 乙）甲（建议用） 方法 B， 100 - 乙甲 例如：张三家用了100度电，李四家用了90 度电，李四家比张三家少用百分之 几？ （10090）100=0.1=10 说明：多百分之几不等于少百分之几，因为单位一不同。 7、如果甲比乙多或少a，求乙比甲少或多百分之几，用a（ 1a） 8、求价格先降 a又上升 a后的价格： 1（1-a）（ 1+a） （假设原来的 价格为“ 1” 。求变化幅度（求降价
32、后的价格是涨价后价格的百分之几）用1-降 价后又上升的百分率。5PTjBzHg 第七单元：扇形统计图 一、扇形统计图的意义： 用整个圆的面积表示总数， 用圆内各个扇形面积表示各 部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比( 因此也叫百分 比图) 。5PTjBzHg 二、常用统计图的优点： 1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。 2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变 化情况。 3、扇形统计图： 能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。（要在统计图 上写出百分率） 三、扇形的面积大小： 在同一个圆中， 扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有
33、 关，圆心角越大，扇形越大。( 因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇 形圆心角度数占圆周角度数的百分比。)5PTjBzHg 四、应用： 1. 会观察统计图。 2、你得到什么数学信息？ 回答、 * 占总体的百分之几； 、* 占的百分比最多， * 占的百分比最少； 3、你还能提什么数学问题：* 和* 一共占百分之几。 11 / 11 数学广角：数与形 1、每幅图的圆点总数都可以看作是两个相同的数相乘的积，这些算式还可以用平 方数的形式来表示。 1+3=2 2 1+3+5=3 2 1+3+5+7=4 2 得出：从 1 起连续 奇数的和等于奇数个数的平方。（天下无双，个数平方） 5PTjBzHg 2、从 2 起连续偶数的和等于偶数个数的平方加偶数个数（即（ n 2+n） ，或等于偶 数个数乘比偶数个数大1 的数即 n（n+1） 。5PTjBzHg