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1、第五章 方差分析 一、教学大纲要求 （一）掌握内容 1方差分析基本思想 （1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。 （2） 多组均数比较的检验假设与F值的意义。 （3）方差分析的应用条件。 2常见实验设计资料的方差分析 （1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、 方差分析表。 （2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计 算、方差分析表。 （3）多个样本均数间的多重比较方法：LSD-t 检验法； Dunnett-t 检验法； SNK-q 检验法。 （二）熟悉内容
2、多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。 （三）了解内容 两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。 二、教学内容精要 (一) 方差分析的基本思想 1 基本思想 方差分析（ analysis of variance，ANOV A）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值 总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean，SS）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余 每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS组间可由处理因素的 作用加以解释。通过各变异来源的均方与误
3、差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无 影响。 2分析三种变异 （1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups） ，组间变异反映了 处理因素的作用（处理确有作用时） ，也包括了随机误差（包括个体差异及测定误差）, 其大小可用组间均方（MS组 间）表示，即MS组间= 组间组间/ SS， 其中， SS组间= 2 1 )(xxn k i ii ， 组间=k-1 为组间自由度。 k 表示处理组数。 （2）组内变异：各处理组内部观察值之间不尽相同，这种变异叫做组内变异(variation within group
4、s) ，组内变异反 映了随机误差的作用， 其大小可用组内均方( 组内 MS) 表示， 组内组内组内 /SSMS， 其中 k i n j iij i xxSS 11 2 )( 组内 , kN 组内 ，为组内均方自由度。 （3）总变异：所有观察值之间的变异（不分组），这种变异叫做总变异(total variation) 。其大小可用全体数据的方 差表示， 也称总均方 (MS总 )。按方差的计算方法，MS 总= 总总 /SS，其中 SS总= 2 11 )( k i n j ij i xx, k 为处理组数， i n 为第 i 组例数， 总=N-1 为总的自由度， N 表示总例数。 （二）方差分析的应
5、用条件 （ 1）各样本是相互独立的随机样本，且来自正态分布总体。 （ 2）各样本的总体方差相等，即方差齐性(homoscedasticity)。 （三）不同设计资料的方差分析 1完全随机设计的单因素方差分析 （1）资料类型：完全随机设计(completely random design) 是将受试对象完全随机地分配到各个处理组。设计因素 中只考虑一个处理因素，目的是比较各组平均值之间的差别是否由处理因素造成。 (2) 方差分析表：见表5-1。FF时，拒绝 H0: 12k。 表 5-1 完全随机设计方差分析计算表 来源SS MS F值 组间SS组间 1k 组间 MS组间= 组间 组间 SS F=
6、 组内 组间 MS MS 组内 ( 误差 ) SS组内=SS总 SS组间 组内 = 总 - 组内 =N- k MS 组内= 组内 组内 SS 总计SS总 总 = N 1 2随机区组设计的两因素方差分析 （ 1）资料类型：随机区组设计（randomized block design）是将受试对象按自然属性（如实验动物的窝别、 体重，病人的性别、年龄及病情等）相同或相近者组成单位组（区组），然后把每个组中的受试对象随机地分配给 不同处理。设计中有两个因素，一个是处理因素，另一个是按自然属性形成的单位组。单位组的选择原则是“单位 组间差别越大越好，单位组内差别越小越好”。 （2）方差分析表：见表5-
7、2。 F处理F时，拒绝H0: 12k。 表 5-2 随机区组设计方差分析计算表 变异来源 SS MS F值 处理组间 SS 处理 处理 = k-1 MS 处理= 处理 处理 SS F处理= 误差 处理 MS MS 单位组间 SS 单位 单位 = b-1 MS 单位= 单位 单位 SS F单位= 误差 单位 MS MS 误差 SS误差 = SS总- SS 处理- SS单位误差 = 总-处理 - 单位 =N-k-n+1 MS 误差= 误差 误差 SS 总计 SS 总 总 = N-1 3多个样本均数的多重比较 如果方差分析结果表明各组间有显著差别，则需要进一步进行两两比较，也称均数间的多重比较（mu
8、ltiple comparison ） 。进行两两比较的方法主要有： （1）LSD-t 检验：称为最小显著差异t检验。适用于k组中某一对或某几对在专业上有特殊意义的均数间差 异的比较。检验统计量为t值，自由度为方差分析表中的误差自由度，查t界值表。 A Bd BA S XX t其中)( 11 BA AB nn d MSS 误差 （5-1） （2）Dunnett-t检验：它适用于k-1个试验组与一个对照组均数差别的多重比较，检验统计量为t值，自由 度为方差分析表中的误差自由度，查Dunnet-t界值表。 0 0 xx i i S xx t，其中 0 xxi S =) 11 ( 0 nn MS i
9、 误差 （ 5-2 ） （3）SNK-q检验：在方差分析结果拒绝H0时采用。适用于所有组均数的两两比较。检验统计量为q，自由度为比 较组数a和方差分析表中的误差自由度，查q界值表。 () AB d XX S q其中， 11 () 2 AB nn d MS S 误差 (5-3) 4多组资料方差起行检验 当各组标准差相差较大（如1.5 倍）时，需检验资料是否满足方差齐性的条件。 5. 变量变换 当资料不能满足方差分析的条件时，如果进行方差分析，可能造成错误的判断。因此对于明显偏离上述应用条件 的资料，可以通过变量变换的方法来加以改善。常用的变量变换方法有： （1）对数变换对数变换不仅可以将对数正态
10、分布的数据正态化，还能使数据方差达到齐性，特别是各样本的标 准差与均数成比例或变异系数接近于一个常数时。变换公式为： XXlg(5-4) 当原始数据中有小值或零时，可用)1lg( XX （2）平方根变换常用于使服从Possion分布的计数资料或轻度偏态的资料正态化；当各样本的方差与均数呈正 相关时，可使资料达到方差齐性。变换公式为： XX(5-5) 当原始数据中有小值或零时，可用5.0XX （3）倒数变换常用于数据两端波动较大的资料，可使极端值的影响减小。变换公式为： XX/1(5-6) （4） 平方根反正弦变换常用于服从二项分布的率或百分比资料。一般地，当总体率较小 （70%） 时，通过平方
11、根反正弦变换，可使资料接近正态，且达到方差齐性的要求。变换公式为： XX 1 sin(5-7) （5）秩转换后，采用秩和检验比较组间差别（祥见第九章）。 6两因素析因设计方差分析 处理含有两因素两水平的全面组合。例如治疗肿瘤术后病人，可采用4 种方法：既不放疗也不化疗（a0b0） ；放疗 不化疗（ a1b0） ；不放疗化疗（a0b1） ；既放疗又化疗（a1b1） 。设放疗为A 因素（两水平） ，化疗为B 因素（两水平） ， 则构成 22 析因设计，目的是分析A 的主效应， B 的主效应及AB 的交互作用。 7重复测量资料的方差分析 受试对象随机分组后，多次测量某一观察指标，以比较处理效应在不同
12、时间点有无变化。如试验组和对照组的轻 度高血压病人入院前、治疗后1 天、 2 天、 3 天、 4 天的血压变化。设处理分组为A 因素，重复测量的时间点为B 因 素，目的是分析A 的主效应和AB 的交互作用。 三、典型试题分析 1完全随机设计资料的方差分析中，必然有（） ASS组内0.05 0.05 春与夏、秋与冬湖水中氯化物含量P0.05，按 =0.05 水准，不拒绝H0，即不能认为春与夏、秋与冬季湖水中氯 化物含量有差别。而其它4 组均有 P0.05，按 =0.05 水准，不能拒绝H0。即尚不能认为三种抗凝剂所作血沉值之 间有差别。 4首先计算误差均方 3086.12 66. 0) 19(7
13、5.0)18(66.0)15(68. 0) 15(43.0)18( )1( 22222 2 ii snSS 误差 305-35k-N 误差 /12.3086/300.4103MSSS误差误差误差 （1） 损伤后 0.5 小时与对照组比 H0：损伤后 0.5 小时与对照组组织含水量相等 H1：损伤后 0.5 小时与对照组组织含水量不等 =0.05 16. 2 ) 5 1 8 1 (4103. 0 86.7865.79 t 以 30 误差 ，处理数 =4 查 Dunnett-t 界值表，得界值2.25，因 t=2.162.25（界值），故 P2.25（界值），故 P2.25（界值），故 P0.05
14、 区组间44 11 4 0.8 0.05 误差110 22 5 总变异162 35 6解：这两组资料用随机区组的方差分析为宜。 （1）处理组间比较 H0：不同治疗组血小板升高值相同 H1：不同治疗组血小板升高值不全相同 =0.05 （2）年龄组间比较 H0：不同年龄组血小板升高值相同 H1：不同年龄组血小板升高值不全相同 =0.05 （3）计算，列方差分析表 表 5-14方差分析表 变异来源SS MS F 总变异 组间 区组间 误差 187.265 129.003 50.132 8.13 17 2 5 10 64.502 10.026 0.81 3 79.338 12.333 查 F 界值表，
15、 0.05,2,10 4.10,F 0.05,4,10 3.48,F因此，组间及区组间均为P0.05。按 =0.05 水准，拒绝H0，可认为 不同治疗组间血小板升高值不相同，不同年龄组患者血小板升高值也不相同。 7设 A 因素为染毒（ 2 水平） , B 因素为药物（ 2 水平） ，做 22 表析因设计方差分析。结果见表5-15。 表 5-15方差分析表 变异来源SS MS F 总变异 染毒 药物 染毒* 药物 误差 17.339 0.009 17.168 0.014 0.148 19 1 1 1 16 0.00 9 17.168 0.01 4 0.0 09 1.000 1907.555 1.5 55 查 F 界值表， 0.01,1,16 8.68,F因此，药物组间 P0.01。按 =0.01 水准，认为给药组和不给药组吞噬指数不相同。