2019全国各地中考数学考试真题及答案.pdf

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1、1 2019 全国各地中考数学考试真题及答案 一、函数与几何综合的压轴题 1. （2018 安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中，AB 、CD都垂直于 x 轴，垂足分别为B、D且 AD与 B相交于 E点. 已知： A(-2,-6),C(1,-3) (1)求证： E点在 y 轴上； (2)如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程. (3)如果 AB 位置不变，再将DC水平向右移动k( k0)个单位，此时 AD与 BC相交于 E点，如图，求AE C的面积 S 关于 k 的函数 解析式 . 解（1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过 E作 EO x 轴，垂足 O AB EO DC ,

2、EODOEOBO ABDBCDDB 又DO + BO = DB 1 EOEO ABDC 图 C（1，- A （2，- B D O x E y 图 C A （2，- B D O x E y 2 AB =6，DC =3，EO =2 又 DOEO DBAB ， 2 31 6 EO DODB AB DO = DO ，即 O 与 O重合， E在 y 轴上 方法二：由 D （1，0）， A（-2 ，-6 ），得 DA直线方程： y=2x-2 再由 B（-2，0）， C （1，-3 ），得 BC直线方程： y=-x- 2 联立得 0 2 x y E点坐标（ 0，-2 ），即 E点在 y 轴上 （2）设抛物线

3、的方程y=ax 2+bx+c( a0)过 A（-2，-6）， C （1，-3） E（0，-2 ）三点，得方程组 426 3 2 abc abc c 解得 a=-1, b=0, c=-2 抛物线方程y=-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当 DC水平向右平移k 后，过 AD与 BC的交点 E作 EFx 轴 垂足为 F。 同（1）可得：1 E FE F ABDC 得： EF=2 方法一：又 EFAB E FDF ABDB ， 1 3 DFDB SAEC = S ADC - S EDC= 1112 2223 DCDBDCDFDCDB = 1 3 DCDB=DB=3+ k S=

4、3+k为所求函数解析式 3 方法二： BADC ， SBCA=SBDA SAE C= SBDE 11 323 22 BDE Fkk S=3+k 为所求函数解析式 . 证法三： SDECSAEC=DE AE = DC AB=12 同理： SDECSDEB=12, 又 SDE CS ABE =DC 2AB2=14 221 3 992 AE CABCD SSABCDBDk 梯形 S=3+k 为所求函数解析式 . 2. （2018 广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0） 为圆心、直径AC为22的圆与 y 轴交于 A、D两点. （1）求点 A的坐标； （2）设过点 A的直线 yxb 与

5、 x 轴交于点 B.探究：直线AB是否M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接 BC ，记ABC的外接圆面积为S1、M 面积为 S2，若 4 2 1 h S S ， 抛物线 yax 2bxc 经过 B、M两点，且它的顶点到 x轴的距离为 h . 求这条抛 物线的解析式 . 解 （1）解：由已知AM 2，OM 1， 在 RtAOM 中， AO 1 22 OMAM， 点 A的坐标为 A（0，1） （2）证：直线yxb 过点 A（0，1）10b 即 b1 yx 1 令 y0 则 x1 B（ 1，0）， AB 211 2222 AOBO 在ABM中，AB 2 ，AM 2 ，BM 2 4 2222

6、2 4)2()2(BMAMAB ABM是直角三角形， BAM 90 直线 AB是M 的切线 （3）解法一：由得 BAC 90， AB 2 ，AC 22 ， BC 10)22()2( 2222 ACAB BAC 90ABC的外接圆的直径为BC ， 2 5 ) 2 10 () 2 ( 22 1 BC S 而2) 2 22 () 2 ( 22 2 AC S 4 2 1 h S S ， 5, 42 2 5 h h 即 设经过点 B（ 1，0）、 M （1，0）的抛物线的解析式为： ya（1）（ x1），（a0）即 yax 2a， a5，a 5 抛物线的解析式为y5x 25 或 y 5x25 解法二：（

7、接上）求得h 5 由已知所求抛物线经过点B（1，0）、M （1、 0），则抛物线的对称轴是y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0， 5） 抛物线的解析式为ya（x0） 25 又 B（1,0 ）、 M （1,0 ）在抛物线上， a5 0， a5 抛物线的解析式为 y 5x 25 或 y 5x25 解法三：（接上）求得 h 5 因为抛物线的方程为yax 2bxc（a0） A B C D x M y 5 由已知得 5 0 5 5c 0b 5 5 4 4 0 0 2 c b aa a bac cba cba 或 解得 抛物线的解析式为 y 5x 25 或 y 5x25. 3.(2018湖北荆门 ) 如

8、图，在直角坐标系中，以点P（1，1）为圆心， 2 为半径作圆，交 x 轴于 A、B 两点，抛物线)0( 2 acbxaxy过点 A、B， 且顶点 C在P 上. (1) 求P 上劣弧 AB 的长； (2) 求抛物线的解析式； (3) 在抛物线上是否存在一点D，使线段 OC与 PD互相平分？若存在，求出 点 D的坐标；若不存在，请说明理由. 解（1）如图，连结PB ，过 P作 PM x轴，垂足为 M. 在 RtPMB中，PB=2,PM=1, MPB 60， APB 120 AB 的长 3 4 2 180 120 （2）在 RtPMB中，PB=2,PM=1,则 MB MA 3. 又 OM=1 ，A（

9、 1 3，0），B（13，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点C在直线 PM上， 则 C(1，3). 点 A、B、C在抛物线上，则 A B C O x y P（1， A B C O x y P（1， M 6 cba cba cba 3 )31 ()31(0 )31()31(0 2 2 解之得 2 2 1 c b a 抛物线解析式为22 2 xxy （3）假设存在点D，使 OC与 PD互相平分，则四边形OPCD 为平行四边 形，且 PC OD. 又 PC y轴，点 D在 y 轴上， OD 2，即 D（0， 2）. 又点 D （0， 2）在抛物线22 2 xxy上，故存在点D（0， 2）， 使线段

10、OC与 PD互相平分 . 4. （2018 湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt ABC的直角顶点 C（0，3）在 y 轴的正半轴上， A、B是x轴上是两点，且OA OB 31，以 OA 、OB为直径的圆分别交AC于点 E，交 BC于点 F. 直线 EF交 OC于点 Q. （1）求过 A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想. （3）在 AOC 中，设点 M是 AC边上的一个动点，过M作 MN AB 交 OC 于点 N . 试问：在 x轴上是否存在点P，使得 PMN 是一个以 MN为一直角 边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不

11、存在，请说明理由. 解 (1) 在 RtABC中，OC AB ， AOC COB . OC 2OA OB . OA OB 31, C(0,3), 2 ( 3)3.OB OB A y x B E F O1 Q O O2 C E F Q y 2 1 3 4 M C 7 OB 1. OA 3. A(-3,0),B(1,0). 设抛物线的解析式为 2 .yaxbxc 则 930, 0, 3. abc abc c 解之，得 3 , 3 2 3, 3 3. a b c 经过 A、B、C三点的抛物线的解析式为 232 33. 33 yxx (2) EF与 O1、 O 2都相切 . 证明：连结 O1E、OE

12、、OF . ECF AEO BFO 90, 四边形 EOFC 为矩形 . QE QO . 12. 34, 2+490， EF与O1相切. 同理： EF理 O2相切 . (3) 作 MP OA于 P，设 MN a, 由题意可得 MP MN a. MN OA , CMN CAO . . MNCN AOCO 3 . 33 aa 8 X O P D C A B Y 解之，得 3 33. 2 a 此时，四边形OPMN 是正方形 . 3 33 . 2 MNOP 3 33 (,0). 2 P 考虑到四边形PMNO 此时为正方形， 点 P在原点时仍可满足PNN是以 MN为一直角边的等腰直角三角形. 故x轴上存

13、在点 P使得 PMN 是一个以 MN为一直角边的等腰直角三角形 且 3 33 (,0) 2 P或 (0,0).P 5. （2018 湖北宜昌）如图，已知点A(0，1) 、C(4，3)、E( 4 15 ， 8 23 ) ，P 是以 AC为对角线的矩形ABCD内部( 不在各边上 ) 的个动点，点D 在 y 轴，抛物线 yax 2+bx+1 以 P为顶点 (1) 说明点 A、C、E在一条条直线上； (2) 能否判断抛物线yax 2+bx+1 的开口方向 ?请说明理由； (3) 设抛物线 yax 2+bx+1 与 x 轴有交点 F、G(F 在 G的左侧 ) ，GAO与 FAO的面积差为3，且这条抛物线

14、与线段AE 有两个不同的交点这 时能确定 a、b 的值吗 ?若能，请求出a、b 的值；若不能，请确定a、b 的取值范围 ( 本题图形仅供分析参考用) 解（1）由题意， A(0，1) 、C(4，3) 确定的解析式 为：y= 2 1 x+1. 将点 E的坐标 E( 4 15 ， 8 23 ) 代入 y= 2 1 x+1 中，左 边= 8 23 ，右边 = 2 1 4 15 +1= 8 23 ， 左边 =右边，点 E在直线 y= 2 1 x+1 上，即点 A、C、E 9 由方程组 y=ax 2 6ax+1 2 1 得：ax 2（ 6 a+ 2 1 ） x=0 在一条直线上 . （2）解法一：由于动点

15、P在矩形 ABCD 内部，点 P的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A与点 P都在抛物线上，且P为顶点，这条抛物线有 最高点，抛物线的开口向下 解法二：抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点 P的纵坐标为 a ba 4 4 2 ，且 P在矩 形 ABCD 内部， 1 a ba 4 4 2 3，由 11 a b 4 2 得 a b 4 2 0，a0， 抛物线的开口向下 . （3）连接 GA 、FA， SGAOSFAO=3 2 1 GO AO 2 1 FO AO=3 OA=1 ， GO FO=6. 设 F（x1,0 ）、G （x2,0 ），则 x1、x2为方程 ax 2+bx+c=0 的两个根，且 x1

16、 x 2，又 a0， x1x2= a 1 0，x10x2， GO= x2，FO= x1， x2（ x1）=6， 即 x2+x1=6， x2+x1= a b a b =6， b= 6a, 抛物线解析式为：y=ax 26ax+1, 其顶点 P的坐标为（ 3，19a）, 顶点 P在矩形 ABCD 内部， 119a3, 9 2 a0. x=0 或 x= a a 2 1 6 =6+ a2 1 . 当 x=0 时，即抛物线与线段AE交于点 A，而这条抛物线与线段AE有两 个不同的交 点，则有： 06+ a2 1 4 15 ，解得： 9 2 a 12 1 X G F O P D E C A B Y 10 综

17、合得： 9 2 a 12 1 b= 6a， 2 1 b 3 4 6. （2018 湖南长沙）已知两点O(0，0) 、B(0，2) ，A 过点 B且与 x 轴 分别相交于点O 、C，A 被 y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为31，直 线 l 与A切于点 O ，抛物线的顶点在直线l 上运动 . （1）求A的半径； （2）若抛物线经过O 、C两点，求抛物线的解析式； （3）过 l 上一点 P的直线与A交于 C 、E两点，且 PC CE ，求点 E的 坐标； （4）若抛物线与x 轴分别相交于C、F 两点，其顶点P的横坐标为 m ， 求PEC的面积关于 m的函数解析式 . 解 (1) 由弧长之比为31，可

18、得 BAO 90o 再由 AB AO r ，且 OB 2，得 r 2 (2) A的切线 l 过原点，可设l 为 ykx 任取 l 上一点 (b，kb)，由 l 与 y 轴夹角为 45o 可得： b kb 或 bkb，得 k 1 或 k1， 直线 l 的解析式为 yx 或 yx 又由 r2 ，易得 C(2，0) 或 C(2，0) 由此可设抛物线解析式为yax( x2)或 yax( x2) 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a1 抛物线为 yx 22x 或 yx22x 6 分 (3) 当 l 的解析式为 y x 时，由 P在 l 上，可设 P(m，m)(m0) 过 P作 PP x 轴于 P，OP |

19、m| ，PP | m|，OP 2m 2， 又由切割线定理可得：OP 2PC PE,且 PC CE ，得 PC PE m PP 7 分 C 与 P为同一点，即PE x 轴于 C，m 2，E(2，2)8分 同理，当 l 的解析式为 yx 时，m 2，E(2，2) (4) 若 C(2，0) ，此时 l 为 y x，P 与点 O 、点 C不重合， m 0 且 m 2， 当 m 0 时， FC 2(2 m)，高为 |yp| 即为 m ， S 22(2)() 2 2 mm mm 同理当 0m 2 时，Sm 22m ；当 m 2 时，Sm22m ； 0 x y 11 S 2 2 2 (02) 2(02) m

20、m mm mmm 或 又若 C(2，0) ， 此时 l 为 yx，同理可得； S 2 2 2 (20) 2( 20) mm mm mmm 或 7. （2018 江苏连云港）如图，直线4kxy与函数)0, 0(mx x m y的图 像交于 A、B两点，且与 x、y 轴分别交于 C、D两点 （1）若COD的面积是AOB的面积的2倍，求k与m之间的函数关 系式； （2）在（ 1）的条件下，是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经过 点)0, 2(P若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由 解 （1）设),( 11 yxA，),( 22 yxB( 其中 2121 ,yyxx) ， 由 AOBCOD

21、SS2，得)(2 BODAODCOD SSS 2 1 OC2OD( 2 1 OD 1 y 2 1 OD 2 y)，)(2 21 yyOC， 又4OC，8)( 2 21 yy，即84)( 21 2 21 yyyy， 由 x m y可得 y m x，代入4kxy可得04 2 kmyy O P D C B A A A 12 4 21 yy，kmyy 21 ， 8416km，即 m k 2 又方程的判别式08416km， 所求的函数关系式为 m k 2 )0(m （2）假设存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点)0, 2(P 则BPAP，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N MAP与BPN都与A

22、PM互余，MAPBPN Rt MAPRtNPB， NB MP PN AM 2 1 2 1 2 2y x x y ，0)2)(2( 2121 yyxx， 0)2)(2(21 21 yy y m y m ， 即0)(4)(2 2 212121 2 yyyyyymm 由（1）知4 21 yy，2 21 yy，代入得0128 2 mm， 2m或6，又 m k 2 ， 1 2 k m 或 3 1 6 k m ， 存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点)0,2(P，且 1 2 k m 或 3 1 6 k m 8. （2018 江苏镇江）已知抛物线 2 (5)5(0)ymxmxm与 x 轴交于 两点 1 (

23、,0)A x、 2 (,0)B x 12 ()xx，与 y 轴交于点 C ，且 AB=6. （1）求抛物线和直线BC的解析式 . （2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线 BC . （3）若P过 A、B、C三点，求P的半径 . （4）抛物线上是否存在点M ，过点 M作 MNx 轴于点 N，使MBN 被 直线 BC分成面积比为 1 3的两部分？若存在，请求出点M的坐标； 若不存在，请说明理由. 解 （1）由题意得： 121221 55 ,6. m xxxxxx mm NMOPD C B A 13 x y O 解得 12 5 1,. 7 mm 经检验 m =1，抛物线的解析式为： 2 45.yx

24、x 或：由 2 (5)50mxmx得，1x或 5 x m 0,m 5 16,1.m m 抛物线的解析式为 2 45.yxx 由 2 450xx得 12 5,1.xx A（5，0）， B（1，0），C（0，5）. 设直线 BC的解析式为,ykxb 则 5,5, 0.5. bb kbk 直线 BC的解析式为55.yx (2) 图象略 . （3）法一：在 RtAOCD中，5, 45 .OAOCOAC 90BPC. 又 22 26,BCOBOC P的半径 2 2613. 2 PB 法二： 2 2 1212 520 ()436,36, m xxx x mm 14 由题意，圆心P在 AB的中垂线上，即在抛

25、物线 2 45yxx的对称轴直 线2x上，设 P（ 2，h）（ h0）， 连结 PB 、PC ，则 222222 (12),(5)2PBhPCh， 由 22 PBPC，即 2222 (12)(5)2hh，解得 h=2. ( 2, 2),PP的半径 22 (12)213PB. 法三： 延长 CP交P于点 F. CF 为P的直径， 90 .CAFCOB 又,.ABCAFCACFOCBD D ,. CFACAC BC CF BCOCOC 又 22 555 2,AC 22 5,5126,COBC 5 226 2 13. 5 CF P 的半径为13. （4）设 MN 交直线 BC于点 E，点 M的坐标为

26、 2 ( ,45),t tt则点 E的坐标 为( ,55).tt 若1 3, MEBENB SS DD :则1 3.ME EN: 24 3 4,45(55). 3 ENMNttt: 解得 1 1t（不合题意舍去）， 2 5 , 3 t 5 40 ,. 39 M 若3 1, MEBENB SS DD :则3 1.ME EN: 2 1 4,454(55).ENMNttt: 解得 3 1t（不合题意舍去）， 4 15,t15,280 .M 15 存在点 M ，点 M的坐标为 5 40 , 39 或（ 15，280）. 9. 如图，M与x轴交于 A、B两点，其坐标分别为)03(，A 、)01( ，B，

27、 直径 CD x 轴于 N，直线 CE切 M于点 C ，直线 FG切M于点 F，交 CE 于 G ，已知点 G的横坐标为 3. (1) 若抛物线mxxy2 2 经过 A、B、D 三点，求 m的值及点 D 的 坐标. (2) 求直线 DF的解析式 . (3) 是否存在过点 G的直线，使它与（ 1）中抛物线的两个交点的横 坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存 在，请说明理由 . 解 (1) 抛物线过 A、B两点， 1 1)3( m ，m =3. 抛物线为32 2 xxy. 又抛物线过点D，由圆的对 称性知点 D为抛物线的顶点 . D点坐标为)41(，. (2) 由题意知：

28、AB=4. CD x 轴， NA =NB =2. ON =1. 由相交弦定理得： NA NB =ND NC ， NC 4=22. NC =1. C点坐标为)11(，. 设直线 DF交CE于P，连结CF，则CFP=90. 2+3=1+4=90. （第 9 题图） A y x O N M G F E D C 16 GC 、GF是切线， GC =GF . 3=4. 1=2. GF=GP. GC =GP . 可得 CP =8. P点坐标为) 17( ， 设直线 DF的解析式为bkxy 则 17 4 bk bk 解得 8 27 8 5 b k 直线 DF的解析式为： 8 27 8 5 xy (3) 假设

29、存在过点G的直线为 11 bxky， 则13 11 bk，13 11 kb. 由方程组 32 13 2 11 xxy kxky 得034)2( 11 2 kxkx 由题意得42 1 k，6 1 k. 当6 1 k时，040， 方程无实数根，方程组无实数解. 满足条件的直线不存在. 10. （2018 山西）已知二次函数 21 2 yxbxc的图象经过点A（ 3， 6），并与 x 轴交于点 B（ 1，0）和点 C ，顶点为 P. （1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函 数的图象； F A y x O N M G E D C P 1 2 3 4 17 （2）设 D为线段 OC

30、上的一点，满足 DPC BAC ，求点 D的坐标； （3）在 x 轴上是否存在一点M ，使以 M为圆心的圆与AC 、PC所在的 直线及 y 轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请 说明理由 . 解（1）解：二次函数 2 1 2 yxbxc的图象过点 A（ 3，6），B （ 1，0） 得 9 36 2 1 0 2 bc bc 解得 1 3 2 b c 这个二次函数的解析式为： 2 13 22 yxx 由解析式可求P（1， 2），C（3，0） 画出二次函数的图像 （2）解法一：易证：ACB PCD 45 又已知： DPC BAC DPC BAC DCPC BCAC 易求62,22,4A

31、CPCBC 4 3 DC 45 3 33 OD 5 ,0 3 D 解法二：过 A作 AE x 轴，垂足为 E. 设抛物线的对称轴交x 轴于 F. 亦可证 AEB PFD 、 PEEB PFFD . 易求： AE 6，EB 2，PF2 2 3 FD 25 1 33 OD 5 ,0 3 D （3）存在 . x O y 18 （1）过 M作 MH AC ，MG PC垂足分别为 H、G ，设 AC交 y 轴于 S， CP的延长线交 y 轴于 T SCT是等腰直角三角形，M是 SCT的内切圆圆心， MG MH OM 又2MCOM 且 OM MC OC 23,3 23OMOMOM得 3 23,0M （2）

32、在 x 轴的负半轴上，存在一点M 同理 OM OC M C ，2OMOCOM 得3 23OMM 3 23,0 即在 x 轴上存在满足条件的两个点. M T 1 1 -1 - 2 4 - 3 2 3 0 5 6 E -1 - 2 2 3 C x y B D M F S G H P 19 A B C M O x y 11. （2018 浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A（ 1，0），B（3，0）. （1）若抛物线过A，B两点，且与 y 轴交于点（ 0，3），求此抛 物线的顶点坐标； （2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y 轴负半轴 交于点 C，M为抛物线的顶点，那么 ACM与ACB的面

33、积比不变， 请你求出这个比值； （3）若对称轴是AB的中垂线 l 的抛物线与 x 轴交于点 E，F，与 y 轴交于点 C ，过 C作 CP x轴交 l 于点 P，M为此抛物线的顶点 . 若四 边形 PEMF 是有一个内角为60的菱形，求次抛物线的解析式 . 解（1）32 2 xxy，顶点坐标为（ 1， 4）. （2）由题意，设ya（x1）（x3）， 即 yax 22ax3a， A （ 1，0），B（3，0）， C （0，3a）， M （1，4a）， SACB 2 1 4a36 a ， 而 a0， SACB6A、 作 MD x轴于 D， 又 SACMSACOSOCMDSAMD 2 1 13a 2

34、 1 （3a4a） 2 1 24a a， SACM：SACB1：6. （3）当抛物线开口向上时，设ya（x1） 2k，即 yax2 2axak， 有菱形可知ka k ，ak0，k0， k 2 a ， 20 y ax 22ax 2 a ， 2EF. 记 l 与 x 轴交点为 D， 若PEM 60，则 FEM 30， MD DE tan30 6 6 ， k 6 6 ，a 3 6 ， 抛物线的解析式为 6 6 6 3 2 6 3 12 xxy. 若PEM 120，则 FEM 60，MD DE tan60 2 6 ， k 2 6 ，a6， 抛物线的解析式为 2 6 626 2 xxy. 当抛物线开口向

35、下时，同理可得 6 6 6 3 2 6 3 12 xxy， 2 6 626 2 xxy. 12. （2018 北京）已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数ykxk4 的图象与 x 轴交于点 A，抛物线yaxbxc 2 经过 O、A两点。 （1）试用含 a 的代数式表示b； （2）设抛物线的顶点为D，以 D为圆心， DA为半径的圆被x 轴分为劣弧 和优弧两部分。若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在D内，它所 在的圆恰与 OD相切，求D半径的长及抛物线的解析式； （3）设点 B是满足（ 2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上 方的部分上是否存在这样的点P，使得POAOBA 4 3 ？

36、若存在，求出 点 P的坐标；若不存在，请说明理由。 解（1）解法一：一次函数ykxk4的图象与 x 轴交于点 A 21 点 A的坐标为（ 4，0） 抛物线yaxbxc 2 经过 O 、A两点 cab01640， ba4 解法二：一次函数ykxk4的图象与 x 轴交于点 A 点 A的坐标为（ 4，0） 抛物线yaxbxc 2 经过 O 、A两点 抛物线的对称轴为直线x2 x b a2 2 ba4 （2）由抛物线的对称性可知，DO DA 点 O在D 上，且 DOA DAO 又由（ 1）知抛物线的解析式为yaxax 2 4 点 D的坐标为（ 24，a ） 当 a0时， 如图 1，设D 被 x 轴分得

37、的劣弧为 OmA，它沿 x 轴翻折后所得劣弧 为 OnA ，显然 OnA 所在的圆与D关于 x 轴对称，设它的圆心为D 点 D 与点 D也关于 x 轴对称 点 O在D上，且D与D相切 点 O为切点 DOOD DOA DOA 45 22 ADO为等腰直角三角形 OD2 2 点 D的纵坐标为2 42 1 2 42 a aba， 抛物线的解析式为yxx 1 2 2 2 当 a0时， 同理可得： OD2 2 抛物线的解析式为yxx 1 2 2 2 综上，D 半径的长为 2 2 ，抛物线的解析式为yxx 1 2 2 2 或 yxx 1 2 2 2 （3）抛物线在 x 轴上方的部分上存在点P，使得POAO

38、BA 4 3 设点 P的坐标为（ x，y），且 y0 当点 P在抛物线yxx 1 2 2 2 上时（如图 2） 点 B是D 的优弧上的一点 OBAADO 1 2 45 POAOBA 4 3 60 过点 P作 PE x轴于点 E 23 tan tan POE EP OE y x yx 60 3 由 yx yxx 3 1 2 2 2 解得： x y x y 1 1 2 2 42 3 64 3 0 0 ，（舍去） 点 P的坐标为42364 3， 当点 P在抛物线yxx 1 2 2 2 上时（如图 3） 同理可得，yx3 由 yx yxx 3 1 2 2 2 解得： x y x y 1 1 2 2 4

39、2 3 64 3 0 0 ，（舍去） 点 P的坐标为42364 3， 综上，存在满足条件的点P，点 P的坐标为 42 3643，或42 364 3， 13. （2018 北京丰台）在直角坐标系中，O1经过坐标原点O ，分别与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴交于点A、B。 （1）如图，过点A作O1的切线 与 y 轴交于点 C，点 O到直线 AB的 y B O1 O A x C 24 距离为 123 sin 55 ABC，求直线 AC的解析式； （2）若O1经过点 M （2，2），设BOA的内切圆的直径为d，试判断 d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化 的范围。 解（1

40、）如图 1，过 O作 OGB于 G ，则OG 12 5 设OAk kAOBABC3090 3 5 (),sin ABkOBk54， OA OBAB OGSkkk AOB 2345 12 5 1, OAOBAB345， A （3，0） AOB90 ,AB是O1的直径 AC切O1于 A，BA ACBAC,90 在 Rt ABC中 cos,ABC AB BC BC OCBCOB 4 5 25 4 9 4 C()0 9 4 ， 设直线 AC的解析式为ykxb，则 30 9 4 kb b kb 3 4 9 4 ， 直线 AC的解析式为yx 3 4 9 4 25 （2）结论： dAB 的值不会发生变化 设

41、AOB 的内切圆分别切OA 、OB 、AB于点 P、Q 、T，如图 2 所示 y B M O1 Q P O A N x T 图 2 BQBTAPATOQOP d BQBTOB d APATOA d ABBTATOB d OA d OAOBd ， 2 22 22 , 则dABdOAOBdOAOB 在 x 轴上取一点 N，使 AN=OB ，连接 OM 、BM 、AM 、MN MOM( , ),2 2平分AOBOM,22 BOMMONAMBM MANOBM OBAN 45 , ,又 BOMANMBOMANMANMMON,45 OMNMOMN,90 OAOBOAANONOMMNOM 22 222 24

42、 dAB的值不会发生变化，其值为4。 26 14. （2018 福建厦门）已知： O是坐标原点， P（m ，n）( m 0) 是函数 y k x ( k0) 上的点，过点 P作直线 PA OP于 P，直线 PA与 x 轴的 正半轴交于点A（a，0）( am ). 设OPA的面积为 s，且 s1n 4 4 . （1）当 n1 时，求点 A的坐标； （2）若 OP AP，求 k 的值； (3 ) 设n是小于 20 的整数，且 kn 4 2 ，求 OP 2 的最小值 . 解过点 P作 PQ x 轴于 Q ，则 PQ n，OQ m (1)当 n1 时， s 5 4 a 2s n 5 2 (2) 解 1

43、： OPAP PA OP OPA是等腰直角三角形 m n a 2 1 n 4 4 1 2an 即 n 44n240 k 24k40 k2 解 2： OPAP PA OP OPA是等腰直角三角形 m n 设OPQ的面积为 s1 27 则：s1 s 2 1 2mn 1 2(1 n 4 4 ) 即：n 44n240 k 24k40 k2 (3) 解 1：PA OP ， PQOA OPQ O AP 设：OPQ的面积为 s1，则 s1 s PO 2 AO 2 即： 1 2k 1n 4 4 n 2k 2 n 2 4 (1 n 4 4 ) 2 n 2 化简得： 2n 42k2k n44k0 （k2）（2kn

44、 4）0 k2 或 k n 4 2 ( 舍去 ) 当 n 是小于 20 的整数时， k2. OP 2 n 2m2 n 2k 2 n 2 又 m 0，k2， n 是大于 0 且小于 20 的整数 当 n1 时， OP 25 当 n2 时， OP 25 28 当 n3 时， OP 2324 3 29 4 9 85 9 当 n 是大于 3 且小于 20 的整数时， 即当 n4、5、6、 19 时， OP 2 得值分别是： 4 24 4 2、5 24 5 2、6 24 6 2、 19 2 4 19 2 19 2 4 19 218 2 4 18 2 3 24 3 25 OP 2 的最小值是 5. 解 2

45、： OP 2n2m2n2k 2 n 2 n 22 2 n 2 ( n2 n) 2 4 当 n2 n 时，即当 n2时，OP 2 最小； 又n 是整数，而当n1 时，OP 25；n2 时，OP25 OP 2 的最小值是 5. 解 3：PA OP ， PQOA OPQ P AQ PQ QA OQ PQ n am m n 化简得： 2n 42k2k n44k0 （k2）（2kn 4）0 29 k2 或 k n 4 2 ( 舍去 ) 解 4：PA OP ， PQOA OPQ P AQ s1 ss1 OQ 2 PQ 2 化简得： 2n 42k2k n44k0 （k2）（2kn 4）0 k2 或 k n 4 2 ( 舍去 ) 解 5：PA OP ， PQOA OPQ O AP OP OA OQ OP OP 2OQ OA 化简得： 2n 42k2k n44k0 （k2）（2kn 4）0 k2 或 k n 4 2 ( 舍去 ) 15. （2018 湖北黄冈课改）如图，在直角坐标系中，O是原点， A、B、C 三点的坐标分别为A（18，0）， B（18，6）， C （8，6），四边形 OABC 是梯形，点 P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿 OA向 终点 A运动，速度为每秒1