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1、-精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 常考问题 19几何证明选讲 1(2011 江苏卷 )如图，圆 O1与圆 O2内切于点 A，其半径分 别为 r1与 r2(r1r2)， 圆 O1的弦 AB 交圆 O2于点 C(O1不在 AB 上) 求证： ABAC 为定值 证明如图，连接 AO1并延长，分别交两圆于点E 和点 D.连接 BD，CE.因为圆 O1与圆 O2内切于点 A，所以 点 O2在 AD 上，故 AD，AE 分别为圆 O1，圆 O2的直 径从而ABDACE 2.所以 BDCE，于是 AB AC AD AE 2r1 2r2 r1 r2.所以 ABAC 为定值 2(2
2、012 苏北四市质量检测 )如图，PAQ 是直角，圆 O 与 AP 相切于点 T，与 AQ 相交于两点 B，C.求证：BT 平分 OBA. 证明连接 OT，因为 AT是切线，所以 OTAP. 又因为 P AQ 是直角，即 AQAP， 所以 ABOT， 所以 TBABTO. 又 OTOB，所以 OTBOBT， 所以 OBTTBA，即 BT 平分 OBA. 3(2010 江苏卷 )AB 是圆 O 的直径， D 为圆 O 上一点，过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C，若 DADC，求证： AB2BC. 证明连接 OD，则： ODDC， 又 OAOD，DADC，所以 DAOODADCO，D
3、OCDAO -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - ODA2DCO， 所以 DCO30 ， DOC60 ， 所以 OC2OD，即 OBBCODOA，所以 AB 2BC. 4如图，过圆 O 外一点 M 作它的一条切线，切点为A，过 A 点作直线 AP 垂直 直线 OM，垂足为 P. (1)证明： OM OPOA 2； (2)N 为线段 AP 上一点，直线 NB 垂直直线 ON，且交圆 O 于 B 点过 B 点 的切线交直线 ON 于 K.证明： OKM90 . 证明(1)因为 MA 是圆 O 的切线，所以OAAM.又因为 APOM，在 Rt OAM 中，由射影定理知， O
4、A 2OM OP. (2)因为 BK 是圆 O 的切线， BNOK，同(1)，有 OB 2ON OK，又 OBOA， 所以 OP OMON OK， 即 ON OP OM OK .又NOPMOK， 所以 ONPOMK，故 OKMOPN90 . 5(2013 辽宁卷 )如图， AB 为O 的直径，直线CD 与O 相切于 E，AD 垂直 CD 于 D，BC 垂直 CD 于 C，EF 垂直 AB 于 F，连接 AE，BE.证明： (1)FEBCEB； (2)EF 2AD BC. 证明(1)由直线 CD 与 O 相切，得 CEBEAB. 由 AB 为O 的直径，得 AEEB， 从而 EABEBF 2；
5、又 EFAB，得 FEBEBF 2， -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 从而 FEBEAB. 故FEBCEB. (2)由 BCCE，EFAB， FEBCEB，BE 是公共边， 得 RtBCERtBFE，所以 BCBF. 同理可证，得 ADAF. 又在 RtAEB 中，EFAB， 故 EF2AF BF，所以 EF2AD BC. 6(2013 新课标全国卷 )如图，直线 AB 为圆 O 的切线，切点为 B，点 C 在圆 上， ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE交圆于点 D. (1)证明： DBDC； (2)设圆的半径为 1，BC 3，延长 CE
6、交 AB 于点 F，求 BCF 外接圆的半 径 (1)证明连接 DE，则 DCBDEB， DBBE， DBCCBE90 ， DEB EDB 90 ， DBCCBEDEBEDB， 又CBEEBFEDB， DBCDEBDCB， DBDC. (2)解由(1)知： CBEEBFBCE， BDECDE， -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - DE 是 BC 的垂直平分线， 设交点为 H，则 BH 3 2 ， OH1 3 4 1 2， DH 3 2， tanBDE 3 2 3 2 3 3 ， BDE30 ， FBEBDE30 ， CBFBCF90 ， BFC90 ， BC 是BCF 的外接圆直径 BCF 的外接圆半径为 3 2 . 备课札记：