自考线性代数(经管类)考点逐个击破.pdf

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1、线性代数（经管类）考点逐个击破 第一章行列式 （一）行列式的定义 行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上 表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数. 1二阶行列式 由 4 个数 )2, 1,(jiaij 得到下列式子： 1112 2122 aa aa 称为一个二阶行列式，其运算规 则为 21122211 2221 1211 aaaa aa aa 2三阶行列式 由 9 个数)3 ,2, 1,(jiaij得到下列式子： 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的

2、所谓对角线 法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念. 3余子式及代数余子式 设有三阶行列式 333231 232221 131211 3 aaa aaa aaa D 对任何一个元素 ij a，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成 一个二阶行列式，称它为元素 ij a的余子式，记成 ij M 例如 3332 2322 11 aa aa M， 3332 1312 21 aa aa M， 2322 1312 31 aa aa M 再记 ij ji ij MA)1(，称 ij A为元素 ij a的代数余子式. 例如 1111 MA， 2121 M

3、A， 3131 MA 那么，三阶行列式 3 D定义为 我们把它称为 3 D按第一列的展开式，经常简写成 3 1 11 1 3 1 113 )1( i ii i i ii MaAaD 4n 阶行列式 一阶行列式 11111 aaD n 阶行列式 1121211111 21 22221 11211 nn nnnn n n n AaAaAa aaa aaa aaa D 其中( ,1,2, ) ij A i jn为元素 ij a的代数余子式. 5特殊行列式 上三角行列式 11121 222 1122 0 00 n n nn nn aaa aa a aa a 下三角行列式 11 22 1122 12 0

4、0 0 nn nnnn a aa a aa aaa 21 对角行列式 11 22 1122 00 00 00 nn nn a a a aa a （二）行列式的性质 性质 1 行列式和它的转置行列式相等，即 T DD 性质 2 用数 k 乘行列式D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD， 也就是说，行列式可以按行和列提出公因数. 性质 3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号. 313121211111 333231 232221 131211 3 AaAaAa aaa aaa aaa D 推论 1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零. 推论 2 如果行列式

5、中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零. 性质 4 行列式可以按行（列）拆开. 性质 5 把行列式D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行 （列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D. 定理 1（行列式展开定理） n 阶行列式 n ij aD等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的 乘积的和，即), 2, 1( 2211 niAaAaAaD ininiiii 或), 2, 1( 2211 njAaAaAaD njnjjjjj 前一式称为D 按第 i 行的展开式，后一式称为D 按第 j 列的展开式 . 本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来

6、求出它的值. 定理2 n 阶行列式 n ij aD的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代 数余子式的乘积之和等于零.即)(0 2211 kiAaAaAa kninkiki 或 )(0 2211 sjAaAaAa nsnjsjsj （三）行列式的计算 行列式的计算主要采用以下两种基本方法： （1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时 要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（1） ，在按行或按列 提取公因子k 时，必须在新的行列式前面乘上k. （2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它 的值，通常是利用性质在

7、某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展 开： 例 1计算行列式 5207 2325 1213 1412 4 D 解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是1 12 a，利用这个 元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开. 4 2 1 4 12 1 4 1 5 62 31 2 121 15 062 15 0 52 3 2105 03( 2) 1 72 5 02 57 02 5 5 3 12 312 25 110081 375 7 37 5 D 行行 按第二列展开 行行 7 列列按第二行展开 例 2 计算行列式 abbb babb bbab bb

8、ba D4 解：方法 1这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为 文字可能取0 值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为 ba3（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提 出第一列的公因子ba3，再将后三行都减去第一行： 31 31 (3 ) 31 31 1 000 (3 ) 000 000 ab bbab b bbb b b ba bbab a bba bb ab bb abab babb ab bb baab bbab ba bbb ab ab ab ab 3 )(3(baba 方法 2 观察到这个行列式每一行元素中

9、有多个b，我们采用“加边法”来计算，即是 构造一个与 4 D有相同值的五阶行列式： 112 3 4 5 4 11 01000 01000 01000 01000 bbbbbbbb a bbb abbbab babb Dbabbab bbab bbabab bbba bbbaab 行（），行 这样得到一个 “箭形” 行列式，如果ba，则原行列式的值为零，故不妨假设ba， 即0ba，把后四列的 ba 1 倍加到第一列上，可以把第一列的（1）化为零 . 4 4 1 0000 4 00001()(3 )() 0000 0000 b bbbb ab ab b a babab ab ab a b ab 例

10、 3 三阶范德蒙德行列式)()( 111 231312 2 3 2 2 2 1 3213 xxxxxx xxx xxxV （四）克拉默法则 定理 1（克拉默法则）设含有n个方程的n 元线性方程组为 11112211 21122222 1122 , , nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xaxb a xaxa xb 如果其系数行列式0 n ij aD，则方程组必有唯一解：nj D D x j j ,2, 1, 其中 j D是把 D 中第 j 列换成常数项 n bbb, 21 后得到的行列式. 把这个法则应用于齐次线性方程组，则有 定理 2 设有含 n 个方程的 n 元齐次

11、线性方程组 1111221 2112222 1 122 0, 0, 0 nn nn nnnnn a xa xa x a xa xax a xaxax 如果其系数行列式0D，则该方程组只有零解：0 21n xxx 换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有0D，在教材第二章中，将要证明， n 个方程的 n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零. 第二章矩阵 （一）矩阵的定义 1矩阵的概念 由nm个数), 2, 1;, 2, 1(njmiaij 排成的一个m 行 n列的数表 mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 称为一个m 行 n 列矩阵或

12、nm矩阵 当nm时，称 nn ij aA为 n 阶矩阵或n 阶方阵 元素全为零的矩阵称为零矩阵，用 nm O 或 O 表示 23 个常用的特殊方阵： n 阶对角矩阵是指形如 nn a a a A 00 00 00 22 11 的矩阵 n 阶单位方阵是指形如 100 010 001 n E的矩阵 n 阶三角矩阵是指形如 nnnnnn n n aaa aa a a aa aaa 21 2221 11 222 11211 0 00 , 00 0 的矩阵 3矩阵与行列式的差异 矩阵仅是一个数表，而n 阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两 个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记

13、号 “*”与矩阵记号 “*” 也不同，不能用错. （二）矩阵的运算 1矩阵的同型与相等 设有矩阵 nmij aA)(， kij bB)(，若km，n，则说 A 与 B 是同型矩 阵.若 A 与 B 同型 ,且对应元素相等，即 ijij ba，则称矩阵A 与 B 相等，记为BA 因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等. 2矩阵的加、减法 设 nmij aA)(， nmij bB)(是两个同型矩阵则规定 nmijij baBA)( nmijij baBA)( 注意：只有A 与 B 为同型矩阵，它们才可以相加或相减. 由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算

14、律. 3数乘运算 设 nmij aA)(， k 为任一个数，则规定 nmij kakA)( 故数 k 与矩阵 A 的乘积就是A 中所有元素都乘以k，要注意数k 与行列式D 的乘 积，只是用k 乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同. 矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律. 4乘法运算 设 kmij aA)(， nkij bB)(，则规定 nmij cAB)( 其中 kjikjijiij bababac 2211 ),2, 1;,2 , 1(njmi 由此定义可知，只有当左矩阵A 的列数与右矩阵B 的行数相等时，AB 才有意义， 而且矩阵AB 的行数为A 的行数， AB 的列数为B

15、 的列数， 而矩阵 AB 中的元素是由左矩阵 A 中某一行元素与右矩阵B 中某一列元素对应相乘再相加而得到. 故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地： 不满足交换律，即BAAB 在0AB时，不能推出0A或0B，因而也不满足消去律. 特别，若矩阵A 与 B 满足BAAB，则称 A 与 B 可交换，此时A 与 B 必为同阶 方阵 . 矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律. 5方阵的乘幂与多项式方阵 设 A 为 n 阶方阵，则规定 m AAAA m个 特别EA0 又若 1 110 ( ) mm mm f xa xaxa xa，则规定 1 110 ( ) mm mm f Aa AaAa Aa

16、E 称)(Af为 A 的方阵多项式，它也是一个n 阶方阵 6矩阵的转置 设 A 为一个nm矩阵，把A 中行与列互换，得到一个mn矩阵，称为A 的转 置矩阵，记为 T A，转置运算满足以下运算律： AA T )(， TTT BABA)(， TT kAkA)(， TTT ABAB)( 由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义 设 A 为一个 n 阶方阵，若 A 满足AA T ， 则称 A 为对称矩阵， 若 A 满足AA T ， 则称 A 为反对称矩阵. 7方阵的行列式 矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n 阶方阵，有方阵的行列式的概念. 设)( ij aA为一个 n 阶方阵， 则由 A 中元

17、素构成一个n 阶行列式 n ij a，称为方阵 A 的行列式，记为A 方阵的行列式具有下列性质：设A，B 为 n 阶方阵， k 为数，则 AAT ； AkkA n BAAB （三）方阵的逆矩阵 1可逆矩阵的概念与性质 设 A 为一个 n 阶方阵，若存在另一个n 阶方阵 B，使满足EBAAB，则把 B 称为 A 的逆矩阵， 且说 A 为一个可逆矩阵，意指 A 是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把 A 的 逆矩阵 B 记为 1 A，从而 A 与 1 A首先必可交换，且乘积为单位方阵E. 逆矩阵具有以下性质：设A，B 为同阶可逆矩阵，0k为常数，则 1 A是可逆矩阵，且AA 11) (； AB 是可逆矩阵

18、，且 111 )(ABAB； kA 是可逆矩阵，且 111 )(A k kA T A是可逆矩阵，且 TT AA)()( 11 可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即 设 P 为可逆矩阵，则BAPBPABABPAP 2伴随矩阵 设 )( ij aA为一个n 阶方阵， ij A为 A 的行列式 n ij aA中元素 ij a的代数余子 式，则矩阵 nnnn n n AAA AAA AAA 21 22212 12111 称为 A 的伴随矩阵，记为 * A（务必注意 * A中元素排列 的特点） 伴随矩阵必满足 EAAAAA * 1 * n AA（n 为 A 的阶数） 3n 阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法 定

19、理： n 阶方阵 A 可逆0A，且 *1 1 A A A 推论：设A，B 均为 n 阶方阵，且满足EAB，则 A，B 都可逆，且BA 1 ， AB 1 例 1 设 dc ba A （ 1）求 A 的伴随矩阵 * A （ 2）a，b，c， d 满足什么条件时，A 可逆？此时求 1 A 解： （1）对二阶方阵A，求 * A的口诀为“主交换，次变号”即 ac bd A * （2）由bcad dc ba A，故当0bcad时，即0A，A 为可逆 矩阵 此时 ac bd bcad A A A 11*1 （四）分块矩阵 1分块矩阵的概念与运算 对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿

20、于矩阵的横 线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的 矩阵叫做分块矩阵. 在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要 注意到应使左矩阵A 的列分块方式与右矩阵B 的行分块方式一致，然后把子块当作元 素来看待，相乘时A 的各子块分别左乘B 的对应的子块. 2准对角矩阵的逆矩阵 形如 r A A A 2 1 的分块矩阵称为准对角矩阵，其中 r AAA, 21 均为方阵空 白处都是零块. 若 r AAA, 21 都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且 1 1 2 1 1 1 2 1 r r A A A A A A （五）矩阵的初等

21、变换与初等方阵 1初等变换 对一个矩阵A 施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为 初等变换， （1）交换 A 的某两行（列） ； （2）用一个非零数k 乘 A 的某一行（列） ； （3）把 A 中某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上. 注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号 连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“”连接前后矩阵. 初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把 矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵. 2初等方阵 由单位方阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵. 由于初等变换有三

22、种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为 ij P，)(kDi 和 )(kTij ，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵. 3初等变换与初等方阵的关系 设 A 为任一个矩阵， 当在 A 的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A 作同类型的 初等行变换；在A 的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A 作同类型的初等列变换. 4矩阵的等价与等价标准形 若矩阵 A 经过若干次初等变换变为B，则称 A 与 B 等价，记为BA 对任一个nm矩阵 A，必与分块矩阵 OO OEr 等价，称这个分块矩阵为A 的等 价标准形 .即对任一个nm矩阵 A，必存在n 阶可逆矩阵P 及 n 阶

23、可逆矩阵Q，使得 OO OE P A Q r 5用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵 设 A 为任一个n 阶可逆矩阵，构造nn2矩阵（ A，E） 然后),(),( 1 AEEA 注意：这里的初等变换必须是初等行变换. 例 2 求 421 412 311 A的逆矩阵 解： 122 113 211311 213322 11 3 100113100 (,)21 40 1 0012210 1 24 00 1011101 1011101 00421 0122100 1 0412 00131100 131 1 A E 行行 行行 行行行行 行行行行 则 113 214 124 1 A 例3求解矩阵方程 21 3

24、4 11 421 412 311 X 解：令 21 34 11 , 421 412 311 BA，则矩阵方程为BAX，这里 A 即为例 2 中 矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘 1 A，得 20 52 03 21 34 11 113 214 124 1 BAX 也能用初等行变换法，不用求出 1 A ，而直接求BA 1 ),( 20100 52010 03001 21421 34412 11311 ),( 1B AEBA 则 20 52 03 1 BAX （六）矩阵的秩 1秩的定义 设 A 为nm矩阵， 把 A 中非零子式的最高阶数称为A 的秩，记为秩)(A或)(Ar 零矩阵的秩为0，因而nm

25、A,min)(0秩，对 n 阶方阵 A，若秩nA)(，称 A 为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵. 2秩的求法 由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩. 对任一个矩阵A，只要用初等行变换把A 化成阶梯形矩阵T，则秩 (A)= 秩(T)=T 中非零 行的行数 . 3与满秩矩阵等价的条件 n 阶方阵 A 满秩A 可逆，即存在B，使EBAAB A 非奇异，即0A A 的等价标准形为E A 可以表示为有限个初等方阵的乘积 齐次线性方程组0AX只有零解 对任意非零列向量b， 非齐次线性方程组bAX有唯一解 A 的行（列）向量组线性无关 A 的行（列）向量组为 n R的一个基 任

26、意 n 维行（列）向量均可以表示为A 的行（列）向量组 的线性组合，且表示法唯一. A 的特征值均不为零 AA T 为正定矩阵 . （七）线性方程组的消元法. 对任一个线性方程组 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 可以表示成矩阵形式bAX，其中 nmij aA)(为系数矩阵， T m bbbb),( 21 为 常数列矩阵， T n xxxX),( 21 为未知元列矩阵. 从而线性方程组bAX与增广矩阵),(bAA一一对应 . 对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶 梯形矩阵，从

27、而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解. 第三章向量空间 （一） n 维向量的定义与向量组的线性组合 1n 维向量的定义与向量的线性运算 由 n 个数组成的一个有序数组称为一个n 维向量，若用一行表示，称为n 维行向 量，即n1矩阵，若用一列表示，称为n 维列向量，即1n矩阵 与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律. 2向量的线性组合 设 m , 21 是一组 n 维向量， m kkk, 21 是一组常数，则称 mm kkk 2211 为 m , 21 的一个线性组合，常数 m kkk, 21 称为组合系数. 若一个向量可以表示成 mm kkk 2211 则称是 m , 21

28、 的线性组合，或称可用 m , 21 线性表出 . 3矩阵的行、列向量组 设 A 为一个nm矩阵，若把A 按列分块，可得一个m 维列向量组称之为A 的 列向量组 . 若把 A 按行分块，可得一个n 维行向量组称之为A 的行向量组 . 4线性表示的判断及表出系数的求法. 向量能用 m , 21 线性表出的充要条件是线性方程组 mm xxx 2211 有解，且每一个解就是一个组合系数. 例 1问 T )5 , 1 , 1(能否表示成 T )3, 2 , 1 ( 1 ， T )4, 1 , 0( 2 ， T )6 , 3 ,2( 3 的线 性组合？ 解：设线性方程组为 332211 xxx 对方程组

29、的增广矩阵作初等行变换： 1100 2010 1001 5643 1312 1201 ),(),( 321 A 则方程组有唯一解1,2, 1 321 xxx 所以可以唯一地表示成 321 ,的线性组合，且 321 2 （二）向量组的线性相关与线性无关 1线性相关性概念 设 m , 21 是 m 个 n维向量， 如果存在m 个不全为零的数 m kkk, 21 ，使 得 0 2211mm kkk， 则称向量组 m , 21 线性相关，称 m kkk, 21 为 相关系数 .否则，称向量 m , 21 线性无关 . 由定义可知， m , 21 线性无关就是指向量等式 0 2211mm kkk当且仅当

30、0 21m kkk时成立 . 特别单个向量线性相关0； 单个向量线性无关0 2求相关系数的方法 设 m , 21 为 m 个 n维列向量， 则 m , 21 线性相关m 元齐次线性 方程组0 2211mm xxx有非零解， 且每一个非零解就是一个相关系数 矩阵),( 21m A的秩小于m 例2设向量组 123 (2, 1,7) ,(1,4,11) ,(3, 6,3) TTT ， 试讨论其线性相关性. 解：考虑方程组0 332211 xxx 其系数矩阵 000 110 201 3117 641 312 ),( 321 A 于是，秩32)(A，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为 0 02

31、32 31 xx xx 令1 3 x，得一个非零解为1, 1,2 321 xxx 则 02 321 3线性相关性的若干基本定理 定理 1 n 维向量组 m , 21 线性相关至少有一个向量是其余向量的线性 组合 .即 m , 21 线性无关任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合. 定理 2 如果向量组 m , 21 线性无关， 又 m , 21 线性相关， 则 可以用 m , 21 线性表出，且表示法是唯一的. 定理 3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分 必无关 . 定理 4 无关组的接长向量组必无关. （三）向量组的极大无关组和向量组的秩 1向量组等价的概念

32、 若向量组S 可以由向量组R 线性表出，向量组R 也可以由向量组S 线性表出，则 称这两个向量组等价. 2向量组的极大无关组 设 T 为一个向量组，若存在T 的一个部分组S，它是线性无关的，且T 中任一个 向量都能由S 线性表示，则称部分向量组S为 T 的一个极大无关组. 显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身. 对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质： 定理 1 向量组 T 与它的任一个极大无关组等价，因而T 的任意两个极大无关组 等价 . 定理 2 向量组 T 的任意两个极大无关组所含向量的个数相同. 3向量组的秩与矩阵的秩的关系 把向量组T 的任意一个极

33、大无关组中的所含向量的个数称为向量组T 的秩 . 把矩阵 A 的行向量组的秩，称为A 的行秩，把A 的列向量组的秩称为A 的列秩 . 定理：对任一个矩阵A， A 的列秩 =A 的行秩 =秩（ A） 此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵A，然后用矩阵的初 等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组. 例 3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出： ) 3, 4, 4, 2(),3 ,4, 1 ,2(),6, 6, 1 , 1(),9,2 , , 2, 1(),7 ,2, 1 , 1( 54321 解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个54矩阵，再用

34、初等行变换把它化成 简化阶梯形矩阵 BA TTTTT 10000 01100 01010 00001 33697 44622 41121 22111 , 54321 易见 B 的秩为 4，A 的秩为 4，从而秩4, 54321 ，而且 B 中主元位 于第一、二、三、五列，那么相应地 5321 ,为向量组的一个极大无关组， 而且 324 （四）向量空间 1向量空间及其子空间的定义 定义 1 n 维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实n 维向量空间， 记作 n R 定义 2 设 V 是 n 维向量构成的非空集合，若V 对于向量的线性运算封闭，则称 集合 V 是 n R的子空间，也称为向量

35、空间. 2向量空间的基与维数 设 V 为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组 称为向量空间V 的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数. 显然， n 维向量空间 n R的维数为n，且 n R中任意 n 个线性无关的向量都是 n R的 一个基 . 3向量在某个基下的坐标 设 r , 21 是向量空间V 的一个基，则V 中任一个向量都可以用 r , 21 唯一地线性表出，由r 个表出系数组成的r 维列向量称为向量在此基 下的坐标 . 第四章线性方程组 （一） 线性方程组关于解的结论 定理 1 设bAX为 n 元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是 )(),(ArbAr

36、 定理 2 当 n 元非齐次线性方程组bAX有解时，即rArbAr)(),(时，那 么 （1）bAX有唯一解nr； （2）bAX有无穷多解nr. 定理 3 n 元齐次线性方程组0AX有非零解的充要条件是nrAr)( 推论 1 设 A 为 n 阶方阵，则n 元齐次线性方程组0AX有非零解 0A 推论 2 设 A 为nm矩阵，且nm，则 n 元齐次线性方程组必有非零解 （二）齐次线性方程组解的性质与解空间 首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程 组的解向量，也简称为方程组的解. 考虑由齐次线性方程组0AX的解的全体所组成的向量集合 0AV 显然 V 是非空的，因为V

37、 中有零向量，即零解，而且容易证明V 对向量的加法运算及 数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V 成为 n 维列向量 空间 n R的一个子空间，我们称V 为方程组0AX的解空间 （三）齐次线性方程组的基础解系与通解 把 n 元齐次线性方程组0AX的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一 个基础解系 . 当 n 元齐次线性方程组0AX有非零解时， 即nrAr)(时，就一定存在基础 解系，且基础解系中所含有线性无关解向量的个数为rn 求基础解系与通解的方法是： 对方程组0AX先由消元法， 求出一般解， 再把一般解写成向量形式，即为 方程组的通解，从中也能求出一个基础解系.

38、 例 1 求 0 0223 0322 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 的通解 解：对系数矩阵A，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵： 12 2 12 31 03 41 03 4 3 2121 1110 145 1 1111 1110 000 A 行 (-1)+2 行行 (-1)+3 行 3行 (-1)+1 行1行 (-1)+2 行 42)(Ar，有非零解，取 43, x x为自由未知量，可得一般解为 44 33 432 431 ,54 ,43 xx xx xxx xxx 写成向量形式， 令 13 kx， 24 kx为任意常数， 则通解为 1 0 5 4 0 1 4 3

39、21 kkX 可见， 1 0 5 4 , 0 1 4 3 21 为方程组的一个基础解系. （四）非齐次线性方程组 1非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之 间的关系 设bAX为一个 n 元非齐次线性方程组，0AX为它的导出组，则它们的解之 间有以下性质： 性质 1 如果 21, 是bAX的解，则 21 是0AX的解 性质 2 如果是bAX的解，是0AX的解，则是bAX的解 由这两个性质，可以得到bAX的解的结构定理： 定理设 A 是nm矩阵，且rArbAr)(),(，则方程组bAX的通解为 rnrn kkkX 2211 * 其中 * 为bAX的任一个解（称为特解）, rn

40、, 21 为导出组0AX的一个基 础解系 . 2求非齐次线性方程组的通解的方法 对非齐次线性方程组bAX，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形 式，就得到方程组的通解. 例 2 当参数 a，b 为何值时，线性方程组 123 2)3( 122 0 4321 432 432 4321 axxxx bxxax xxx xxxx 有唯一解？有无穷多解？无解？在有无穷多解时，求出通解. 解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵： 23 4 24 1 1 11101 1110 0122101221 ( , ) 01320 01 01 321101231 1 0111 0 1221 0 01 01 0 001 0 A b abab aa ab a 行行 行-3行 行行 2行-1行 当1a时，4)(),(ArbAr，有唯一解； 当1,1 ba时，3),(bAr，2)(Ar，无解； 当1, 1 ba时，2)(),(ArbAr，有无穷多解. 此时，方程组的一般解为 44 33 432 431 221 1 xx xx xxx xxx 令 2413 ,kxkx为任意常数，故一般解为向量形式，得方程组通解为 1 0 2 1 0 1 2 1 0 0 1 1 21 kkX