《【课堂新坐标】高考数学(文、理)新一轮复习考点详细分类题库：考点11导数在研究函数中的应用与生活中的.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【课堂新坐标】高考数学(文、理)新一轮复习考点详细分类题库：考点11导数在研究函数中的应用与生活中的.pdf（51页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、-精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 温馨提示： 此题库为Word 版，请按住Ctrl, 滑动鼠标滚轴，调节合适的观 看比例，关闭Word 文档返回原板块。 考点 11 导数在研究函数中的应用与生活中的优 化问题举例 一、选择题 1. （2013 辽宁 高考 理科12） 设函数 ( )f x满足 2 2 ( )2( ),(2). 8 x ee x fxxf xf x 则 x0 时,f(x)（） .A有极大值，无极小值.B有极小值，无极大值 .C既有极大值又有极小值.D既无极大值也无极小值 【解题指南】 结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极 值问题。
2、【解析】 选 D.由题意知 2 33 2 ( )2( ) ( ) xx ef xex f x fx xxx - =-= ， x2x2 2 g(x)e2x f (x),g(x)e2x f (x)4xf (x 2( )2( ) 22 (1). ) x x xx ex fxxfx e ee xx 则令 = =- -+ =-=- =- 由( )0gx =得2x =, 当2x =时, 2 22 min ( )220 8 e g xe=-创= 即( )0g x 3, 则当0x 时, 3 ( ) ( )0 g x fx x =? , 故 ( )f x在(0,+ )上单调递增 , 既无极大值也无极小值. 2.
3、（2013新课标高考文科12）与（ 2013新课标高考理科 11）相同 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 已知函数 0),1ln( 0,2 )( 2 xx xxx xf，若axxf|)(|，则a的取值范围是（） A.0 ,( B. 1 ,( C. 1 ,2 D. 0,2 【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用 |)(|xf在)0,0(处的 切线为制定参数的标准. 【解析】选D.画出函数 y=|f(x)|的图象如图所示, 当0x时，xxxfxg2|)(|)( 2 ， 22)(xxg，2)0(g，故2a. 当0x时，)1ln(| )(|)(xxfx
4、g， 1 1 )( x xg 由于)(xg上任意点的切线斜率都要大于a，所以 0a，综上02a. 3.（2013新课标全国高考文科11）与 (2013 新课标全国高考 理科 T10) 相同 设已知函数 32 ( )f xxaxbxc，下列结论中错误的是（） A. 0xR，0()0f x B.函数( )yf x的图象是中心对称图形 C.若 0 x是( )f x的极小值点，则( )f x在区间 0 (,)x单调递减 D.若 0 x是( )f x的极值点，则 0 ()0fx 【解析】 选 C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导. A项, 因为函数 f(x)的值域为 R,所以一定存在x0R,使 f(
5、x0)=0,A 正确 .B 项, 假设函数f(x)=x 3+ax2+bx+c 的对称中心为 (m,n),按向量(,)amn将函数的 图象平移 , 则所得函数y=f(x+m)-n是奇函数 , 所以 f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化 简 得 (3m+a)x 2 +m 3+am2+bm+c-n=0. 上 式 对 x R 恒 成 立 , 故3m+a=0, 得 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - m=- 3 a ,n=m 3+am2+bm+c=f 3 a , 所以 函数f(x)=x 3+ax2+bx+c 的对称 中 心为 , 33 aa f, 故y=f(x)的 图
6、象 是 中 心 对 称 图 形 ,B正 确 .C项 , 由 于 ( )fx=3x 2+2ax+b 是二次函数 ,f(x) 有极小值点x0, 必定有一个极大值点x1, 若 x10, f (x)单调递增 , 因此 g(x)= f (x)至多有一个零点, 不符合题意 , 应舍去 . -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 当 a0 时, 令g (x)=0, 解得 x= 1 , 2a 因为 1 (0,), g (x)0 2a x，, 函数 g(x) 单调递增 ; 1 (,) 2a x时，g (x)0 ，函数 g(x) 单调递减 . 所以 x= 1 2a 是函数 g(x) 的极大
7、值点 , 则 g 1 2a 0, 即 ln 1 2a +1-1=-ln(2a)0, 所以 ln(2a)1 111 a11 . 2a2 2a 7.（2013天津高考文科8）设函数 2 2,( )ln)3( x xg xxxxfe. 若实数 a, b满足( )0,( )0f ag b, 则（） A. ( )0( )g af bB. ( )0( )f bg a C. 0( )( )g af b D. ( )( )0f bg a 【 解 题 指 南 】 先 由 ()0 ,(fagb确 定a,b的 大 小 ， 再 结 合 2 2,( )ln)3( x xg xxxxfe的单调性进行判断. 【解析】 选
8、A. 因为0,(1) x fxe所以( )2 x f xex在其定义域内是单调递增 的，由()0f a知0 1,a又因为0x， 1 ( )20g xx x ，故 2 ( )ln3g xxx在(0,)上 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 也是单调递增的，由 ( )0g b知12b，所以( )( )0g ag b，0( )( )f af b，因此 ( )0( )g af b。 8. (2013 浙 江 高 考 理 科 T8) 已 知e为 自 然 对 数 的 底 数 , 设 函 数 f(x)=(e x -1)(x-1) k (k=1,2),则( ) A.当 k=1 时,
9、f(x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 【解题指南】 当 k=1,2 时, 分别验证f (1)=0 是否成立 , 根据函数的单调性判 断是极大值点还是极小值点. 【解析】 选 C.当 k=1 时,f (x)=e x (x-1)+e x-1, 此时 f (1) 0, 故排除 A,B; 当k=2时 ,f (x)=e x(x-1)2+(ex-1)(2x-2), 此 时f (1)=0,在x=1附 近 左 侧,f (x)0, 所以 x=1 是 f(x
10、)的极小值点 . 9. (2013 浙江高考文科T8) 已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一, 且其导函数y=f (x) 的图象如图所示, 则该函数的图象是( ) 【解题指南】根据导数的性质来判断函数的性质. 【解析】 选 B.因为 f (x)0(x(-1,1),所以 f(x)在(-1,1)为增函数 , 又 x (-1,0)时,f (x) 为增函数 ,x (0,1)时,f (x) 为减函数 , 所以选 B. -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 10.（2013大纲版全国卷高考文科10） 已知曲线 42 1-128=yxaxaa在点，处切线的斜率为 ，（） A
11、. B.6 C.-9 D.-6 【解题指南】先对函数求导，将x=-1 代入到导函数中即可求出a的值 . 【解 析】 选 D. 由题意 可知， 点)2, 1(a在曲线 上 ，因 为axxy24 3 ，则 8)1(2)1(4 3 a，解得6a 二、填空题 11. （2013广东高考文科12）若曲线y=ax 2-lnx 在点 (1,a)处的切线 平行于 x 轴, 则 a= . 【解题指南】本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识, 可 先求导 . 【解析】 对 y=ax 2-lnx 求导得 1 2yax x , 而 x 轴的斜率为0, 所以在点 (1,a) 处切线的斜率为 1 210 x
12、ya, 解得 1 2 a. 【答案】 1 2 . 12.（2013新课标高考理科16）若函数)(1()( 22 baxxxxf的图 像关于直线2x对称，则 )(xf的最大值为 _. 【解题指南】首先利用数 )(xf的图像关于直线2x对称求出ba,的值，然后 利用导数判断函数的单调性，这里要采用试根的的方法对导函数进行因式分 解. 【解 析 】 因为 函 数)(xf的图 像 关于直 线2x对称 ， 所以)4()0(ff，得 ab15604，又axbaxxxf)1(234)( 23 ， 而 0)2(f，0)2()1 (2)2(3)2(4 23 aba. -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档
13、! 值得收藏！ - 得28411ba即 28411 15604 ba ab ，解得8a，15b. 故)158)(1()( 22 xxxxf， 则 828244)( 23 xxxxf)276(4 23 xxx )14)(2(4 2 xxx 令0)(xf，即0)14)(2( 2 xxx，则2x或52x或52. 当x变化时，)(xf，)(xf的变化情况如下表： )52(f15)52(8)52()52(1 22 16)548)(854( )52(f15)52(8)52()52(1 22 16)548)(854( 故)(xf的最大值为16. 【答案】 16 三、解答题 13.（2013大纲版全国卷高考文
14、科21）已知函数 32 =331.fxxaxx （I ）求2;afx时，讨论的单调性； （II ）若2,0,.xfxa时，求 的取值范围 【解析】 （I ）当a 2时，1323)( 23 xxxxf， 3263)( 2 xxxf. 令 0)(xf，得12 1 x，12 2 x. 当)12,(x时，0)(xf，)(xf在)12,(是增函数； -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 当 )12, 12(x时，0)(xf，)(xf在)12, 12(是减函数； 当), 12(x时，0)(xf，)(xf在),12(是增函数 . （II ）由 0)2(f得 4 5 a. 当 4 5
15、 a，),2(x时， )1 2 5 (3)12(3)( 22 xxaxxxf0)2)( 2 1 (3xx， 所以 )(xf在),2(是增函数，于是当),2(x时，0)2()(fxf. 综上，a的取值范围是), 4 5 . 14.（2013江苏高考数学科20）设函数axxxfln)(，axexg x )(， 其中a为实数。 （1）若)(xf在), 1(上是单调减函数，且)(xg在), 1(上有最小值，求a的取 值范围； （2）若)(xg在), 1(上是单调增函数，试求)(xf的零点个数，并证明你的结 论。 【解题指南】 (1) 先对 f(x)=lnx-ax求导 , 利用条件f(x)在(1,+ )
16、 上是单调 减函数求出a 的范围 , 再利用 g(x) 在(1,+ ) 上有最小值求出a 的范围 , 两者 取交集 .(2)注意函数方程不等式间的相互转化. 【解析】(1) 令 11 ( )0 ax fxa xx , 考虑到 f(x)的定义域为 (0,+ ), 故 a0, 进而解得xa -1 , 即 f(x)在(a -1 ,+ ) 上是单调减函数. 同理 ,f(x)在(0,a -1 ) 上 是单调增函数. 由于f(x) 在(1,+ ) 上是单调减函数, 故(1,+ ) ? (a -1 ,+ ), 从而 a -1 1, 即 a1. 令 g(x)=e x -a=0, 得 x=lna. 当 xlna
17、 时, ( )g x0. 又 g(x) 在(1,+ ) 上有最小值 , 所以 lna1, 即 ae. 综上 , 有 a(e,+ ). (2) 当 a0 时,g(x)必为单调增函数; 当 a0 时, 令( )g x=e x -a0, -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 解得 alna, 因为 g(x) 在(-1,+ ) 上是单调增函数 , 类似 (1) 有 lna -1, 即 00, 得 f(x) 存在唯一的零点. (ii)当 a0,且函数 f(x) 在e a,1 上的图象不间断, 所以 f(x)在(e a,1) 上存在零点 . 另外 , 当 x0 时,0 1 )(a
18、 x xf, 故 f(x)在 (0,+ ) 上是单调增函数, 所以 f(x)只有一个零点. (iii)当 00, 当 xa -1 时, ( )fx0,即 00, 且函数 f(x)在e -1 ,a -1 上的图象连续, 所以 f(x) 在(e -1 ,a -1 )上存在零点 . 另外 , 当 x(0,a -1 ) 时,f (x)= 1 a x 0, 故 f(x) 在(0,a -1 )上是单调增函数, 所以 f(x)在 (0,a -1 ) 上只有一个零点. 下面考虑f(x) 在(a -1 ,+ ) 上的情况 , 先证 f( 1 a e)=a(a -2 - 1 a e)e 时,e xx2. 设 h(
19、x)=ex-x2, 则 ( )h x=e x-2x, 再设 ( )( )l xhx =e x -2x, 则 ( )lx=e x-2. 当 x1 时, ( )lx=e x-2e-20, 所以 ( )( )l xh x在(1,+ ) 上是单调增函数. 故当 x2 时,( )h x =e x-2x (2)h =e 2-40, 从而 h(x) 在(2,+ ) 上是单调增函数 , 进 而当 xe 时,h(x)=e x -x 2h(e)=ee-e20. 即当 xe 时,exx2. 当 0e 时， f( 1 a e)=a(a -2 - 1 a e)0, 且函数f(x)在a -1 , 1 a e 上的图象连续
20、, 所以f(x)在(a -1 , 1 a e) 上存在零点 . 又当 xa -1 时,f(x)= 1 a x 0 。 （）求l 的长度 ( 注: 区间 (, )的长度定义为-) ； （）给定常数k （ 0，1），当 1-k a1+k 时，求 l 长度的最小值。 【解题指南】 （1）求出方程( )=0f x的两个根；（ 2）利用导数求函数的最小 值。 【解析】 （1）因为方程ax- ( 1+a 2) x2=0( a0) 有两个实根 12 2 0, 1 a xx a = + 故 f(x)0的解集为 x|x10), 所以 f(1)=1,f(1)=-1, 所以 y=f(x)在点 A(1,f(1)处的切
21、线方程为y-1=-(x-1), 即 x+y-2=0. (2) 由 f (x)= 1 axa xx ,x0 可知 : 当 a0 时,f (x)0, 函数 f(x) 为(0,+ ) 上的增函数 , 函数 f(x)无极值 ; -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 当 a0 时, 由 f(x)=0,解得 x=a; 因为 x(0,a) 时,f (x)0, 所以 f(x)在 x=a 处取得极小值, 且极小值为f(a)=a-alna,无极大值 . 综上 : 当 a0 时, 函数 f(x)无极值 , 当 a0 时, 函数 f(x)在 x=a 处取得极小值a-aln a,无极大值 .
22、21. (2013 福建高考理科T20) 已知函数)0,0)(sin()(wwxxf的周期为 , 图象的一个对称中心为0, 4 , 将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到 原来的 2 倍( 纵坐标不变 ), 再将得到的图象向右平移 2 个单位长度后得到函 数 g(x) 的图象 . (1) 求函数 f(x)与 g(x) 的解析式 . (2) 是否存在 4 , 6 0 x, 使得 f(x0),g(x0), f(x0)g(x0) 按照某种顺序成等差数列?若存在 , 请确定 x0的个数 , 若不存在 , 说 明理由 . (3) 求实数 a 与正整数 n, 使得 F(x)=f(x)+ag(x)在n,0
23、内恰有 2 013 个零点 . 【解析】 (1) 由函数 f(x)=sin(x+)的周期为 , 0, 得=2, 又曲线 y=f(x)的一个对称中心为(,0) 4 ,(0, ), 故()sin(2)0 44 f, 得= 2 , 所以 f(x)=cos 2x. 将函数f(x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍( 纵坐标不变 )后可得 y=cos x的图象 , 再将y=cosx的图象向右平移 2 个单位长度后得到函数 g(x)=sin x. (2) 当 x( ,) 64 时, 1 2 cos2xsinxcos2x. 问题转化为方程2cos 2x=sin x+sin xcos 2x在(,) 64
24、 内是否有解 , 设 G(x)=sin x+sinxcos 2x-2cos 2x,x( ,) 64 , 则 G (x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x). 因为 x(,) 64 , 所以 G (x)0,G(x)在(,) 64 内单调递增 . 又 1 ()0 64 G， 2 ()0 42 G. 且函数 G(x) 的图象连续不断, 故可知函数G(x) 在(,) 64 内存在唯一零点x0, 即存在唯一的 0 (,) 64 x满足题意 . (3) 依题意 ,F(x)=asin x+cos 2x,令 F(x)=asin x+cos 2x=0, 当 sin x=0, 即
25、 x=k(k Z) 时,cos 2x=1, 从而 x=k(k Z) 不是方程 F(x)=0 的解 , 所以方程F(x)=0 等价于关于x 的方程 cos 2 sin x a x ,x k(k Z), 现研究 x(0, ) ( ,2 ) 时方程解的情况, 令 cos2 ( ) sin x h x x ,x (0, ) ( ,2 ), 则问题转化为研究直线y=a 与曲线 y=h(x) 在 x(0, ) ( ,2 ) 的交点情 况, 2 2 cos (2sin1) ( ) sin xx h x x , 令 h(x)=0, 得 2 x或 3 2 x. 当 x 变化时 ,h(x)和 h(x) 变化情况如
26、下表 (0,) 22 (,) 2 3 (,) 2 3 2 3 (,2 ) 2 ( )h x 0 ( )h xZ 1 Z 当 x0 且 x 趋近于 0 时,h(x)趋向于 - , 当 x且 x 趋近于 时,h(x)趋向于 +, 当 x1 时, 直线 y=a 与曲线 y=h(x) 在(0, )内无交点 , 在( ,2 ) 内有 2 个交点 ; 当 a0, 讨论曲线yf (x)与曲线 2 (0)ymxm公共点的个数. (3) 设a 0，m 0 时，曲线 yf (x)与曲线 2 (0)ymxm的公共点个数 即方程 2 )(mxxf根的个数。 由 xxx 2 224 eexe (x2) f (x)mxm
27、,h(x)h (x) xxx 令， -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 则 h(x)在 );(h(2),h(x)2,0(上单调递减，这时 h(x).(h(2),h(x),), 2(这时上单调递增在 4 h(2) 2 e . h(2)yh(x)是的极小值且是最小值。 所以对曲线yf (x)与曲线 2 (0)ymxm公共点的个数，讨论如下： 当 m ) 4 ,0( 2 e 时, 有 0 个公共点；当m= 4 2 e 时, 有 1 个公共点；当m ），（ 4 2 e 时有 2 个公共点 . (3) )(2 )()2()()2()()( 2 )()( ab bfabafab
28、 ab afbfbfaf a abba e ab eabab ab eabeab )(2 )2()2( )(2 )2()2( 令 xxx (x)x2(x2) e ,x0,(x)1(1x2) e1(x1) et则t。 xx (x)(x)(1x1) ex e0,(x)0t的导函数 t所以 t在（ ，）上单调递增， 且(0)0.(x)0(x)(0,),(0)0,t因此 t，t在上单调递增而t (0,)(x)0所以在上t。 x x0(x)x2(x2) e0ab,因为当时， t且 b a a(ba2)(ba2) e e0 2 (ba) 所以 所以 ab afbfbfaf)()( 2 )()( ,b0.
29、【解题指南】(1) 求导，然后将0x代入导函数，求得m，讨论分析导函数 的符号，得单调性. -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - (2) 求fx的最小值 0 fx，证明最小值 0 0fx即可 . 【解析】 (1) 因为 1 x fxe xm ，0x是fx的极值点，所以 1 010f m ， 解 得1,m所 以 函 数ln1 x fxex， 其 定 义 域 为1,， 因 为 11 1 , 11 x x ex fxe xx 设11, x g xex则10 xx gxexe，所以g x在1,上是增函数， 又 因为00g，所以当0x时，0g x，即0fx，当10x时，0g x
30、， 0fx，所以fx在1,0上是减函数，在0,上是增函数 . (2) 当2m，,xm时，lnln2xmx，故只需证明当2m时，0fx. 当2m时，函数 1 2 x fxe x 在2,单调递增 . 由10,00ff，故0fx在2,上有唯一实根 0 x，且 0 1,0x. 当 0 2,xx时，0fx；当 0, xx时，0fx，从而当 0 xx时，fx取 得最小值 . 由 0 0fx得 0 00 0 1 ,ln2, 2 x exx x 故 2 0 00 00 1 1 0 22 x fxfxx xx . 综上，当2m时，0fx. 31.（2013新课标全国高考文科21）已知函数 2 ( ) x f x
31、x e。 （1）求( )f x的极小值和极大值； （2）当曲线( )yf x的切线的斜率为负数时，求l在轴上截距的取值范围。 【解题指南】（1）求导函数fx，令0fx求极值点，列表求极值. (2) 设切线，表示出切线的方程，令0y得在x轴上的截距，利用函数知识 求得截距的取值范围. -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 【解析】 (1) 2 2 x fxexx, 令0fx得0x或2. 列表如下 x,0 0 （0,2 ）2 2, fx0 0 fx 减函数极小值增函数极大值减函数 函数fx的极小值为0f0，极大值为2f 2 4 e . (2) 设切点为 0 2 00 ,
32、x xx e，则切线的斜率为 0 2 00 2 x kexx 此时切线的方程为 00 22 0000 2 xx yx eexxxx 令0y，得 0 0 0 2 x xx x . 0 0 2 23 2 xx x ， 由已知和（1） 得 2 0 (, 0 ) ( 2 ,) ,( )xh tt t 令（t0）， 则当 t (0,+ ) 时,h(t) 的取值范围为22,)；当t (- ,-2) 时,h(t)的取值范围是 (- ,-3),所 以当 x0(- ,0) (2,+ ) 时,x 的取值范围是(- ,0) 223,), 综上 , 在 x 轴上的截距的取值范围是(- ,0) 223,). 32.（2
33、013辽宁高考文科21） ( )证明：当0,1x时， 2 sin 2 xxx； ()若不等式 3 2 2(2) cos4 2 x axxxx对0,1x ?恒成立，求实数a的取值范围。 【解题指南】 构造函数，利用函数的单调性证明不等式；利用已知的不等式 恰当地放缩，将复杂的不等式转化为简单的不等式 【解析】( )记 2 ( )sin 2 F xxx，则 2 ( )cos 2 Fxx -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 当0, 4 x时， 22 ( )coscos0 242 Fxx， 则 2 ( )sin 2 F xxx在0, 4 x上是增函数，所以 ( )(0)0F
34、 xF； 当,1 4 x时， 222 ( )cos0 222 Fxx， 则 2 ( )sin 2 F xxx在,1 4 x上是减函数， 所以 22 ( )(1)sin1sin0 242 F xF 故当0,1x时，( )0F x，即 2 sin 2 xx； 记( )sinH xxx，则当0,1x时，( )cos10Hxx 所以( )sinHxxx在0,1x上是减函数，则( )(0)0H xH 即( )sin0H xxx，sinxx 综上，当0,1x时， 2 sin 2 xxx； ()由( )可知， 22 sin 2224 xxx ， 当0,1x时， 23 1 2(2)cos4 2 axxxxx
35、232 1 2(2)(12sin)4 22 x axxxx 2321 (2)4(2)sin 22 x axxxx 23212 (2)4(2)() 24 x axxxx (2)ax 所以当2a时，20a，( 2)0ax，不等式 231 2(2)cos4 2 axxxxx恒成立 下面证明，当2a时，不等式 231 2(2)cos4 2 axxxxx不恒成立 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 由( )可知，sin 22 xx 则当0,1x时， 23 1 2(2)cos4 2 axxxxx 231 2(2)cos4 2 axxxxx 232 1 2(2)(12sin)4
36、22 x axxxx 2321 (2)4(2)sin 22 x axxxx 232 1 (2)4(2)() 22 x axxxx 232 13 (2)(2) 22 axxxaxx 32 (2) 23 x xa 所以存在 0 0,1x（例如 0 x取 11 32 a 和中较小者）满足 23 1 2(2)cos40 2 axxxxx 即当2a时，不等式 231 2(2)cos4 2 axxxxx不恒成立 综上，实数a的取值范围为, 2 . 33. （2013 辽宁高考理科 21） 已知函数 3 2 ( )(1),( )12 cos 2 x x f xx eg xaxxx. 当0,1x时， ( )求
37、证： 1 1( ) 1 xfx x ； ()若( )( )f xg x恒成立，求实数a的取值范围。 【解题指南】 由于欲证不等式不便于直接证明，因而可以采用间接证明的方 法分析法； 【解析】 ( )证明：要证0,1x时， 2 (1)1 x x ex 只需证 (1)(1) xx x ex e 记 ( )(1)(1) xx h xx ex e 则( )(1)(1)() xxxx h xx ex ex ee -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 当0,1x时，( )()0 xx h xx ee 因此( )(1)(1) xx h xx ex e在0,1上为增函数， 故( )(
38、0)0h xh 所以 2 (1)1 x x ex，0,1x； 要证0,1x时， 21 (1) 1 x x e x 只需证1 x ex 记( )1 x k xex 则( )1 x kxe 当0,1x时， ( )10 x kxe 因此( )1 x k xex在0,1上为增函数， 故 ( )(0)0k xk 所以 2 1 (1) 1 x x e x ，0,1x 综上可知， 21 1(1) 1 x xx e x ，0,1x 即 1 1( ) 1 xf x x ()由( )知1( )xf x，则有 3 2 ( )( )(1)(12 cos ) 2 x x f xg xx eaxxx 3 1(12 cos
39、 ) 2 x xaxxx 2 1 (12cos) 2 x axx 设 21 ( )2cos 2 G xxx，则( )2sinGxxx 记 ( )2sinH xxx，则( )12 cosHxx 当0,1x时， 1 coscos1cos( )12 cos0 32 xHxx 从而( )2sinGxxx在0,1上为减函数， -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 于是当0,1x时，( )(0)0GxG 故 2 1 ( )2cos 2 G xxx在0,1上为减函数， 所以( )(0)2G xG 从而( )1(0)1213G xaGaaa 所以3a时，( )( )fxg x在0,1
40、上恒成立 下面证明当3a时，( )( )fxg x在0,1上不恒成立。 由( )知 1 ( ) 1 f x x ，则有 3 1 ( )( )(12 cos ) 12 x f xg xaxxx x 2 1 (2cos ) 12 x xax x 记 2 11 ( )2cos( ) 121 x I xaxaG x xx 则 2 1 ( )( ) (1) IxGx x 由前所述，当0,1x时， 2 1 ( )( )0 (1) IxGx x 故 1 ( )( ) 1 I xaG x x 在0,1上为减函数， 于是(1)( )(0)IIxI 即12cos1( )3aI xa 因为当3a时，30a 所以存在
41、 0 (0,1),x使得( )0I x 此时 00 ()()fxg x 即当3a时， ( )( )fxg x在0,1上不恒成立。 综上，实数 a的取值范围为, 3 . -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 34. （2013新课标高考理科21）已知函数f(x) x 2 axb，g(x) e x (cxd) ，若曲线yf(x) 和曲线yg(x) 都过点 P(0，2) ，且在点 P 处 有相同的切线y4x+2 （）求a，b，c，d 的值 （）若x 2 时，f(x) kgf(x) ，求k的取值范围。 【解题指南】（）根据曲线yf(x) 和曲线yg(x) 都过点 P(0 ，2
42、) 可将 P(0，2) 分别代入到yf(x) 和曲线yg(x) 上，再利用在点P处有相同的切 线y4x+2，对曲线yf(x)和曲线yg(x) 进行求导，列出关于dcba,的 方程组求解 . （）构造函数)()()(xfxkgxF，然后求导，判断函数)()()(xfxkgxF的单 调性，通过分类讨论，确定k的取值范围 . 【解析】 （）由已知得2)0(f，2)0(g，4)0(f，4)0(g. 而axxf2)(，)()(cdcxexg x . 故2b，2d，4a，4cd. 从而4a，2b，2c，2d. （）由（）知 24)( 2 xxxf，)1(2)(xexg x . 设 )()()(xfxkgx
43、F24)1(2 2 xxxke x ， 则)1)(2(242)2(2)( xx kexxxkexF. 由题设可得0)0(F，得1k. 令0)(xF，即0) 1)(2(2 x kex，得kxln 1， 2 2 x. （）若 2 1ek，则02 1 x，从而当),2( 1 xx时，0)(xF 当 ),( 1 xx时，0)(xF， -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 即 )(xF在),2( 1 xx单调递减，在),( 1 xx单调递增，故)(xF在),2上有最 小值为)( 1 xF. 0)2(2422)( 111 2 111 xxxxxxF. 故当2x时，0)(xF恒成立
44、，即)()(xkgxf. （）若当 2 ek，则)(2(2)( 22 eexexF x ，当2x时，0)(xF，即)(xF在 ),2(上单调递增，而0)2(F, 故当且仅当2x时，0)(xF恒成立，即 )()(xkgxf. （）若 2 ek，则0)(222)2( 222 ekekeF. 从而当2x时，)()(xkgxf不可能恒成立 . 综上，k的取值范围为, 1 2 e. 35. （2013新课标高考文科20）已知函数 xxbaxexf x 4)()( 2 ，曲 线)(xfy在点)0(,0(f处切线方程为44xy （）求a，b的值 （）讨论)(xf的单调性，并求)(xf的极大值 【解题指南】（
45、）对函数xxbaxexf x 4)()( 2 求导，利用点)0(,0(f处切 线方程为 44xy知4)0(f，求得a，b的值； （）由（）确定函数解析式，并对 )(xf求导，根据导函数)(xf判断函数 的单调性，根据函数的单调性求出极值. 【解析】 （）42)()(xbaaxexf x . 由已知得4)0(f，4)0(f. 故4b，8ba，从而4a，4b （）由（）知， xxxexf x 4)1(4)( 2 ， ) 2 1 )(2(442)2(4)( xx exxxexf. 令0)(xf，得2lnx或2x. -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 从而当 ), 2ln(
46、)2,(x时，0)(xf； 当)2ln,2(x时，0)(xf； 故)(xf在)2,(，),2ln(单调递增，在)2ln,2(x单调递减 . 当2x时，函数)(xf取得极大值，极大值为)1 (4)2( 2 ef 36. （2013四川高考理科21）已知函数 2 2,0, ( ) ln ,0, xxa x f x x x 其中a是实 数设 11 (,()A xf x， 22 (,()B xf x为该函数图象上的两点，且 12 xx （）指出函数( )f x的单调区间； （）若函数( )f x的图象在点,A B处的切线互相垂直，且 2 0x，求 21 xx的最 小值； （）若函数( )f x的图象在
47、点,A B处的切线重合，求a的取值范围 【解题指南】 在求解过程中，首先需要把握函数的解析式及定义域，结合各 段函数的特征确定其单调区间，在后续的求解过程中，需要首先求解函数 ( )f x的图象在点,A B处的切线的斜率，结合已知求解 21 xx的最小值，在第 （）问中，应着重分析函数 ( )f x的图象在点,A B处的切线重合得到的信息. 【 解 析 】 ( ) 函 数f(x)的 单 调 递 减 区间 为 ( -, -1), 单 调 递 增 区 间 为 ( -1,0),(0,+). ( ) 由导数的几何意义可知, 点A处的切线斜率为f(x1), 点B处的切线斜率 为f (x2), 所以当点A处的切线与点B处的切线垂直时, 有f(x1)f(x2)= -1. 当x0. 因此 x2-x1= 1 2 -(2 x1+2)+ 2x2+2 -(2x1+2)(2x2+2)=1, -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 当且仅当 -(2