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1、-精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 温馨提示： 此题库为Word 版，请按住Ctrl, 滑动鼠标滚轴，调节合适的观 看比例，关闭Word 文档返回原板块。 考点 52 几何证明选讲 一、填空题 1. (2013 天津 高考 理科T13) 如图 , ABC为圆的内接三角形,BD 为圆的弦 , 且 BD AC.过点 A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD 与 BC交于点 F. 若 AB=AC,AE=6,BD=5,则线段 CF的长为. 【解题指南】利用圆以及平行线的性质计算. 【解析】 因为 AE与圆相切于点A,所以 AE 2=EB(EB+BD), 即 62=EB (E
2、B+5), 所以 BE=4,根据切线的性质有 BAE= ACB,又因为 AB=AC, 所以 ABC= ACB, 所以 ABC= BAE,所以 AEBC,因为 BD AC,所以四边形ACBE 为平行四边形 , 所以 AC=BE=4,BC=AE=6. 设 CF=x,由 BD AC得 ACCF BDBF , 即 4 56 x x , 解得 x= 8 3 , 即 CF=8 3 . 【答案】 8 3 . 2.（2013湖南高考理科11）如图，在半径为7的 0 中, 弦 ,2,AB CDP PAPB相交于点1PDO，则圆心到弦 CD 的距离为 . -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！
3、 - 【解 题 指 南】 本 题 要利 用 相 交弦 定 理 :PAPB=PD PC 和 解 弦心 三 角 形 22 ) 2 1 (CDrd 【解析】 由相交弦定理PCPDPBPA得4PC，所以弦长5CD，故圆心 O 到弦 CD的距离为 2 3 4 25 7) 2 1 ( 22 CDOC . 【答案】 2 3 . 3.（2013陕西高考文科15）如图 , AB与CD相交于点E, 过E作BC 的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知AC, PD = 2DA = 2, 则PE = . 【解题指南】先通过AC及线线平行同位角相等，找出三角形相似, 再由 比例线段求得答案. 【解析】/BADPEDCA
4、PEDBCDPEBC且所以因为 .6.623 2 PEPDPAPE PE PD PA PE APEEPD所以 【答案】 6. 4. (2013 北京高考理科T11) 如图 , AB为圆 O的直径 ,PA 为圆 O的切线 ,PB 与圆 O相交于 D.若 PA=3,PDDB=9 16, 则 PD= ,AB= . -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 【解题指南】 利用切割线定理求出PD,再在 RtPBA中利用勾股定理求出AB. 【解析】由于 PDDB=9 16, 设 PD=9a,DB=16a,根据切割线定理有PA 2=PD PB, 有 a= 1 5 , 所以 PD=9 5
5、 , 在 RtPBA中, 有 AB=4. 【答案】 9 5 4. 5. （2013湖北高考理科15）如图，圆 O上一点 C在直径 AB上的射影 为 D，点 D在半径 OC上的射影为E，若 AB=3AD,则 EO CE 的值为 【解题指南】先用半径表示, 再求比值 . 【解析】 设半径为R，AB=3AD=2R. AD= 2 3 R,OD= 1 3 R,OC=R,CD= 22 12 2 , 93 RRR 2 2 22 3 cos, 3 R C R 2 22 28 cos, 339 CECDCRR所以 EO=R CE R 81 , 99 RR 8 9 8. 1 9 R CE EO R 【答案】 8.
6、 6.（2013陕西高考理科15）如图 , 弦 AB 与 CD 相交于圆O内一点 E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD2DA2, 则PE -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - . 【解题指南】 先通过圆周角相等及线段平行同位角相等得出,APEEPD再 由比例线段求得答案. 【解析】/BADPEDBADBCDPEDBCDPEBC且在圆中所以因为 .6.623 2 PEPDPAPE PE PD PA PE APEEPD所以 【答案】 .6 7. （2013广东高考理科15）如图， AB是圆 O的直径，点C在圆 O上， 延长 BC到 D 使 BC=C
7、D ，过 C 作圆 O 的切线交AD于 E.若 AB=6，ED=2 ，则 BC=_. 【解题指南】本题考查几何证明选讲，可先作ABD的中位线OC再计算 . 【解析】 设BCx，连接OC，因为,BCCDACBD，ABD是等腰三角形， ,6,2,4BCCDx ABADEDAE，在ACD中，CEAD，则 22222 CEACAEADDE，即 22 36164xx，解得2 3x. 【答案】2 3. 8. （2013广东高考文科15）如图，在矩形 ABCD中， 3,AB 3BC ， BEAC，垂足为E，则ED -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 【解题指南】 本题考查几何证明
8、选讲，可先利用射影定理再结合余弦定理计 算. 【解析】 3,3,23,30 ,ABBCACACBACBE，BEC是直角三角形，由 射影定理 2 3 3 , 2 BCAC EC EC，在ECD中，由余弦定理可得 222 21 2cos60 4 EDECCDEC CD，即 21 2 ED. 【答案】 21 2 . 9. （2013天津高考文科 13）如图 , 在圆内接梯形ABCD 中, AB/ DC, 过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E. 若 AB = AD = 5, BE = 4, 则 弦BD的长为 . 【解题指南】首先利用圆的性质，得出角的关系，再分别在ABE与 ABD 中利用正弦定理求解
9、. 【解析】 设 BAE，因为 AE与圆相切于点A，所以,BAEADB又因为AB= AD， 所 以A B DA D B， 因 为AB/DC, 所 以A B DC D B, 所 以 2A B EA D C. 在 ABE中，由正弦定理得 sinsin BEAB BAEE ，即 45 sinsin(3 ) ， 解得 3 cos. 4 在 ABD中，由正弦定理得 sinsin BDAB BADADB ，即 5 sin(2)sin BD ， -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 解得 15 . 2 BD 【答案】 15 2 . 10.（2013重庆高考理科14）如图，在ABC中
10、， 0 90C， 0 60A， 20AB，过C作ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E， 则DE的长为 【解题指南】直接根据圆的切线及直角三角形的相关性质进行求解 【解析】由题意知AB是圆的直径 , 设圆心为O, 连接OC, 因为CD是圆的切线 , 则CDOC又 因 为BDCD, 所 以BDOC /. 因 为60,AOCOA, 所 以 30,60OCBACO, 因 为20AB, 所 以310BC, 因 为BDOC /, 所 以 30CBD所 以15BD, 又 因 为AB是 圆 的 直径 , 点E在 圆 上 , 20AB且 60ABD, 所以10BE, 故51015BEBDDE
11、 【答案】 . 二、解答题 11. （2013辽宁高考文科22）与（ 2013辽宁高考理科22）相同 如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E, AD垂直CD于D，BC垂直CD 于C，EF垂直AB于F，连接,AE BE. 证明：( )FEBCEB;() 2 .EFAD BC -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 【解题指南】借助等量代换，证明相等关系；利用全等三角形的对应边， 角相等 . 【证明】( )由直线CD与O相切于E, 得EABCEB 由AB为O的直径，得AEEB，从而 2 EABEBF 又EF垂直AB于F，得 2 FEBEBF，从而FEBCEB ()由BC
12、垂直CD于C，得BCCE 又EF垂直AB于FEFAB，FEBCEB，BE为公共边， 所以Rt BCERt BFE，所以BCBF 同理可证，Rt ADERt AFE，所以ADAF 又在 RtAEB中, EFAB, 所以 2 .EFAFBF 综上， 2 .EFADBC 12.（2013新课标高考文科22）与（ 2013新课标高考理科 22）相同 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点 C在圆上， ABC的角平分线BE 交圆于点E，DB垂直 BE交圆于 D。 （）证明：DB=DC ； （）设圆的半径为1，BC=，延长 CE交 AB于点 F，求 BCF外接圆的 半径。 【解析】 （）连结DE交BC于点
13、G. -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 由弦切角定理得CBEABE，而 ABE= CBE ，故BCECBE，CEBE. 又因为BEDB，所以DE为直径，90DCE， 由勾股定理得DCDB. （）由（）知，BDECDE，DCDB， 故DG是BC的中垂线，所以 2 3 BG. 设DE的中点为O，连结BO，则60BOG， 从而30CBEBCEABE，所以BFCF， 故BCFRt的外接圆的半径等于 2 3 . 13. (2013 江苏高考数学科 T21) 如图 ,AB 和 BC分别与圆 O相切于点 D,C,AC 经过圆心O,且 BC=2OC. 求证 :AC=2AD. 【解
14、题指南】利用相似三角形证明, 主要考查圆的切线性质、相似三角形判 定与性质 , 考查推理论证能力. 【证明】 连结 OD.因为 AB和 BC分别与 圆 O相切于点D,C, -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 所以 ADO= ACB=90 . 又因为 A=A, 所以 RtADO RtACB. 所以 BCAC ODAD , 又 BC=2OC=2OD, 故 AC=2AD. 14.（2013新课标全国高考文科22）与（ 2013新课标全国高 考理科 22）相同 如图， CD为 ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点 D，E、F 分别 为弦 AB与弦 AC上的点，且B
15、C?AE=DC ?AF，B、E、F、C四点共圆 . （1） 证明： CA是 ABC外接圆的直径； （2） 若 DB=BE=EA, 求过 B、E、F、C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的 比值 . 【解题指南】 (1) 根据圆的性质及相似知识证得90CBA，可得 CA是ABC 外接圆的直径. （2）连接 CE ，利用圆的性质，寻求过B、E、F、C 四点的圆的半径长与 ABC外接圆的半径长的比值，从而确立圆的面积之比. -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 【解析】 （1）因为CD 为ABC处接圆的切线，所以DCBA，由题设知 BCDC FAEA ， 故CDBAEF，所以.DBCEFA 因为 B，E，F，C四点共圆，所以CFEDBC，故90EFACFE 所以90CBA，因此 CA是ABC外接圆的直径. (2) 连结 CE ， 因为90CBE，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE ，由 DBBE，有 CE DC ，又 22 2BCDB BADB，所以 2222 46.CADBBCDB 而 22 3DCDB DADB，故过 B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积 的比值为 1 . 2 关闭 Word 文档返回原板块。