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1、第 3 讲四边形 考点分析 1. 四边形与多边形 考查重点：四边形的定义与性质；多边形的内角和、外角和；一般以填空、选择的形式考查。 2.平行四边形及特殊的平行四边形 考查重点：平行四边形的性质与判定；菱形、矩形、正方形性质与判定。 3. 梯形 考查重点：梯形的概念与性质；等腰梯形的性质等；梯形中常见辅助线做法。 多边形内角、外角 多边形的内角和、外角和； 例1 一个多边形的每一个外角都等于18 ，它是 _边形 例2 已知一个多边形的内角和是外角和的 2 3 ，则这个多边形的边数是. 例3 如图，1、 2、 3、 4 是五边形ABCDE 的 4 个外角，若 A=120 0， 则 1+ 2+3+
2、4= . E D C B A 4 3 2 1 例4 若一个多边形的内角和为1080 ，则这个多边形的边数为（） A6 B.7 C.8 D.9 例5依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图形 一定是（） A平行四边形B矩形C菱形D梯形 例6如图，在四边形ABCD 中，9045302BACCEDDCEDE，22BE ； 求： CD 的长和四边形ABCD 的面积 平行四边形 1.平行四边形定义： 2.平行四边形的性质： 3.平行四边形的判定： 例7 如图，在平心四边形ABCD中， E为CD上一点， DE：EC=2：3，连接 AE、BE、BD，且 AE、BD
3、交 于点 F，则: DEFEBFABF SSS=（） A2：5：25 B4：9：25 C2：3：5 D 4：10： 25 例8 如图，点 A是直线 l外一点，在 l上取两点 B、C，分别以 A、C为圆心， BC、AB长为半径画弧，两弧 交于点 D，分别连结 AB、AD、CD，则四边形 ABCD一定是（） A平行四边形B矩形C菱形D梯形 例9 在面积为 15的平行四边形ABCD中，过点 A作AE垂直于直线 BC于点 E，作 AF垂直于直线 CD于点 F， 若 AB5，BC 6，则 CECF的值为（） A11 11 3 2 B11 11 3 2 C11 11 3 2 或11 11 3 2 D11
4、11 3 2 或 1 3 2 例10若以 A（-0.5，0） ，B（2，0） ，C（ 0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在 （） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 例11如图，四边形 ABCD是平行四边形， 点E在边 BC上， 如果点 F是边 AD上的点，那么 CDF与 ABE 不一定全等的条件是（） ADF =BEB AF=CECCF=AEDCFAE 例12在平行四边形 ABCD 中， AB=3cm，BC=5cm，对角线 AC，BD相交于点 O，则 OA的取值范围是 （） A2cmOA5cmB2cmOA8cmC1cmOA4cmD3cm OA 8cm
5、例13如图，在 ?ABCD中， AD=2，AB=4， A=30 ，以点 A为圆心， AD的长为半径画弧交AB于点 E， 连接 CE，则阴影部分的面积是_（结果保留 ） 例14平行四边形 ABCD绕点 A逆时针旋转 300，得到平行四边形AB1C 1D1 (点B 1与点 B是对应点，点 C1 与点 C是对应点，点 D 1与点 D是对应点 )，点 B1恰好落在 BC边上，则 C= 度 例15如图，在平行四边形ABCD中， AD=10cm，CD=6cm， E为AD上一点，且 BE=BC，CE=CD，则 DE= cm 例16如图，平行四边形 ABCD的对角线相交于点O， 且 AB AD， 过O作OEB
6、D交BC于点 E 若 CDE 的周长为 10，则平行四边形ABCD的周长为 例17如图，四边形 ABCD 中， AD BC，AEAD交 BD于点 E，CFBC交BD于点 F，且 AE=CF 求证：四边形ABCD是平行四边形 例18已知ABCD ，对角线 AC与BD相交于点 O，点 P在边 AD上，过点 P分别作 PEAC、PFBD， 垂足分别为 E、F，PEPF （ 1）如图，若 PE3，EO1，求 EPF的度数； （ 2）若点 P是 AD的中点，点 F是 DO的中点， BF BC 3 24，求 BC的长 特殊的平行四边形 1.菱形的定义、性质与判定； 2.矩形的定义、性质与判定； 3.正方形
7、的定义、性质与判定。 例19如图，在矩形 ABCD 中， AB=2，BC=4，对角线 AC的垂直平分线分别交AD、 AC于点 E、O，连 接 CE，则 CE的长为（） A. 3 B.3.5 C.2.5 D.2.8 例20如图， CD与BE互相垂直平分，ADDB,BDE=700，则 CAD= 0. 例21已知：如图，在菱形ABCD中， F为边 BC的中点， DF 与对角线 AC交于点 M，过 M作ME CD于 点 E,1=2。 (1）若 CE=1，求 BC的长； (2）求证 AM=DF +ME。 例22以边长为 2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两 点，则
8、线段 AB的最小值是 _ A BC D E O 例23如图，直线 a经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过此正方形的顶点B、D作BFa于点 F、 DEa 于点 E，若 DE=8，BF=5，则 EF的长为 例24勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书周髀算经中，就有“ 若勾三，股四，则 弦五 ” 记载， 如图 1是由边长相等的小正形和直角三角形构成的可以用其面积关系验证勾股定理。图 2是由图 1放入矩形内得到的，BAC=90 0,AB=3,AC=4,D,E,F,G,H,I都在矩形 KLMJ 的边上，则矩形 KLMJ 的面积为（） A. 90 B.100 C.110 D.121 例25如图
9、，在正方形ABCD 中，等边三角形AEF的顶点 E,F分别在 BC和CD上. （ 1）求证： CE=CF； （ 2）若等边三角形AEF的边长为 2，求 :正方形 ABCD 的周长 . 例26如图 11，四边形 ABCD是矩形， E是BD上的一点， BAE BCE，AED CED，点G是BC、 AE延长线的交点，AG与 CD相交于点 F （ 1）求证：四边形ABCD是正方形； （ 2）当 AE2EF时，判断 FG与EF有何数量关系？并证明你的结论 例27如图 1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD 的 4个顶点 A， B，C，D都在这些平行
10、线上过点A作AFl3于点 F，交 l2于点 H，过点 C作CEl2于 点 E，交 l3于点 G （ 1）求证： ADF CBE； （ 2）求：正方形ABCD的面积； （ 3）如图 2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用 h1，h2， h3表示正方形 ABCD的面积 S 例28如图所示，四边形ABCD 是正方形，点 E是边 BC 的中点且 AEF=90 ，EF交正方形外角平分线CF于点 F，取边 AB的中点 G， 连接 EG （ 1）求证： EG=CF； （ 2）将 ECF绕点 E逆时针旋转 90 ，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与EG的位
11、 置关系 梯形 1.梯形的定义，等腰梯形性质与判定； 2.梯形中常见辅助线的做法； 例29已知 :如图 ,直角梯形ABCD中,ADABCDABCD，6090，4,2ABDF，求 BF的长 F E D C BA 例30已知 :如图，在四边形ABFC 中，ACB=90,BC的垂直平分线EF 交 BC 于点 D,交 AB 于 点 E,且 CF=AE. （1）求证：四边形BECF 是菱形； （2）当 A的大小为多少度时 ,四边形 BECF 是正方形？ A B C D E F 例31如图，在梯形ABCD 中， AD/BC，BDCD， C=60， AD=3 ，BC= 4 3 ，求 AB 的长 A BC D
12、 例32如图，在梯形ABCD中，ABDC，5ADBC，10AB，4CD， 连结并延长 BD到E， 使DE BD，作EFAB，交BA的延长线于点F （1）求tanABD的值； （2）求AF的长 例33如 图 ， 在 梯 形 ABCD 中 ， A B / / C，2AB ， 4AD ， Ctan 3 4 ， 90DABADC，P是腰BC上一个动点 （不含点C、B） ， 作APPQ交CD于点Q（图 1） （1）求BC的长与梯形ABCD的面积； （2）当DQPQ时，求BP的长；（图2） 四边形综合 四边形与动点、最值问题的结合；四边形与函数的结合考查。 例34已知正方形ABCD 的边长为6cm， 点
13、E 是射线 BC 上的一个动点， 连接 AE 交射线 DC 于点 F， 将 ABE 沿直线 AE 翻折，点B 落在点 B处 （ 1）当 CE BE =1 时， CF=_cm ， （ 2）当 CE BE =2 时，求 sinDAB 的值； 图 2 Q P D C B A Q P D C B A 图 1 （ 3）当 CE BE = x 时（点 C 与点 E 不重合）， 请写出 ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积 y 与 x 的关系式，（只要写出结论，不要解题过程） 例35已知，正方形ABCD 中， MAN=45 , MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC （或它们的延长
14、线）于点M、N，AH MN 于点 H （ 1）如图，当MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN 时，请你直接写出AH 与 AB 的数量关 系：； （ 2）如图，当MAN 绕点 A 旋转到 BM DN 时， （1）中发现的AH 与 AB 的数量关系还成立 吗？如果不成立请写出理由如果成立请证明； （ 3）如图，已知MAN=45 ，AH MN 于点 H，且 MH=2 ，NH=3 ，求 AH 的长 （可利用（ 2） 得到的结论） 例36如图，在直角梯形ABC D 中， AD BC， B=90 ， AB=8 ， 3 4 tanCAD ，CA=CD ，E、F 分别是线段AD 、AC 上的动点（点E 与点 A
15、、D 不重合），且 FEC=ACB ，设 DE=x ，CF=y. （ 1）求 AC 和 AD 的长； （ 2）求 y 与 x 的函数关系式； （ 3）当 EFC 为等腰三角形时，求x 的值 . F CB DAE 例37(1)已知：如图1，ABC中，分别以AB、AC为一边向ABC外作正方形ABGE和 ACHF，直线ANBC于N，若EPAN于P，FQAN于Q. 判断线段EPFQ、的数量 关系，并证明； (2)如图 2，梯形ABCD中，ADBC, 分别以两腰AB、CD为一边向梯形ABCD外作正 方形ABGE和DCHF， 线段AD的垂直平分线交线段AD于点M， 交BC于点N， 若E PM N 于P，F
16、QMN于Q (1)中结论还成立吗？请说明理由. 图2 F F 图1 H N Q G H M P E P Q G E D CB A NCB A 例38已知正方形纸片ABCD 的边长为 2 操作：如图1，将正方形纸片折叠，使顶点A 落在边 CD 上的点 P 处（点 P 与 C、D 不重合），折 痕为 EF，折叠后AB 边落在 PQ 的位置， PQ 与 BC 交于点 G 探究：（ 1）观察操作结果，找到一个与 EDP 相似的三角形，并证明你的结论； （ 2）当点 P位于 CD 中点时，你找到的三角形与EDP周长的比是多少（图2 为备用图） 图2 图1 D B A C G Q P F E D C B A