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1、学习好资料欢迎下载 五年级奥数专题二十二 :用割补法求面积 关键词 ：三角正方图中面积题图奥数正方形三角形阴影图形 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形 等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进 行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中， 为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例 1 求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解 ：（ 1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下 图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB
2、弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB 与三角形OAB 的面积之差。 444-4 4 2=4.56 。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5 的四分之一 个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5 的四分之一个圆。 学习好资料欢迎下载 如下图所示， 将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出， 原题图的阴影部分正 好等于一个正方形的面积，为5 5=25 。 例 2 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段 （见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解 ：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法 从顶点作底
3、边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 （2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 学习好资料欢迎下载 积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 （3）等分法 将原图等分成9 个小三角形（见右上图），阴影部分占3 个小三角形， 注意， 后两种方法对任意三角形都适用。也就是说， 将例题中的等腰三角形换成任意三 角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例 3 如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上 底长 5 厘米、下底长9 厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。 分析与解 ：因为不知道梯形的高，所以不能
4、直接求出梯形的面积。可以从等腰直角 三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右 学习好资料欢迎下载 下图），图中阴影部分是边长9 厘米与边长5 厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形 面积的 4 倍。所以所求梯形面积是（9 9-5 5） 4=14 （厘米 2）。 例 4 在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。 分析与解 ：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角 三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A 与 A ，B 与 B 面积分别相等， 所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4 6=24 ，所以甲
5、的面积，即所求矩形的面积 也是 24。 例 5 下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20 厘米，甲正方形比乙正方形的面 积大 40 厘米 2。求乙正方形的面积。 分析与解 ：如果从甲正方形中“ 挖掉 ” 和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B， C 三部分之和就是40 厘米 2（见左下图）。 学习好资料欢迎下载 把 C 割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，C 三块就合并成一个长 20 厘米的矩形，面积是40 厘米 2，宽是 4020=2 （厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边 长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2 ） 2=9 （厘米）， 从而乙正方形的面积为9 9=81
6、 （厘米 2）。 练习 22 1.求下列各图中阴影部分的面积： （1）（2） 2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4 厘米， 求图中阴影部分的面积。 3.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形 （阴影部分）。已知梯形的面积为36 厘米 2，上底为 3 厘米，求下底和高。 4.在右上图中，长方形AEFD 的面积是 18 厘米 2，BE 长 3 厘米，求 CD 的长。 学习好资料欢迎下载 5.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3 厘米，甲的面积比乙的面积大 45 厘米 2。求甲、乙的面积之和。 6.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD 的面积。