《创新设计2014届高考数学理科二轮专题复习：训练16立体几何中的向量方法(有答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《创新设计2014届高考数学理科二轮专题复习：训练16立体几何中的向量方法(有答案).pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、-精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 常考问题 16立体几何中的向量方法 (建议用时： 80 分钟) 1(2013 新课标全国卷)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1的中点， AA1AC CB 2 2 AB. (1)证明： BC1平面 A1CD； (2)求二面角 DA1CE 的正弦值 (1)证明连接 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1的中点 又 D 是 AB 的中点，连接 DF，则 BC1DF.因为 DF? 平面 A1CD，BC1?平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD. (2)解由 ACCB 2 2 AB 得，ACBC
2、.以 C 为坐 标原点， CA 的方向为 x 轴正方向， CB 的方向为 y 轴正方向， CC1 的方向为 z 轴正方向，建立如图所 示的空间直角坐标系 Cxyz.设 CA2， 则 D(1,1,0)， E(0,2,1)，A1(2,0,2)， CD (1,1,0)，CE (0,2,1)，CA1 (2,0,2) 设 n(x1，y1，z1)是平面 A1CD 的法向量， 则 n CD 0， n CA1 0， 即 x1y10， 2x12z10. 可取 n(1，1，1) 同理，设 m(x2，y2，z2)是平面 A1CE 的法向量， 则 m CE 0， m CA1 0. 即 2y2z20， 2x22z20，
3、 可取 m(2,1，2) 从而 cosn，m n m |n|m| 3 3 ，故 sinn，m 6 3 . -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 即二面角 DA1CE 的正弦值为 6 3 . 2(2013 陕西卷 )如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形， O 为底面中心， A1O 平面 ABCD，ABAA1 2. (1)证明： A1C平面 BB1D1D； (2)求平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角 的大小 (1)证明由题设易知 OA，OB，OA1两两垂直，以 O 为原点建立直角坐标系， 如图 ABAA12， OAOBOA11， A(
4、1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0，1,0)， A1(0,0,1)由A1B1 AB ，易得 B1(1,1,1) A1C (1,0，1)，BD (0，2,0)， BB1 (1,0,1) A1C BD 0，A1C BB1 0， A1CBD，A1CBB1， 又 BDBB1B， A1C平面 BB1D1D. (2)解设平面 OCB1的法向量 n(x，y，z) OC (1,0,0)，OB1 (1,1,1)， n OC x0， n OB1 xyz0， -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - x0， yz， 取 n(0,1，1)， 由(1)知， A1C (1,0，
5、1)是平面 BB1D1D 的法向量， cos |cos n，A1C | 1 22 1 2. 又0 2， 3. 3如图，在四棱锥PABCD 中，PC底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，ABAD， ABCD， AB2AD2CD 2，E 是 PB 的中点 (1)求证：平面 EAC平面 PBC； (2)若二面角 PACE 的余弦值为 6 3 ，求直线 PA 与平 面 EAC 所成角的正弦值 (1)证明PC平面 ABCD，AC? 平面 ABCD，ACPC.AB2，AD CD1，ACBC2. AC 2BC2AB2.ACBC. 又 BCPCC，AC平面 PBC. AC? 平面 EAC， 平面 EAC
6、平面 PBC. (2)解如图，以点 C 为原点， DA ，CD ，CP 分别 为 x 轴、y 轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则 C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1,0)，设 P(0,0， a)(a0)， 则 E 1 2， 1 2， a 2 ， CA (1,1,0)，CP (0,0， a)，CE 1 2， 1 2， a 2 .取 m(1，1,0)，则 m CA m CP 0，m 为面 PAC 的法向 量 设 n(x， y， z)为面 EAC 的法向量，则 n CA n CE 0， 即 xy0， xyaz0， 取 xa，ya，z 2，则 n(a，a，2)，依题意，|cos m，
7、n| |m n| |m|n| -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - a a 22 6 3 ，则 a2.于是 n(2，2，2)，PA (1,1，2)设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ，则 sin |cos PA ，n| P A n |PA|n| 2 3 ，即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 2 3 . 4(2013 辽宁卷 )如图， AB 是圆的直径， PA 垂直圆所在 的平面， C 是圆上的点 (1)求证：平面 PAC平面 PBC； (2)若 AB2，AC1，PA1，求二面角 C-PB-A 的余 弦值 (1)证明由 AB 是圆的直径，得ACBC， 由
8、 PA平面 ABC，BC? 平面 ABC，得 PABC. 又 PAACA，P A? 平面 PAC，AC? 平面 PAC， 所以 BC平面 PAC.又 BC? 平面 PBC， 所以平面 PBC平面 P AC. (2)解过 C 作 CMAP，则 CM平面 ABC. 如图，以点 C 为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM 为 x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系 在 RtABC 中，因为 AB2，AC1，所以 BC3. 因为 PA1，所以 A(0,1,0)，B(3，0,0)，P(0,1,1) 故 C B ( 3，0,0)，C P (0,1,1) 设平面 BCP 的法向量为 n1(x1，y1，z1)
9、， 则 C B n 10， C P n 10， 所以 3x10， y1z10， 不妨令 y11，则 n1(0,1，1) 因为 AP (0,0,1)，A B ( 3，1,0)， 设平面 ABP的法向量为 n2(x2，y2，z2)， -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 则 A P n 20， AB n 20， 所以 z20， 3x2y20， 不妨令 x21，则 n2(1，3，0) 于是 cosn1，n2 3 2 2 6 4 . 所以由题意可知二面角C-PB-A 的余弦值为 6 4 . 5(2013 合肥第二次质检 )在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1
10、的正方形，且 P A平面 ABCD. (1)求证： PCBD； (2)过直线 BD 且垂直于直线 PC 的平面交 PC 于点 E， 且三棱锥 EBCD 的体积取到最大值 求此时四棱锥 EABCD 的高； 求二面角 ADEB 的正弦值的大小 (1)证明连接 AC，因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BDAC.因为 PA平 面 ABCD，所以 P ABD. 又 ACPAA，所以 BD平面 P AC. 又 PC? 平面 P AC，所以 PCBD. (2)解设 PAx，三棱锥 EBCD 的底面积为定值， 在PBC 中，易知 PB x21，PCx22， 又 BC1，故PBC 直角三角形又 BEPC，得
11、 EC 1 x 22，可求得该三 棱锥的高 h x x 22 1 x2 x . 当且仅当 x 2 x， 即 x 2时， 三棱锥 EBCD 的体积取到最大值，所以 h 2 4 . 此时四棱锥 EABCD 的高为 2 4 . -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 以点 A 为原点， AB，AD，AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0，2)，易求得 CE1 4CP. 所以AE AC 1 4CP 3 4， 3 4， 2 4 ，AD (0,1,0) 设平面 ADE 的法向量 n1(x，y，z)，则 AE n
12、0， AD n0， 即 3 4x 3 4y 2 4 z0， y0， 令 x2，则 n1( 2，0，3)， 同理可得平面 BDE 的法向量 n2CP (1，1，2)，所以 cosn1，n2 n1 n2 |n1|n2| 2 22 11 .所以 sinn1，n2 33 11 .所以二面角 ADEB 的正弦值 的大小为 33 11 . 6(2013 天津卷 )如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱 A1A底面 ABCD， ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E 为棱 AA1的中点 (1)证明 B1C1CE； (2)求二面角 B1CEC1的正弦值； (3)设点 M 在线段 C1E 上，且
13、直线 AM 与平面 ADD1A1所成角的正弦值为 2 6 ， 求线段 AM 的长 解如图，以点 A 为原点建立空间直角坐标系， 依题意得 A(0,0,0)， B(0， 0,2)， C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0) -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - (1)证明：易得 B1C1 (1,0，1)，CE (1,1，1)，于是B1C1 CE 0，所以 B1C1CE. (2)B1C (1，2，1) 设平面 B1CE 的法向量 m(x，y，z)， 则 m B1C 0， m CE 0， 即 x2yz0， xyz0. 消去 x，得 y2z0
14、，不妨令 z1，可 得一个法向量为 m(3，2,1) 由(1)，B1C1CE，又 CC1B1C1，可得 B1C1平面 CEC1，故B1C1 (1,0， 1)为平面 CEC1的一个法向量 于是 cosm，B1C1 m B1C1 |m|B1C1 | 4 142 2 7 7 ，从而 sinm，B1C1 21 7 ，所以二面角 B1CEC1的正弦值为 21 7 . (3)AE (0,1,0)，EC1 (1,1,1)，设EM EC1 ( ， ， )，0 1，有AM AE EM ( ， 1， )可取 AB (0,0,2)为平面 ADD1A1的一个法向量 设 为直线 AM 与平面 ADD1A1所成的角，则 sin |cos AM ，AB | |AM AB | |AM |AB | 2 2 1222 3 22 1， 于是 3 22 1 2 6 ，解得 1 3，所以 AM 2.