初三一元二次方程含答案.pdf

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1、学习好资料欢迎下载 一解答题（共30 小题） 1 （2013?淄博）关于x 的一元二次方程（a6）x 28x+9=0 有实根 （1）求 a 的最大整数值； （2）当 a 取最大整数值时， 求出该方程的根； 求的值 2 （2013?孝感）已知关于x 的一元二次方程x 2（ 2k+1 ）x+k2+2k=0 有两个实数根 x1，x2 （1）求实数k 的取值范围； （2）是否存在实数k 使得 0 成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由 3 （2013?南充）关于x 的一元二次方程为（m1）x 22mx+m+1=0 （1）求出方程的根； （2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 学习

2、好资料欢迎下载 4 （2013?荆州）已知：关于x 的方程 kx 2（ 3k1） x+2（k1）=0 （1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1，x2，且 |x1x2|=2，求 k 的值 5 （2012?庆阳）已知关于x 的方程 k 2x22（k+1）x+1=0 有两个实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）当 k=1 时，设所给方程的两个根分别为x1和 x2，求+的值 6 （2010?孝感）关于x 的一元二次方程x 2x+p1=0 有两实数根 x1，x2， （1）求 p 的取值范围； （2）若 2+x1（1x1）2+x2（1x2）=9，求 p 的值 7

3、（2009?淄博）已知x1，x2是方程 x 22x+a=0 的两个实数根，且 x1+2x2=3 （1）求 x1，x2及 a的值； （2）求 x1 33x 1 2+2x 1+x2的值 学习好资料欢迎下载 8 （2009?江津区）已知a、b、c 分别是 ABC 的三边，其中a=1，c=4，且关于x 的方程 x 2 4x+b=0 有两个相等 的实数根，试判断ABC 的形状 9 （2009?鄂州）已知关于x 的方程 kx 22（k+1）x+k 1=0 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由 1

4、0 （2008?濮阳）已知x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x 26x+k=0 的两个实数根，且 x12x22x1x2=115 （1）求 k 的值； （2）求 x1 2+x22+8 的值 11 （2007?孝感）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m1）x2m2+m=0（m 为实数）有两个实数根 x1、x2 （1）当 m 为何值时， x1 x2； （2）若 x1 2+x 2 2=2，求 m 的值 学习好资料欢迎下载 12 （2006?沈阳）已知关于x 的一元二次方程x 2+4x+m 1=0 （1）请你为m 选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根； （2）设 ，是（ 1）中你所

5、得到的方程的两个实数根，求 2+2+ 的值 13 （2006?旅顺口区）已知关于x 的方程 2x 2kx+1=0 的一个解与方程 的解相同 （1）求 k 的值； （2）求方程2x 2kx+1=0 的另一个解 14 （2006?龙岩）已知：关于x 的一元二次方程x 2（ 2m+1）x+m2+m2=0 （1）求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足，求 m 的值 15 （2006?江西）已知关于x 的一元二次方程x 2+kx 1=0， （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根分别为x1，x2，且满足x1+x2=x1?x2，求 k

6、的值 学习好资料欢迎下载 16 （2006?黑龙江）已知关于x 的一元二次方程kx 2 2（k+1）x+k1=0 有两个不相等的实数根 x1，x2 （1）求 k 的取值范围； （2）是否存在实数k，使+=1 成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由 17 （2006?广安）已知：ABC 的两边 AB、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2（ 2k+3）x+k2+3k+2=0 的两个 实数根，第三边BC 的长为 5试问： k 取何值时， ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？ 18 （2005?徐州）已知 ，是关于 x 的一元二次方程（m 1）x 2 x+1=0 的两个实数根，且满

7、足（ +1） （ +1） =m+1，求实数m 的值 19 （2005?龙岩）已知关于x 的方程（ m1） x 22mx+m=0 有两个不相等的实数根 x1、x2； （1）求 m 的取值范围； （2）若（ x1x2） 2=8，求 m 的值 学习好资料欢迎下载 20 （2005?荆门）已知：关于x 的方程 x 2（ k+1）x+ k 2+1=0 的两根是一个矩形两邻边的长 （1）k 取何值时，方程有两个实数根； （2）当矩形的对角线长为时，求 k 的值 21 （2005?江西）设关于x 的一元二次方程x 24x2（k1）=0 有两个实数根 x1、x2，问是否存在x1+x2x1?x2 的情况？ 22

8、 （2004?荆州）关于x 的方程 x 2+（ 2k+1）x+k21=0 有两个实数根 （1）求实数k 的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等？若存在，求出k 的值；若不存在，说 明理由 23 （2003?盐城）已知关于x 的方程 x 2+2（2m）x+36m=0 （1）求证：无论m 取什么实数，方程总有实数根； （2）如果方程的两个实数根x1、x2满足 x1=3x2，求实数m 的值 学习好资料欢迎下载 24 （2002?海南）对关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0 （a 0） （1）当 a、c 异号时，试证明该方程必有两个不相等的实数根；

9、（2）当 a、c 同号时， 该方程要有实数根，还须满足什么条件？请你找出一个a、c 同号且有实数根的一元二次方程， 然后解这个方程 25 （2001?苏州）已知关于x 的一元二次方程， （1）求证：不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设 x1、x2是方程的两个根，且x122kx1+2x1x2=5，求 k 的值 26 （2001?福州）已知关于x 的方程 x 22（m+1）x+m23=0 （1）当 m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设 x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2（ x1+x2） 12=0，求 m 的值 27 （1998?山西）设 a，b，c 是ABC

10、 三边的长，且关于x 的方程 c（ x 2+n）+b（x2n） 2 ax=0（n 0）有两 个实数根，求证：ABC 是直角三角形 学习好资料欢迎下载 28 （2013?乐山模拟）选做题： 题乙：已知关于x 的一元二次方程x22kx+k 2+2=2（1x）有两个实数根 x1、x2 （1）求实数k 的取值范围； （2）若方程的两实数根x1、x2满足 |x1+x2|=x1x21，求 k 的值 29 （2012?张家港市模拟）若关于x 的方程 x 2+4xa+3=0 有实数根 （1）求 a 的取值范围； （2）当 a=2012 时，设方程的两根为x1、x2，求 x12+3x1 x2的值 30 （201

11、2?金堂县一模）用适当的方法解下列方程 （x+4） 2=5（x+4） x 26x+5=0 （x+3） 2=（12x）2 2x 2 10x=3 学习好资料欢迎下载 2013年 9 月 1109953718的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一解答题（共30 小题） 1 （2013?淄博）关于x 的一元二次方程（a6）x 28x+9=0 有实根 （1）求 a 的最大整数值； （2）当 a 取最大整数值时， 求出该方程的根； 求的值 考点 ： 根的判别式；解一元二次方程-公式法 分析： （ 1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到=644 （a6） 9 0 且 a6 0，解得 a且 a 6，然 后

12、在次范围内找出最大的整数； （ 2） 把 a 的值代入方程得到x2 8x+9=0，然后利用求根公式法求解； 由于 x 28x+9=0 则 x28x=9，然后把 x28x=9 整体代入所求的代数式中得到原式 =2x 2 =2x 216x+ ，再变形得到2（x 28x）+ ，再利用整体思想计算即可 解答：解： （1）根据题意 =644 （a 6） 9 0 且 a6 0， 解得 a且 a 6， 所以 a 的最大整数值为7； （ 2） 当 a=7 时，原方程变形为x28x+9=0， =64 4 9=28， x=， x1=4+ ，x2=4； x 28x+9=0， x28x= 9， 所以原式 =2x 2

13、=2x 216x+ =2（x 28x）+ =2 （ 9）+ = 点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 （a 0）的根的判别式 =b 24ac：当 0，方程有两个不相等的实 数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义和解 法以及整体思想 2 （2013?孝感）已知关于x 的一元二次方程x 2（ 2k+1 ）x+k2+2k=0 有两个实数根 x1，x2 （1）求实数k 的取值范围； 学习好资料欢迎下载 （2）是否存在实数k 使得 0 成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由 考点 ： 根与系数的关系；根的判别式 专题 ： 压轴题

14、分析：（ 1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式 0，据此列出关于k 的不等式 （ 2k+1）2 4（k 2+2k） 0，通过解该不等式即可求得 k 的取值范围； （ 2）假设存在实数k 使得 0 成立利用根与系数的关系可以求得 ，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之 积的形式 0，通过解不等式可以求得k 的值 解答：解： （1）原方程有两个实数根， （ 2k+1 ） 24（k2+2k） 0， 4k 2+4k+14k28k 0 14k 0， k 当 k 时，原方程有两个实数根 （ 2）假设存在实数k 使得 0 成立 x1，x2是原方程的两根， 由 0， 得

15、 0 3（k 2+2k）（ 2k+1）2 0，整理得：（ k1） 2 0， 只有当k=1 时，上式才能成立 又由（ 1）知 k ， 不存在实数k 使得 0 成立 点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系 3 （2013?南充）关于x 的一元二次方程为（m1）x 22mx+m+1=0 （1）求出方程的根； （2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 考点 ： 解一元二次方程-公式法；一元二次方程的解 专题 ： 压轴题 分析： （ 1）利用求根根式x=解方程； 学习好资料欢迎下载 （ 2）利用（ 1）中 x 的值来确定m 的值 解答：

16、解： （1）根据题意，得 m 1 =（ 2m） 24（m1） （m+1）=4， 则 x1= =， x2=1； （ 2）由（ 1）知， x1= =1+， 方程的两个根都为正整数， 是正整数， m 1=1 或 m1=2， 解得， m=2 或 3即 m 为 2 或 3 时，此方程的两个根都为正整数 点评：本题考查了公式法解一元二次方程要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解 4 （2013?荆州）已知：关于x 的方程 kx 2（ 3k1） x+2（k1）=0 （1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1，x2，且 |x1x2|=2，求 k 的值 考点 ： 根的判别式；

17、根与系数的关系 分析：（ 1）确定判别式的范围即可得出结论； （ 2）根据根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，继而根据题意可得出方程，解出即可 解答：（ 1）证明： 当 k=0 时，方程是一元一次方程，有实数根； 当 k 0 时，方程是一元二次方程， =（ 3k1） 24k 2（ k1）=（k+1）2 0， 无论 k 为何实数，方程总有实数根 （ 2）解：此方程有两个实数根x1， x2， x1+x2= ，x1x2=， |x1x2|=2， （ x1x2） 2=4， （ x1+x2）24x1x2=4，即 4=4， 解得：= 2， 即 k=1 或 k= 点评：本题考查了根的判别式及根与系数的关

18、系，属于基础题，这些用到的知识点是需要我们熟练记忆的内容 5 （2012?庆阳）已知关于x 的方程 k 2x22（k+1）x+1=0 有两个实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）当 k=1 时，设所给方程的两个根分别为x1和 x2，求+的值 学习好资料欢迎下载 考点 ： 根的判别式；根与系数的关系 专题 ： 计算题 分析：（ 1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k2 0 且=4（k+1）24k 2 0，然后解两个不等式， 求出它们的公共部分即可； （ 2）先把 k=1 代入方程，再根据根与系数的关系得到x1+x2=4，x1?x2=1，然后把所求的代数式变形得到 +=，然后利用整

19、体思想进行计算 解答：解： （1）根据题意得k 2 0 且 =4（k+1）2 4k2 0， 解得 k 且 k 0； （ 2）k=1 时方程化为x 2 4x+1=0，则 x 1+x2=4，x1?x2=1， +=14 点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 （a 0）的根的判别式 =b 24ac：当 0，方程有两个不相等的实 数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的根与系数 的关系 6 （2010?孝感）关于x 的一元二次方程x 2x+p1=0 有两实数根 x1，x2， （1）求 p 的取值范围； （2）若 2+x1（1x1）2+x2（1x2）

20、=9，求 p 的值 考点 ： 根与系数的关系；根的判别式 分析：（ 1）一元二次方程有实根， 0，根据判别式的公式代入可求p 的取值范围； （ 2）将等式变形，结合四个等式：x1+x2=1，x1?x2=p1，x12x1+p1=0，x22x2+p1=0，代入求 p， 结果要根据p 的取值范围进行检验 解答：解： （1）由题意得： =（ 1） 24（ p1） 0 解得， p ； （ 2）由 2+x 1（1x1）2+x2（1x2）=9 得， （ 2+x1x1 2） （2+x 2 x2 2）=9 x1，x2是方程 x2x+p1=0 的两实数根， x12x1+p1=0，x22x2+p1=0， x1x12

21、=p1，x2x22=p1 （ 2+p1） （2+p1） =9，即（ p+1）2=9 p=2 或 p=4， p ，所求p 的值为 4 点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式运用，根与系数关系的运用以及等式变形的能力 7 （2009?淄博）已知x1，x2是方程 x 22x+a=0 的两个实数根，且 x1+2x2=3 （1）求 x1，x2及 a的值； （2）求 x1 33x 1 2+2x 1+x2的值 考点 ： 根与系数的关系；解二元一次方程组；一元二次方程的解 分析：（ 1）将 x1+2x2=3 与两根之和公式、两根之积公式联立组成方程组即可求出x1，x2及 a 的值； 学习好资料欢迎下载 （

22、2）欲求 x133x12+2x1+x2的值， 先把代此数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值即可求出x13 3x12+2x1+x2的值 解答： 解： （1）由题意，得， 解得 x1=1+ ， x2=1 所以 a=x1?x2=（ 1+ ） （1） =1； （ 2）由题意，得x122x1 1=0，即 x12 2x1=1 x133x12+2x1+x2=x132x12x12+2x1+x2=x1（ x122x1）（ x122x1） +x2=x11+x2=（x1+x2） 1 =21 =1 点评： 若一元二次方程有实数根，则根与系数的关系为：x1+x2= ，x1?x2=，将根与系数的关系与代数式变形

23、相结合解题是一种经常使用的解题方法 8 （2009?江津区）已知a、b、c 分别是 ABC 的三边，其中a=1，c=4，且关于x 的方程 x 2 4x+b=0 有两个相等 的实数根，试判断ABC 的形状 考点 ： 等腰三角形的判定；根的判别式 专题 ： 压轴题 分析：先根据关于x 的方程 x 24x+b=0 有两个相等的实数根，可知 =（ 4）24b=0，求出 b 的值为 4，再根据 a，c 的值来判断 ABC 的形状 解答：解：方程x 2 4x+b=0 有两个相等的实数根 =（ 4） 24b=0（3 分） b=4（ 4分） c=4 b=c=4（5分） ABC 为等腰三角形 （6 分） 点评：

24、本题考查了一元二次方程根的判别式的应用和利用边与边之间的关系判断三角形的形状总结：一元二次 方程根的情况与判别式的关系：（1）0? 方程有两个不相等的实数根；（2）=0? 方程有两个相等的 实数根；（ 3） 0? 方程没有实数根 9 （2009?鄂州）已知关于x 的方程 kx 22（k+1）x+k 1=0 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由 考点 ： 根与系数的关系；一元二次方程的定义；根的判别式 分析：（ 1）根据方程有两个不相等的实数根可知=2（ k+1） 2 4k（k 1）

25、0，求得 k 的取值范围； （ 2）可假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1，x2的倒数和为0，列出方程即可求得k 的值，然后把 求得的 k 值代入原式中看看与已知是否矛盾，如果矛盾则不存在，如果不矛盾则存在 解答：解： （1）方程有两个不相等的实数根， =2（ k+1） 2 4k（k1）=12k+40，且 k 0， 解得 k，且 k 0， 即 k 的取值范围是k，且 k 0； （ 2）假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1，x2的倒数和为0， 学习好资料欢迎下载 则 x1，x2不为 0，且， 即，且， 解得 k=1， 而 k=1 与方程有两个不相等实根的条件k，且 k 0 矛盾， 故使方

26、程的两个实数根的倒数和为0 的实数 k 不存在 点评：本题主要考查了根的判别式的运用和给定一个条件判断是否存在关于字母系数的值令条件成立解决此类 问题，要先假设存在，然后根据条件列出关于字母系数的方程解出字母系数的值，再把求得的字母系数值 代入原式中看看与已知是否矛盾，如果矛盾则不存在，如果不矛盾则存在 10 （2008?濮阳）已知x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x 26x+k=0 的两个实数根，且 x12x22x1x2=115 （1）求 k 的值； （2）求 x1 2+x 2 2+8 的值 考点 ： 根与系数的关系；解一元二次方程-直接开平方法；根的判别式 专题 ： 压轴题 分析：（

27、1）方程有两个实数根，必须满足=b 24ac 0，从而求出实数 k 的取值范围，再利用根与系数的关系， x1x2 x1x2=115即 x1x2（ x1+x2）=115，即可得到关于 k 的方程，求出k 的值 （ 2）根据（ 1）即可求得x1+x2与 x1x2的值，而x1 2+x 2 2+8=（x 1+x2） 22x 1x2+8 即可求得式子的值 解答：解： （1） x1，x2是方程 x 26x+k=0 的两个根， x1+x2=6，x1x2=k， x12x22 x1x2=115， k26=115， 解得 k1=11，k2=11， 当 k1=11 时， =364k=36440， k1=11 不合题

28、意 当 k2= 11 时， =364k=36+44 0， k2=11 符合题意， k 的值为 11； （ 2） x1+x2=6，x1x2=11 x12+x22+8=（x1+x2） 22x 1x2+8=36+2 11+8=66 点评：总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式的关系： 0? 方程有两个不相等的实数根； =0? 方程有两个相等的实数根； 0? 方程没有实数根 （ 2）根与系数的关系是：x1+x2= ，x1x2= 根据根与系数的关系把x12x22x1x2=115 转化为关于 k 的方程，解得k 的值是解决本题的关键 11 （2007?孝感）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m1）x2

29、m2+m=0（m 为实数）有两个实数根 x1、x2 （1）当 m 为何值时， x1 x2； （2）若 x1 2+x 2 2=2，求 m 的值 考点 ： 根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式 学习好资料欢迎下载 分析：（ 1）当 m 为何值时x1 x2，即方程有两个不同的根，则根的判别式0 （ 2）依据根与系数关系，可以设方程的两根是x1、x2，则可以表示出两根的和与两根的积， 依据 x12+x22=（x1+x2） 22x 1x2，即可得到关于m 的方程，即可求得m 的值 解答：解： （1）x2+（m1） x2m2+m=0（m 为实数）有两个实数根 x1、x2 a=1，b=m1

30、，c=2m2+m， =b2 4ac=（m1） 2 4（ 2m 2+m）=m22m+1+8m24m=9m26m+1= （3m1）2， 要使 x1 x2，则应有 0，即 =（3m1） 20， m ； （ 2）根据题意得：x1+x2= =1m，x1?x2=2m 2+m x12+x22=2，即 x12+x22=（x1+x2） 2 2x 1x2，即（ 1m） 22（ 2m2+m）=2， 解得 m1= ，m2=1 点评：本题是常见的根的判别式与根与系数关系的结合试题把求未知系数m 的问题转化为解方程问题是解决本 题的关键 12 （2006?沈阳）已知关于x 的一元二次方程x 2+4x+m 1=0 （1）请

31、你为m 选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根； （2）设 ，是（ 1）中你所得到的方程的两个实数根，求 2+2+ 的值 考点 ： 根的判别式；根与系数的关系 专题 ： 计算题；开放型；判别式法 分析：（ 1）根据 0 求得 m 的取值范围，再进一步在范围之内确定m 的一个整数值； （ 2）根据根与系数的关系，对 2+2+ 进行变形求解 解答：解： （1）根据题意，得=b24ac=164（m1） 0，解得 m5 只要是m5 的整数即可 如：令 m=1 （ 2）当 m=1 时，则得方程x 2+4x=0， ，是方程 x 2+4x=0 的两个实数根， + =4，=0， 2+2+ =（

32、+ ）2 =（ 4） 20=16 点评：（ 1）一元二次方程根的情况与判别式的关系： 0? 方程有两个不相等的实数根； =0? 方程有两个相等的实数根； 0? 方程没有实数根 （ 2）一元二次方程的两根之和等于，两个之积等于 13 （2006?旅顺口区）已知关于x 的方程 2x 2kx+1=0 的一个解与方程 的解相同 （1）求 k 的值； （2）求方程2x 2kx+1=0 的另一个解 考点 ： 根与系数的关系；一元二次方程的解；解分式方程 分析：（ 1）分式方程较完整，可先求出分式方程的解，代入整式方程即可求得k 的值 学习好资料欢迎下载 （ 2）根据两根之和=即可求得另一根的解 解答： 解

33、： （1）解方程：，得 2x+1=4 4x 经检验是原方程的解 把代入方程2x2kx+1=0 解得 k=3 （ 2）当 k=3 时，方程为2x 23x+1=0 由根与系数关系得方程另一个解为：x=1 点评：此题主要考查方程解的意义，及同解方程、解方程等知识注意运用根与系数的关系使运算简便 14 （2006?龙岩）已知：关于x 的一元二次方程x 2（ 2m+1）x+m2+m2=0 （1）求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足，求 m 的值 考点 ： 根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；解分式方程 专题 ： 计算题；证明题 分

34、析：（ 1）方程总有两个不相等的实数根的条件是0，由 0 可推出 m 的取值范围 （ 2）欲求 m 的值，先把代数式变形为两根之积或两根之和的形式，然后与两根之和公式、两根之 积公式联立组成方程组，解方程组即可求m 的值 解答：解： （1）=（ 2m+1） 24（m2+m2） =4m 2 +4m+14m 24m+8=90 不论 m 取何值，方程总有两个不相等实数根 （ 2）解法一： 根据根与系数的关系有x1+x2=2m+1，x1?x2=m2+m 2 又 整理得 m2=4 解得 m1=2，m2=2 经检验 m=2 是增根，舍去 m 的值为 2 解法二： 由原方程可得x（ m 1）x（ m+2）=

35、0 x1=m+2，x2=m1 又 学习好资料欢迎下载 m=2 经检验： m=2 符合题意 m 的值为 2 点评：本题考查了一元二次方程根的判别方法，根与系数关系的灵活运用等知识根据一元二次方程的根与系数 的关系把求m 的问题转化为解方程的问题，是解决本题的关键 15 （2006?江西）已知关于x 的一元二次方程x 2+kx 1=0， （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根分别为x1，x2，且满足x1+x2=x1?x2，求 k 的值 考点 ： 根与系数的关系；根的判别式 专题 ： 计算题；证明题 分析：当 0 时方程有两个不相等的实数根，本题中=k 24 1 （ 1）=k2+

36、40利用两根之和公式、两根之 积公式与x1+x2=x1?x2联立组成方程组，解方程组即可求出k 的值 解答：证明：（1） =k 2 4 1 （ 1） =k 2+40 原方程有两个不相等的实数根 解： （2）由根与系数的关系，得 x1+x2=k，x1?x2=1 x1+x2=x1?x2， k=1， 解得 k=1 点评：命题立意：考查一元二次方程根的判别式与根与系数的关系及推理论证能力 16 （2006?黑龙江）已知关于x 的一元二次方程kx 2 2（k+1）x+k1=0 有两个不相等的实数根 x1，x2 （1）求 k 的取值范围； （2）是否存在实数k，使+=1 成立？若存在，请求出k 的值；若不

37、存在，请说明理由 考点 ： 根的判别式；一元二次方程的定义；根与系数的关系 专题 ： 开放型 分析：（ 1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围 （ 2）利用根与系数的关系，根据+=，即可求出k 的值，看是否满足（1）中 k 的取值范围， 从而确定k 的值是否存在 解答：解： （1）由题意知， k 0 且=b24ac 0 b24ac=2（k+1） 24k（k1） 0， 即 4k2+8k+4 4k2+4k0， 12k 4 解得： k且 k 0 （ 2）不存在 学习好资料欢迎下载 x1+x2= ，x1?x2=， 又有+=1， 可求得 k=3，而 3 满足条件的k

38、值不存在 点评：总结： 1、一元二次方程根的情况与判别式的关系： 0? 方程有两个不相等的实数根； =0? 方程有两个相等的实数根； 0? 方程没有实数根 2、一元二次方程的根与系数的关系为：x1+x2=，x1x2= 3、一元二次方程的二次项系数不为0 17 （2006?广安）已知：ABC 的两边 AB、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2（ 2k+3）x+k2+3k+2=0 的两个 实数根，第三边BC 的长为 5试问： k 取何值时， ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？ 考点 ： 根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；勾股定理 分析： ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形，

39、即 AB ， AC 的平方和是25， 则一元二次方程x 2 （2k+3） x+k2 +3k+2=0 的两个实数根的平方和是25，根据韦达定理和勾股定理解出k 的值，再把k 的值代入原方程，检查k 是哪 个值时， ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形则可 解答：解：设边AB=a ，AC=b a、b 是方程 x2（ 2k+3） x+k 2+3k+2=0 的两根 a+b=2k+3，a?b=k 2+3k+2 又 ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形，且BC=5 a 2+b2=52， 即（ a+b） 2 2ab=52， （ 2k+3）22（ k2+3k+2）=25 k2+3k 10=0 k1=5 或

40、 k2=2 当 k=5 时，方程为： x 2+7x+12=0 解得： x1= 3，x2=4（舍去） 当 k=2 时，方程为： x27x+12=0 解得： x1=3，x2=4 当 k=2 时， ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形 点评：此题主要考查一元二次方程的根与系数的关系及勾股定理的应用求出k 的值后，一定要代入原方程进行 检验 18 （2005?徐州）已知 ，是关于 x 的一元二次方程（m 1）x 2 x+1=0 的两个实数根，且满足（ +1） （ +1） =m+1，求实数m 的值 考点 ： 根与系数的关系；一元二次方程的定义；解分式方程 分析： ，是关于 x 的一元二次方程（m1）

41、x 2x+1=0 的两个实数根，有 + =， =， 且（ +1） （ +1）=（ + ）+1 代入可得（ +1） （ +1）=m+1即可得到关于m 的方程，从而求解 解答：解：一元二次方程（m1） x2x+1=0 有两个实数根 ， 学习好资料欢迎下载 ， 解之得 m 且 m 1， 而 + =， =， 又（ +1） （ +1）=（ + ）+1=m+1 ， +=m， 解之得 m1=1，m2=2，经检验 m1= 1，m2=2 都是原方程的根 m ， m2=2 不合题意，舍去， m 的值为 1 注：如果没有求出m 的取值范围，但在求出m 值后代入原方程检验，舍去m=2 也正确 点评： 本题考查一元二次

42、方程ax2+bx+c=0 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是 ，两根之积是利用根 与系数的关系把求m 的问题转化为方程的问题，是解决本题的关键 19 （2005?龙岩）已知关于x 的方程（ m1） x 22mx+m=0 有两个不相等的实数根 x1、x2； （1）求 m 的取值范围； （2）若（ x1x2） 2=8，求 m 的值 考点 ： 根与系数的关系；根的判别式；解分式方程 分析：（ 1）根据一元二次方程的根的判别式0 时，方程有两个不相等的实数根，建立关于m 的不等式，然后 求出 m 的取值范围； （ 2）把根与系数的关系式代入（x1x2）2=8 即（ x1x2）2=（x1+x2）24x

43、1x2=8，代入即可得到一个关于 m 的方程，求得m 的值 解答：解： （1） a=m1，b=2m，c=m， 而方程有两个不相等的实数根， =b2 4ac=4m24（ m 1）m=4m0， m 0（m 1） ； （ 2）， （ x1x2） 2=（x 1+x2） 2 4x 1x2=8， 解得： m1=2， m2= 经检验 2 和都是方程的解 点评：总结： 1、一元二次方程根的情况与判别式的关系： （ 1） 0? 方程有两个不相等的实数根； （ 2）=0? 方程有两个相等的实数根 （ 3） 0? 方程没有实数根 2、若一元二次方程有实根，则根与系数的关系为：x1+x2=，x1?x2= 学习好资料欢

44、迎下载 20 （2005?荆门）已知：关于x 的方程 x 2（ k+1）x+ k 2+1=0 的两根是一个矩形两邻边的长 （1）k 取何值时，方程有两个实数根； （2）当矩形的对角线长为时，求 k 的值 考点 ： 根与系数的关系；根的判别式；勾股定理；矩形的性质 分析：（ 1）根据一元二次方程根的判别式，方程有两个实数根，则判别式 0，得出关于k 的不等式，求出k 的 取值范围 （ 2）根据勾股定理和根与系数的关系得出关于k 的方程，求出k 的值并检验 解答：解： （1）设方程的两根为x1，x2 则 =（ k+1） 24（ k 2+1）=2k3， 方程有两个实数根， 0， 即 2k3 0， k

45、 当 k ，方程有两个实数根 （ 2）由题意得：， 又 x12+x22=5，即（ x1+x2） 22x 1x2=5， （ k+1） 22（ k2+1）=5， 整理得 k2+4k12=0， 解得 k=2 或 k=6（舍去）， k 的值为 2 点评：解决本题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系和勾股定理，把问题转化为解方程求得k 的值 21 （2005?江西）设关于x 的一元二次方程x 24x2（k1）=0 有两个实数根 x1、x2，问是否存在x1+x2x1?x2 的情况？ 考点 ： 根与系数的关系；根的判别式 分析：本题运用一元二次方程根与系数的关系即可把x1+x2x1?x2转化为关于k 的不等式，检验所得值，是否能 使方程的判别式 0 解答：解：不存在 一元二次方程x24x2（k 1）=0 有两个实数根x1、x2 x1+x2=4，x1?x2=2（k1） 假设存在x1+x2x1?x2， 即有 4 2（ k1） ， k 1 又所给方程有实根， 由根的判别式=（ 4） 42（k1） 0 得 k 1 k 值不存在 即不存在x1+x2x1?x2的情况 点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法 学习好资料欢迎下载 22 （2004?荆州）关于x 的方程 x 2+（ 2k+1）x+k21=0 有两个实数根 （1）求实数k 的取值范围； （2）是否存