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1、- 1 - 专题六 函数与方程中的等高线 一、问题的提出 【2015 高考天津理8】已知函数 2 2,2, 2,2, xx fx xx 函数 2g xbfx ，其 中bR， 若函数yfxg x恰有 4 个零点，则b的取值范围是 ( ) （A） 7 , 4 （B） 7 , 4 （C） 7 0, 4 （D） 7 ,2 4 设( )( )( )f af bf ct, 借助地理中的名词, 我们把 yt称作函数的等高线 , 利用函数的 等高线求解与交点横坐标有关的问题, 也是高考的一个热点, 求解这类问题一般要借助函数图 象和函数性质, 综合性较强 , 对解题能力要求较高, 故此类问题难度较大, 一般作
2、为客观题压轴 题出现 . 下面我们就来探讨这一类问题的解法. 二、问题的探源 首先给出上面一题的解法： 由 2 2,2, 2,2, xx fx xx 得 2 22,0 (2) ,0 x x fx xx ， 所以 2 2 2,0 ( )(2)42,02 22(2) ,2 xxx yf xfxxxx xxx ， 即 2 2 2,0 ( )(2)2,02 58,2 xxx yfxfxx xxx ( )( )( )(2)yfxg xf xfxb, 所以yfxg x恰有 4 个零点等价于方程 ( )(2)0f xfxb有 4 个不同的解，即函数yb与函数( )(2)yf xfx的图象 的 4 个公共点，
3、由图象可知 7 2 4 b. - 2 - 8 6 4 2 2 4 6 8 1510551015 从上面的解法我们可以看出, 解决此类问题一般要先画出函数的图象, 再根据图像探讨函数的 性质 , 然后利用函数性质进行求解, 类型主要有以下3 种： 1. 对称性求解等高线对应的交点横坐标之和. 求 解 此 类 问 题 常 用 的 一 个 结 论 是 ： 若 1122,A x yB xy 关 于 直 线xa对 称 , 则 12 2xxa； 2. 对称性求解等高线对应的交点横坐标之积. 求 解 此 类 问 题 常 用 的 结 论 是 ： 若 直 线ym与 函 数l og a yx有 两 个 不 同 交
4、 点 1122 ,A x yB xy, 则 12 1x x, 对任意 12 ,x xR 2 12 12 2 xx x x等 ； 3. 求等高线对应的交点横坐标函数的范围. 求解此类问题一般是把所给式子转化为关于某一交点横坐标的函数, 再由图象确定该交点横 坐标的范围 , 然后利用函数或不等式求范围. 三、问题的佐证 1. 对称性求解等高线对应的交点横坐标之和 【例 1】已知函数, 且对于任意实数关于的方程 都有四个不相等的实根,则的取值范围是（） （A）（B） （C）（D） 【解析】根据函数图像可得, 由于, 因此, - 3 - 故应选 C. 【例 2】 【2014 上海 , 理 12】设常数
5、 a 使方程sin3cosxxa在闭区间 0,2 上恰有三个 解 1 23 ,x xx， 则 1 23 xxx . 【答案】 7 3 2. 对称性求解等高线对应的交点横坐标之积； 【例 3】已知 3 2 log,03 110 8,3 33 xx fx xxx , , ,a b c d是互不相同的正数, 且fafbfcfd, 则abcd的取值范围是（） A18,28 B18,25 C20,25 D21,24 【解析】不妨设 abcd , 由图像知 1,10,34abcdc , 所以 2 (10)(5)25(21,24)abcdccc , 选 D. 【例4】设函数 0,2 0,2 )( 2 2 x
6、xx xxx xf, 且关于x的方程)( ,)(Rmmxf恰有3个不同 的实数根 - 4 - 321 ,xxx,则 321 xxx的取值范围是（） A)0, 1( B), 2 1 ( C)1 ,0( D)0, 2 1 ( 【解析】首先画出函数( )f x的图像 , 如下图所示 . 由图可知 , 满足方程)(,)(Rmmxf恰 有3个不同的实数根 321 ,xxx, 且 123 0,01,1xxx, 其m的取值范围为(0,1). 由题意 知 , 23 ,xx是 2 2 ym yxx 的 根 , 即 2 20xxm, 所 以 23 2xx, 23 x xm, 且 1 1 (,0) 2 x, 所以 1231 1 (,0) 2 x x xmx, 故应选D. 3. 求等高线对应的交点横坐标函数的范围. 【例 5】 已知函数 2 11 ,0, 22 1 3,1 2 xx fx xx , 若存在常数 t使得方程fxt有两个不等的实 根 1 x, 2 x （ 12 xx）, 那么 12 xfx的取值范围为（） A 3 ,1 4 B 13 , 86 C 31 , 16 2 D 3 ,3 8