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1、1 考点 48 正态分布 【考纲要求】 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【命题规律】 在选择题、填空题考查较多，属容易题，分值5分，在解答题中结合其他知识考查属中等题. 【典型高考试题变式】 正态分布 例 1. 【2017 课标 1】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件 的尺寸服从正态分布 2 ( ,)N （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在(3 ,3 )之外的零件数， 求(1)P X及X的数学期望；
2、 （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3 ,3 )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的 生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 （）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 16 1 1 9.97 16 i i xx， 1616 222 11 11 ()(16)0.212 1616 ii ii sxxxx ，其中 i x为抽取的第i 个零件
3、的尺寸，1,2,16i用样本平均数x作为的估计值?，用样本标准差 s作为的估 计值?，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除? ?(3 ,3 )之外的数据， 用剩下的 数据估计和（精确到0.01 ） 附：若随机变量Z服从正态分布 2 ( ,)N，则 (33 )0.997 4PZ ， 16 0.997 40.959 2，0.0080.09 【分析】（1）根据题设条件知一个零件的尺寸在(3 ,3 )之内的概率为0.9974 ，则零件的尺寸 在(3 ,3 )之外的概率为0.0026 ，而 (16,0.0026)XB，进而可以求出X的数学期望 . （ 2） （i ） 判断监控生产过程的方法
4、的合理性，重点是考虑一天内抽取的16 个零件中， 出现尺寸在(3 ,3 )之 外的零件的概率是大还是小，若小即合理；（ ii ）根据题设条件算出的估计值和的估计值，剔除 ? ?(3,3)之外的数据9.22 ，算出剩下数据的平均数，即为的估计值， 剔除? ?(3 ,3 )之外 2 的数据 9.22 ，剩下数据的样本方差，即为的估计值 . 【解析】 （ 1）抽取的一个零件的尺寸在(3 ,3 )之内的概率为0.9974 ，从而零件的尺寸在 (3 ,3 )之外的概率为0.0026 ，故(16,0.0026)XB. 因此 16 (1)1(0)10.99740.0408P XP X. X的数学期望为160
5、.00260.0416EX. （2） （i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3 ,3 )之外的概率只有0.0026 ，一天内抽取 的 16 个零件中，出现尺寸在(3 ,3 )之外的零件的概率只有0.0408 ，发生的概率很小. 因此一旦 发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程 进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的. 【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平. 求解离散 型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然 后根据概率类型选择公式，计算
6、每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望. 正态分 布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的3原则 . 【变式 1】某种品牌摄像头的使用寿命( 单位：年 ) 服从正态分布，且使用寿命不少于2 年的概率为0.8 ， 使用寿命不少于6 年的概率为0.2. 某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4 年内这两个摄 像头都能正常工作的概率为_ 【答案】 1 4 3 【变式 2】 【广西南宁2017 届普通高中毕业班第二次模拟】某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记 录了该店1 月份中5 天的日销售量y（单位：千克）与该地当日最低气温 x（单位：C）的数据，如下
7、表： x 2 5 8 9 11 y 12 10 8 8 7 （1）求出y与x的回归方程 ? ? ybxa； （2）判断y与x之间是正相关还是负相关；若该地1 月份某天的最低气温为6 C，请用所求回归方程预测 该店当日的销售量； （3）设该地 1 月份的日最低气温X 2 ,N，其中近似为样本平均数x， 2 近似为样本方差 2 s， 求(3.813.4)PX. 附：回归方程 ? ?ybxa中， 1 2 2 1 ? n ii i n i i x ynxy b xn x ， ? ?aybx. 103.2，3.21.8， 若X 2 ,N，则()0 . 6 8PX， (22 )0.9544PX. 【解析】
8、（1）因为令5n, 1 135 7 5 n i i xx n ， 1 145 9 5 n i i yy n , 所以 1 28757 928 n ii i x ynxy， 2 22 1 2955750 n i i xn x 所以 28 0.56 50 ? b 4 所以90.56712. ? 92?aybx（或者： 323 25 ） 所以所求的回归方程是0.5612.?92yx 【数学思想】 数形结合思想 转化与化归思想. 【温馨提示】 曲线与x轴之间面积为1. 正态曲线关于直线x 对称，从而在关于x 对称的区间上概率相同 P(Xa) 1P(Xa) ，P(X a) P(Xa) 【典例试题演练】 1. 【 2017 云南大理统测】2016 年 1 月某校高三年级1600 名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学 考试成绩 2 100,XN（试卷满分为150 分） 统计结果显示数学考试成绩在80 分到 120 分之间的人数 约为总人数的 3 4 ，则此次统考中成绩不低于120 分的学生人数约为（） A80 B100 C120 D200 【答案】 D 【解析】正态曲线图象的对称轴为100X，根据其对称性可知，成绩不低于1200分的学生人数约为 31 16001200 42 人，故选D.