相似三角形的判定+性质+经典例题分析98516.pdf

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1、- 1 - / 11 相似形（一） 板块一、课前回顾 一、比例性质 1. 基本性质 :bcad d c b a （两外项的积等于两内项积） 2. 反比性质： c d a b d c b a (把比的前项、后项交换) 3. 合比性质 ： d dc b ba d c b a （分子加（减）分母, 分母不变） 4. 等比性质：（分子分母分别相加，比值不变. ） 如果)0(nfdb n m f e d c b a ，那么 b a nfdb meca 谈重点 ：(1) 此性质的证明运用了“设k法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法 (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零 (3)可利用分式性

2、质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立 5. 黄金分割： 1 内容 2 尺规作图作一条线段的黄金分割点 经典例题回顾： 例题 1已知 a、b、c 是非零实数，且k cba d dab c dca b dcb a ，求 k 的值 . 例题 2已知 111 xyxy ，求 yx xy 的值。 板块二、新课讲解 知识点一、相似形的概念 概念： 具有相同形状的图形叫相似图形 谈重点： 相似图形强调图形形状相同 ，与它们的 位置、颜色、大小无关 相似图形不仅仅指平面图形 ，也包括 立体图形相似的情况 我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形 可以看作是由 另一个图

3、形放大或缩小得到的 若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例全等形 - 2 - / 11 知识点二、平行线分线段成比例定理 定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1l2l3。 则， AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF 推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 定理： 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三 角形的第三边。 4 推论： 如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线 )，那么所截得的三角形与原三角形 相似推论4的基

4、本图形有三种情况，如图其符号语言： DE BC， ABC ADE ； 知识点三、相似三角形的判定 判定定理1：两角对应相等，两三角形相似 符号语言： 拓展延伸： （1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。 （2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。 【重难点高效突破】 例题 1如图，直线DE分别与 ABC的边 AB、AC的反向延长线相交于D、E，由 EDBC可以推 出 ADAE BDCE 吗？请说明理由。 （用两种方法说明） 例题 2 （射影定理）已知：如图，在ABC中， BAC=90 ， ADBC于 D. 求证： （1） 2 ABBD BC； （2） 2 ADBD CD； （3）CB

5、CDAC 2 例题 3如图， AD是 RtABC斜边 BC上的高， DEDF，且 DE和 DF分别交 AB、AC于 E、F.则 BD BE AD AF 吗？说 说你的理由 . 例题精讲 A E D B C A BCD - 3 - / 11 例题 4如图，在平行四边形ABCD中，已知过点B作 BECD于 E,连接 AE ， F为 AE上一点，且 BFE=C （ 1）求证： ABF EAD； （ 2）若 AB=4， BAE=30 ，求 AE的长； （ 3）在（ 1） （2）条件下，若AD=3，求 BF的长。 【即时训练】 一、选择题 1如图， ABC经平移得到 DEF ，AC 、 DE交于点 G

6、，则图中共有相似三角形（） A 3对 B 4对 C 5对 D 6对 2如图，已知DE BC ， EF AB ，则下列比例式中错误的是（） A AC AE AB AD B FB EA CF CE C BD AD BC DE D CB CF AB EF . 3. 在矩形 ABCD 中， E、F分别是 CD 、BC上的点，若 AEF=90，则一定有（） AADE AEF B.ECF AEF C. ADE ECF D. AEF ABF 4、如图，直线l1l2，AFFB=23，BC CD=2 1，则 AE EC是（） A.52 B.41 C.21 D.32 （1 题图）（2 题图）（3 题图）（4 题图

7、） 5. 如图， E是平行四边形ABCD 的边 BC的延长线上的一点， 连结 AE交 CD于 F， 则图中共有相似三角形 （） A.1 对 B.2对 C.3对 D.4对 (5 题图 ) (6题图 ) (7题图 ) ( 8题图 ) 6. ABC中， DE BC ，且 AD DB=2 1，那么 DE BC等于（） A.21 B.12 C.23 D.32 7. 如图，P是 RtABC的斜边 BC上异于 B、 C的一点，过点 P做直线截 ABC ， 使截得的三角形与ABC相似， 满足这样条件的直线共有（）A.1 条 B.2条 C.3条 D.4条 8. 如图，已知DE BC ，EF AB，则下列比例式中

8、错误的是（） A. AC AE AB AD B. FB EA CF CE C. BD AD BC DE D. CB CF AB EF 9. 下列说法：其中正确的是( ) 所有的等腰三角形都相似；所有的等边三角形都相似； 所有等腰直角三角形都相似；所有的直角三角形都相似. A. B. C. D. A D C B E F G F E D C B A - 4 - / 11 二、解答题 1、如图， ABC中， BD是角平分线，过D作 DE AB交 BC于点 E，AB=5cm ， BE=3cm ，求 EC的长 . 2. 如图，在梯形ABCD 中， AD BC ， BAD=90 ，对角线BD DC. (1

9、) ABC与 DCB相似吗？请说明理由. (2) 如果 AD=4 ，BC=9，求 BD的长 . 3. 已知：如图，在正方形ABCD中， P是 BC上的点，且BP=3PC ， Q是 CD的中点 . ADQ 与QCP 是否相似？为什么？ 4. 如图，已知AD为 ABC的角平分线， AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，交 AB与 F，试判定 BAE与 ACE是否相似，并说明理由。 5. 如图，在矩形ABCD中， AB=5cm ，BC=10cm ，动点 P 在 AB边上由 A向 B作匀速运动，1 分钟可到达B 点；动 点 Q在 BC边上由 B向 C作匀速运动， 1 分钟可到达C点，若 P、Q两点同时

10、出发，问 经过多长时间，恰好有PQ BD ？ 6.已知：如图所示，D是 AC上一点， BEAC ，AE分别交 BD 、BC于点 F、G ， 1=2. 则 BF是 FG 、EF的比例 中项吗？请说明理由. 7. 如图， CD是 RtABC的斜边 AB上的高， BAC的平分线分别交BC、CD于点 E、F. A BE DC F Q P D C B A - 5 - / 11 A BC D DA B C D A B C E A BC D E AC ?AE=AF ?AB吗？说明理由. 8. 如图， AD是 RtABC斜边 BC上的高， DE DF，且 DE和 DF分别交 AB 、AC于 E、F. 则 BD

11、 BE AD AF 吗？说说 你的理由 . 相似形（二） 板块二、新课讲解 知识点 1相似三角形的判定 判定定理 (2) ：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 判定定理 (3) ：三边对应成比例，两三角形相似 知识点 2直角三角形相似的判定 在直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似 知识点 3 相似三角形中的基本图形 A 型， X型交错型旋转型母子形 【重难点高效突破】 例题 1 如图在 44 的正方形方格中， ABC和 DEF的顶点都在长为1 的小正方形顶点上 （1）填空： ABC=_ ， BC=_ （2）判定 ABC与 DEF是否相似？并说明理由。 例题 2.如图，

12、在 ABC中，已知BD 、CE是 ABC的高，求证：ADE ABC 。 例题精讲 A B C D E A BC D E - 6 - / 11 例题 3如图，已知AB BD ，CD BD，AB=6cm ，CD=4cm ，BD=14cm ，点 P在 BD上由 B点向 D点移动，当BP等于 多少时， ABP与 CPD相似？ 例题 4. 已知：如图，在ABC中， C90， P是 AB 上一点，且点P不与点 A重合，过点P作 PE AB 交 AC 于 E，点 E不与点 C重合，若AB10，AC8，设 APx，四边形PECB的周长为y，求 y 与 x 的函数关系式 例题 5在三角形ABC中， AB=AC

13、， AD BC于点 D ， DE AC于点 E，M为 DE的中点， AM 与 BE相交于点N，延长 AM交 BC于点 G ，AD与 BE相交于点F， 求证：（1） DEAD = CECD ; （2） BCE ADM ； （ 3）AM BE. 【随堂演练】 A 组 1下列命题中正确的是（） 三边对应成比例的两个三角形相似二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 一个锐角对应相等的两个直角三角形相似一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、 B、 C、 D、 2如图，D、E分别是 AB 、AC上两点， CD与 BE相交于点O ，下列条件中不能使ABE和ACD相似的是 （） A. B=C B.

14、 ADC= AEB C. BE=CD，AB=AC D. ADAC=AE AB 3如图， 在正方形网格上有6 个斜三角形： ABC ，BCD ，BDE ，BFG ，FGH ，EFK.其中 中，与三角形相似的是（） (A) (B) (C) (D) 4如图， DE与 BC不平行，当 AC AB = 时， ABC与 ADE相似。 5如图，平行四边形 ABCD中， AB=10 ，AD=6，E是 AD的中点，在AB上取一点F，使 CBF? CDE ，则 BF的 长是（） A5 B8.2 C6.4 D1.8 （ 3 题图）（ 4 题图）（ 5 题图） 5如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE BC于 E，

15、 AFCD于 F. M N F A BC D E G A B D C P - 7 - / 11 (1) ABE与 ADF相似吗？说明理由. (2) AEF与 ABC相似吗？说说你的理由. 6已知：如图，在正方形ABCD中， P是 BC上的点，且BP=3PC ，Q是 CD的中点 . ADQ与QCP是否相似？为什 么？ 7如图，在正方形ABCD中， E为 AD的中点， EF EC交 AB于 F，连接 FC,AEAB AEF EFC吗若相似，请证明；若不相似，请说明理由。若ABCD 为矩形呢？ 板块三、课后作业 1如图，正方形ABCD 中，点 E，F 分别为 AB ，BC的中点， AF与 DE相交于

16、点O，则 AO DO 等于（） A 1 3 B 2 5 5 C 2 3 D 1 2 2如图， 直线 EF交 AB 、AC于点 F、E ，交 BC的延长线于点D，AC BC ，已知AB CD=DE AC, 求证：AE CE=DE EF 3已知：如图，在梯形 ABCD中，ABCD，B90，以 AD 为直径的半圆与BC相切于 E点求 证： ABCDBE EC 4如图所示， AB是 O 的直径， BC是 O 的切线，切点为点B，点 D 是 O 上的一点，且ADOC 求证： AD BCOBBD 5如图所示，在O 中， CD过圆心 O，且 CDAB于 D，弦 CF交 AB 于 E F A B C D E

17、- 8 - / 11 求证： CB 2CF CE 6已知 D 是 BC边延长线上的一点，BC 3CD，DF 交 AC边于 E点，且 AE 2EC 试求 AF与 FB的比 7已知：如图，在ABC中， BAC90， AH BC于 H，以 AB和 AC为边在RtABC外作等边 ABD 和 ACE ，试判断 BDH与 AEH 是否相似，并说明理由 相似三角形的性质及其应用 板块二、新课讲解 知识要点：相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 【重难点高效突破

18、】 例题 1. (1)两个相似三角形的面积比为 21 : ss，与它们对应高之比 21 : hh之间的关系为_ (2)如图，已知DEBC ，CD和 BE相交于 O，若16:9: COBABC SS，则 AD:DB=_ (3)如图，已知ABCD,BO:OC=1:4,点 E、F 分别是 OC ，OD的中点，则EF:AB的值为 (4)如图，已知 DEFG BC,且 AD:FD:FB=1:2:3, 则)(S: FBCGDFGE四边形四边形 SS ABC A.1:9:36 B.1:4:9 C.1:8:27 D.1:8:36 (5) 梯形 ABCD 中， AD BC ， （ ADBC ） ，AC 、BD交

19、于点 O,若 ABCDOAB SS 25 6 , 则 AOD与 BOC的周长之比为 _。 - 9 - / 11 例题 2. 如图，在 ABC中， DE BC ，且SADE : S四边形 BCED1: 2，BC 26。求 DE的长。 例题 3.如图所示，已知DE BC ，且与 ABC的边 CA 、BA的延长线分别相交于点D、 E ，F、G分别在边AB 、AC 上，且 AF ：FB=AG ：GC ，求证： AFG AED 。 例题 4. 如图，矩形EFGH内接于 ABC ， AD BC于点 D，交 EH于点 M ，BC 20 ， AM 8 ， SABC100 2。求矩形 EFGH的面积。 例题 5

20、. ABC中， D为 AB上一点，若ABC= ACD ，AD=8， DB=6，求 AC的长。 例题 6. 已知，如图 ABC中， BAC=90 0，AB=AC=1,D为 BC上一动点（不与 B,C 重合） ， ADE=45 （1）求证 ABD DCE （2）设 BD=x,AE=y,求 y 与 x 的函数关系式 （3）若 ADE为等腰直角三角形时，求AE的长 例题 7、如图 , 在等腰梯形ABCD 中,ADBC,AD=3，BC=7，B=60，P为下底 BC上一点（不与 B、C 重合） ， 连结 AP,过 P点作 PE交 DC于 E,使得 APE= B. （1）求证： ABP PCE ； （2）求

21、等腰梯形的腰AB的长； （3）在底边BC上是否存在一点P, 使得 DE EC=5 3，如果存在 , 求出 BP的长 , 如果不存在 , 请说明理由 . 【随堂演练】 A组 C A B D E - 10 - / 11 P A BCD 1. 两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们周长的比为_. 2若 x：y：z=3： 5：7，3x2y 4z9 则 xy z 的值为 _. 3. 如图， APD 90， AP PBBC CD ，则下列结论成立的是（） A . PAB PCA B.PAB PDA C . ABC DBA D.ABC DCA 第 3 题 4. 如图， D、E分别是 ABC的边 AB 、A

22、C上的点， 1 B，AE EC 4，BC 10， AB 12，则 ADE的周长为 _ 5某学生利用树影测松树的高度，他在某一时刻测得1 5 米长的竹竿影长09 米，但当他马上测松树高度时， 因松树靠近一幢高楼，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墙上，他测得留在地面部分的影长是24 米，留在墙上部分的影高是1.5 米，则松树的高度为_米 6. 如图， C为线段 AB上的一点，ACM 、 CBN都是等边三角形，若AC 3，BC 2，则 MCD 与 BND的面积比为。 7如图，在梯形ABCD 中， AD BC ， AC 、BD交于 O点， SAOD:SCOB1:9 ，则 SDOC:SBOC 板块三、课后作业 1.已知：如图，ABC中， A36， ABAC，BD是角平分线 (1)求证： AD 2CDAC； (2)若 ACa，求 AD 2已知：如图，ABCD中， E是 BC边上一点，且 AEBDECBE, 2 1 相交于 F点 (1)求 BEF的周长与 AFD 的周长之比； (2)若 BEF的面积 SBEF6cm 2，求 AFD的面积 S AFD 3已知：如图，RtABC中， AC4，BC3，DEAB (1)当 CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求CD的长； (2)当 CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求CD的长 - 11 - / 11