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1、1 2.2 函数中的存在性与恒成立问题 一、考情分析 函数内容作为高中数学知识体系的核心, 也是历年高考的一个热点. 在新课标下的高考越来越注重对学生的 综合素质的考察, 恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径, 它主要涉及到一次函数、二 次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识, 渗透着换元、化归、数 形结合、函数与方程等思想方法, 在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用, 故备受高考命题 者的青睐 ,成为高考能力型试题的首选. 二、经验分享 (1) 设)0()( 2 acbxaxxf, （ 1 ）Rxxf在0)(上 恒 成 立00且a
2、；（ 2 ） Rxxf在0)(上恒成立00且a. (2) 对于一次函数,)(nmxbkxxf有： 0)( 0)( 0)(, 0)( 0)( 0)( nf mf xf nf mf xf恒成立恒成立 (3) 根据方程有解求参数范围, 若参数能够分离出来, 可把求参数范围转化为求函数值域 (4) 利用分离参数法来确定不等式,0fx, （Dx,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基 本步骤 : 将参数与变量分离, 即化为gfx（或gfx）恒成立的形式； 求fx在xD上的最大（或最小）值； 解不等式 max ( )gf x( 或 min gfx) , 得的取值范围 . (5) 对于参数不能单独放在一侧的,
3、 可以利用函数图象来解. 利用数形结合解决恒成立问题, 应先构造函 数, 作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件, 求 出参数的范围. (6) 某些含参不等式恒成立问题, 在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数 的最值却难以求出时, 可考虑变换思维角度. 即把主元与参数换个位置, 再结合其它知识, 往往会取得出奇制 胜的效果 . 2 三、知识拓展 (1) 恒成立问题 . ?xD, 均有f(x)A恒成立 , 则f(x)minA； . ?xD, 均有f(x) A恒成立 , 则 f(x)ma xg(x) 恒成立 , 则F(x)
4、= f(x)- g(x) 0, F(x)min 0 ； . ?xD, 均有f(x) g(x) 恒成立 , 则F(x)= f(x)- g(x) g(x2) 恒成立 , 则f(x)min g(x)ma x； . ?x1D, ?x2E,均有f(x1) A成立 ,则f(x) max A； . ?x0D, 使得f(x0) A成立 , 则 f(x) min g(x0) 成立 , 设F(x)= f(x)- g(x), F(x) max 0 ； . ?x0D, 使得f(x0) g(x2) 成立 , 则f(x) max g(x) min； . ?x1D, ?x2E, 均使得f(x1) g(x2) 成立 ,则f(
5、x)min g(x) min； ?x1D, ?x2E, 使得f(x1) x 310 x 2x 10 x 2, 设g(x) x 10 x 2(1x2),g(x) 120 x 3, 1x2, g(x) 9 2. 【点评】解法一在处理时, 需要用分类讨论的方法, 讨论的关键是极值点与区间1,2的关系；解法二是用 的参数分离 , 由于ax 2x310 中 x 21,4, 所以可以进行参数分离, 而无需要分类讨论 【牛刀小试】 【2017 山西大学附中第二次模拟】设函数21 x fxexaxa, 其中1a, 若存在唯一 的整数t, 使得0f t, 则a的取值范围是（） A 3 ,1 2e B 33 , 24e C 33 , 24e D 3 ,1 2e 【答案】 D 【解析】令21 , x g xexh xaxa. 由题意知存在唯一整数t, 使得g t在直线h x的下 方. 21 x gxex, 当 1 2 x时, 函数单调递减 , 当 1 2 x, 函数单调递增, 当 1 2 x时, 函数取得最 小值为 1 2 2e. 当0x时,(0)1g, 当1x时,(1)0ge, 直线h xaxa过定点1,0, 斜率为a, 故0ag且 1 13geaa, 解得 3 ,1 2 m e .