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1、精品文档 。 1欢迎下载 一、相邻问题捆绑法 例 1 6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( ) 种 A. 720 B. 360 C. 240 D. 120 解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余 四人进行全排列有种排法; 甲、乙两人之间有种排法。由分步计数原理可 知，共有=240种不同排法，选 C。 评注：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素 相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。 二、相离问题插空法 例 2 要排一张有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞 蹈节目不得相邻，有多少不
2、同的排法?( 只要求写出式子，不必计算) 解：先将 6 个歌唱节目排好， 其不同的排法为种; 这 6 个歌唱节目的空隙 及两端共 7 个位置中再排 4 个舞蹈节目，有种排法。由分步计数原理可知， 任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种。 评注：从解题过程可以看出， 不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它 元素将它们隔开。 此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素 插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法。 三、定序问题缩倍法 例 3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3 面红旗、 2 面白旗， 把这 5 面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是_(用数字作答 ) 。 解：
3、5 面旗全排列有种挂法，由于 3 面红旗与 2 面白旗的分别全排列均 只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是=10(种) 。 精品文档 。 2欢迎下载 评法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。这类 问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。 四、标号排位问题分步法 例 4 同室 4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送 来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有( )种 A. 6 种 B. 9种 C. 11 种 D. 23种 解：此题可以看成是将数字1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格 里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题
4、。所以先将1 填入 2 至 4 号的 3 个方格里有种填法 ; 第二步把被填入方格的对应数字，填入 其它 3 个方格，又有种填法 ; 第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只 有 1 种填法。故共有 331=9 种填法，而选 B。 评注：把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先 把某个元素按规定排放， 第二步再排另一个元素， 如此继续下去，依次即可完成。 五、有序分配问题逐分法 例 5 有甲、乙、丙三项任务，甲需由2 人承担，乙、丙各需由1 人承担， 从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法共有( ) 种 A. 1260 B. 2025 C. 2520 D.
5、5040 解：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下8 人中选 1 人承担乙项 任务，最后从剩下 7 人中选 1 人承担丙项任务。 根据分步计数原理可知， 不同的 选法共有=2520种，故选 C。 评注：有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，常采用逐步下量分组法 求解。 六、多元问题分类法 例 6 由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字 小于十位数字的共有 ( ) 精品文档 。 3欢迎下载 A. 210 个 B. 300个 C. 464 个 D. 600个 解：按题意个位数只可能是0，1，2，3，4 共 5 种情况，符合题意的分别有 ，个。合并总工
6、有 +=300(个)，故选 B。 评注：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求，分成互不相容的几类情 况分别计算，最后总计。 另解：先排首位，不用0，有种方法 ; 再同时排个位和十位，由于个位数 字小于十位数字，即顺序固定，故有种方法 ; 最后排剩余三个位置，有种 排法。故共有符合要求的六位数=300(个) 。 七、交叉问题集合法 例 7 从 6 名运动员中选出4 名参加 4100 米接力赛，如果甲不跑第一棒， 乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法? 解： 设全集 U=6人中任取 4 人参赛的排列 ， A=甲跑第一棒的排列 ， B=乙 跑第四棒的排列 ，根据求集合元素个数的公式可得参赛方法共
7、有 =252(种) 。 评注： 某些排列组合问题几部分之间有交集， 可用集合中求元素个数的公式： 来求解。 八、定位问题优限法 例 8 计划展出 10 幅不同的画，其中1 幅水彩画、 4 幅油画、 5 幅国画，排 成一行陈列， 要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端， 那么不 同的陈列方式有 ( ) A.B.C.D. 精品文档 。 4欢迎下载 解： 先把 3 种品种的画看成整体， 而水彩画不能放在头尾， 故只能放在中间， 则油画与国画有种放法。再考虑油画之间与国画之间又可以各自全排列。故 总的排列的方法为种，故选 D。 评注：所谓“优限法”，即有限制条件的元素( 或位置 )在解题时
8、优先考虑。 九、多排问题单排法 例 9 两排座位，第一排有 3个座位，第二排有 5 个座位，若 8 名学生入座 (每 人一座位 )，则不同的坐法种数为 ( ) A.B.C.D. 解：此题分两排坐，实质上就是8 个人坐在 8 个座位上，故有种坐法， 所以选 D 。 评注：把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑。 十、至少问题间接法 例 10 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出3 台，其中至少要甲型与乙 型电视机各一台，则不同的取法共有( ) 种 A. 140 B. 80 C. 70 D. 35 解析：在被取出的3 台中，若不含甲型或不含乙型的抽取方法均不合题意， 故符合题意的取法有=7
9、0种，选 C 。 评注：含“至多”或“至少”的排列组合问题，通常用分类法。本题所用的 解法是间接法，即排除法(总体去杂 )，适用于反面情况明确且易于计算的情况。 十一、选排问题先取后排法 例 11 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个 空盒的放法共有 _ 种(用数字作答 ) 。 精品文档 。 5欢迎下载 解：先从四个小球中取两个放在一起，种不同的取法 ; 再把取出的两个小 球与另外两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有种不 同的放法。依据分步计数原理，共有种不同的方法。 评注：这是一道排列组合的混合应用题目，这类问题的一般解法是先取(组 合)后排( 排
10、列) 。本题正确求解的关键是把四个小球中的两个视为一个整体，如 果考虑不周，就会出现重复和遗漏的错误。 十二、部分符合条件淘汰法 例 12 四面体的顶点及各棱中点共有10 个点，在其中取 4 个不共面的点， 不同的取法共有 ( ) A. 150 种 B. 147种 C. 144 种 D. 141种 解：10个点中取 4 个点共有种取法，其中同一侧面内的6 个点中任取 4 个点必共面，这样的面共有4 个; 又同一条棱上的 3 个点与对棱的中点也四点共 面，共有 6 个面; 再各棱中点共 6 个点中，取四点共面的平面有3 个。故符合条 件 4 个点不共面的取法共有=141(种) ，故选 D。 评注：在选取总数中， 只有一部分符合条件， 可从总数中减去不符合条件的 个数，即为所求。 应该指出的是， 上述所介绍的适用不同要求的各种方法并不是绝对的，对于 同一问题有时会有多种方法，这时要认真思考和分析，灵活选取最佳方法。 精品文档 。 6欢迎下载 欢迎您的下载， 资料仅供参考！ 致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书， 学习资料等等 打造全网一站式需求