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1、- 1 - 第 05 节数列的综合应用 【考纲解读】 考点考纲内容五年统计分析预测 与 数 列 有 关 的 综合问题 1. 理解等差数列、 等比数列 的概念，掌握等差数列、等 比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用. 2了解等差数列与一次函 数、等比数列与指数函数的 关系 . 3会用数列的等差关系或 等比关系解决实际问题. 2017 浙江 6,22 ； 2016 浙江文 8; 理 6,20 ； 2015 浙江理 20； 2014 浙江文 19；理 19. 1.高频考向 : 根据数列的递推式 或者通项公式确定基本量，选择 合适的方法求和，进一步证明不 等式 2.低频考向: 数列与函数相结 合
2、. 3.特别关注 : （ 1）灵活选用数列求和公式的 形式，关注应用公式的条件； （ 2）熟悉分组求和法、裂项相 消法及错位相减法； （3) 数列求和与不等式证明、不 等式恒成立相结合求解参数的 范围问题. 【知识清单】 一、等差数列和等比数列比较 等差数列等比数列 定义 1nn aa常数 1n n a a 常数 通项公式 1 (1) n aand)0( 1 1 1 qaqaa n n 判定方法 (1) 定义法； (2) 中项公式法： 21 2 nnn aaanN? n a 为等差数列； (3) 通项公式法： n apnq(,p q 为常数 ,nN) ? n a为等差数 列； (4) 前n项和
3、公式法： 2 n SAnBn(,A B为常数 , nN ) ? n a为等差数列； (5) n a为等比数列，且0 n a， (1) 定义法 (2) 中项公式法： 2 12nnn aaa nN (0 n a) ? n a为等比数 列 (3) 通项公式法： n n acq (, c q均是不 为 0 的常数，nN) ? n a为等比数 列 (4) n a为等差数列 ? n a A ( n a A 总有 意义 ) 为等比数列 - 2 - 那么数列log an a (0a，且 1a) 为等差数列 性质 (1) 若m，n，p，qN ，且 mnpq， 则 mnpq aaaa (2) () nm aanm
4、 d (3) 232 , nnnnn S SS SS，仍成 等差数列 (1) 若m，n，p，qN ，且 mnpq，则 mnpq aaaa (2) mn mn qaa (3) 等比数列依次每n项和 ( 0 n S) ，即 232 , nnnnn S SS SS，仍成等比数列 前n项和 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snad 1q时， 1 naSn；当1q时， q qa S n n 1 )1 ( 1 或 1 1 n n aa q S q . 对点练习： 【2018 年届广西桂林市柳州市高三模拟金卷】已知 n a是等差数列，公差d不为零若 2 a， 3 a， 7 a成等比数列，且
5、 12 21aa，则 n a . 【答案】. 二数列求和 1. 等差数列的前n和的求和公式： 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snad. 2等比数列前n项和公式 一般地，设等比数列 123 , n a a aa的前n项和是 n S 123n aaaa， 当1q时， q qa S n n 1 )1 ( 1 或 1 1 n n aa q S q ；当1q时， 1 naSn（错位相减法）. 3. 数列前n项和 重要公式： （1） 1 n k k123n 2 )1(nn （2） 1 (21) n k k13521n 2 n - 3 - （3） 3 1 n k k 2 333 ) 1(
6、 2 1 21nnn （4） 2 1 n k k)12)(1( 6 1 321 2222 nnnn 等差数列中， m nmn SSSmnd； 等比数列中， nm m nnmmn SSq SSq S. 对点练习： 【2017 届浙江台州中学高三10 月月考】在等差数列 n a中， 1 3a，其前n项和为 n S，等 比数列 n b的各项均为正数， 1 1b，公比为q，且 22 12bS， 2 2 S q b （1）求 n a 与 n b ； （2）证明： 3 2111 21n SSS 【答案】（1）3 n an， 1 3 n n b； （2）详见解析 . 试题解析： （ 1） 设 n a的公差为
7、d， 22 2 2 12bS S q b ， 61 2 6 qd d q q ， 解得3q或4q （舍），3d， 故33(1)3 n ann， 1 3 n n b； （2） (33 ) 2 n nn S， 122 11 () (33 )31 n Snnnn ， 故 12 1112111111121 (1)()()()(1) 322334131 n SSSnnn ， - 4 - 1n， 11 0 12n ， 11 11 21n ， 1212 (1) 3313n ， 即 12 11112 33 n SSS . 【考点深度剖析】 数列求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度
8、中等或 稍难，数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、 函数、最值等问题综合. 【重点难点突破】 考点 1 等差数列和等比数列的综合问题 【1-1 】 【2017杭州调研】已知数列an，bn中， a1 1，bn 1 a 2 n a 2 n1 1 an1，nN *，数列 bn 的前 n 项和为 Sn. (1) 若 an2 n1，求 S n； (2) 是否存在等比数列an，使 bn2Sn对任意 nN * 恒成立？若存在，求出所有满足条件的数 列an 的通项公式；若不存在，请说明理由； (3) 若 an是单调递增数列，求证：Sn2. 【答案】 (1) 3 4 3 2 n2. (2) 满足条件的数列an 存在，且只有两个，一个是an 1，另一个是an( 1) n 1. (3) 证明见解析 . (2) 解满足条件的数列an 存在且只有两个， 其通项公式为an1 和 an( 1) n 1. 证明：在bn2Sn中，令 n1，得 b3b1.