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1、1 7.3 解析几何 (压轴题 ) 命题角度1 曲线与轨迹问题 高考真题体验对方向 1.(2017 全国20)设O为坐标原点 , 动点M在椭圆C:+y 2=1 上, 过 M作x轴的垂线 , 垂足 为N, 点P满足. (1) 求点P的轨迹方程 ; (2) 设点Q在直线x=-3 上, 且=1.证明 : 过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. (1) 解设P(x,y),M(x0,y0), 则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0). 由得x0=x,y0=y. 因为M(x0,y0) 在C上, 所以=1. 因此点P的轨迹方程为x 2+y2= 2. (2) 证明由题意知F(-1,0).设Q(
2、-3,t),P(m,n), 则 =(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t -n). 由=1 得-3m-m 2+tn-n2=1. 又由 (1) 知m 2+n2=2, 故 3+3m-tn=0. 所以=0, 即. 2 又过点P存在唯一直线垂直于OQ, 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 2.(2016 全国20)已知抛物线C:y 2=2x 的焦点为F, 平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C 于A,B两点 , 交C的准线于P,Q两点. (1) 若F在线段AB上,R是PQ的中点 , 证明 :ARFQ; (2) 若PQF的面积是ABF的面积的两倍
3、 , 求AB中点的轨迹方程. (1) 证明由题知F. 设l1:y=a,l2:y=b, 则ab0, 且A,B,P,Q,R. 记过A,B两点的直线为l, 则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0. 由于F在线段AB上, 故 1+ab=0. 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2, 则k1=-b=k2. 所以ARFQ. (2) 解设l与x轴的交点为D(x1,0), 则SABF=|b-a|FD|=|b-a|,SPQF=. 由题设可得|b-a|, 所以x1=0( 舍去 ),x1=1. 设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时 , 由kAB=kDE可得(x1). 而=y,所以y 2=x-
4、 1(x1). 当AB与x轴垂直时 ,E与D重合. 所以所求轨迹方程为y 2=x- 1. 新题演练提能刷高分 1.(2018 山西太原二模 ) 已知以点C(0,1) 为圆心的动圆C与y轴负半轴交于点A, 其弦AB的 中点D恰好落在x轴上. (1) 求点B的轨迹E的方程 ; (2) 过直线y=-1 上一点P作曲线E的两条切线 , 切点分别为M,N.求证 : 直线MN过定点. 3 (1) 解设B(x,y), 则AB的中点D,y0. C(0,1),则, 在C中,DCDB, =0,-+y=0, 即x 2=4y( y0). 点B的轨迹E的方程为x 2=4y( y0). (2) 证明由已知条件可得曲线E的
5、方程为x 2=4y, 设点P(t,-1),M(x1,y1),N(x2,y2). y=,y=, 过点M、N的切线方程分别为y-y1=(x-x1),y-y2=(x-x2). 由 4y1=,4y2=, 上述切线方程可化为2(y+y1)=x1x,2(y+y2)=x2x. 点P在这两条切线上, 2(y1-1)=tx1,2(y2-1)=tx2, 即直线MN的方程为2(y-1)=tx, 故直线 2(y-1)=tx过定点C(0,1). 2.(2018 广西梧州3 月适应性测试 ) 已知A(-2,0),B(2,0),直线PA的斜率为k1, 直线PB的斜 率为k2, 且k1k2=- . (1) 求点P的轨迹C的方程 ; (2) 设F1(-1,0),F2(1,0),连接PF1并延长 , 与轨迹C交于另一点Q, 点R是PF2中点 ,O是坐标 原点 , 记QF1O与PF1R的面积之和为S, 求S的最大值. 解 (1) 设P(x,y),A(-2,0),B(2,0), k1=,k2=, 又k1k2=-,=-, =1(x2),