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1、1 第九节圆锥曲线的综合问题 【考纲解读】 考 点 考纲内容5 年统计分析预测 圆 锥 曲 线 的 综 合 问 题 （ 1）会解决直线与椭 圆、抛物线的位置关系 的问题。 (2) 了解方程与曲线的 对应关系和求曲线方程 的基本方法。 （3）理解数形结合、用 代数方法处理几何问题 的思想。了解圆锥曲线 的简单应用。 2013?浙江文 22；理 21； 2014?浙江文 17,22 ； 2015?浙江文 19；理 19； 2016?浙江文 19；理 19； 2017?浙江 21. 1. 考查直线与椭圆的位置关系； 2. 考查直线与抛物线的位置关 系； 3. 考查直线与圆、圆锥曲线的综 合问题 ,
2、如取值范围、 最值、定值、 定点、存在性问题等. 4. 备考重点： (1)掌握圆、椭圆、双曲线、抛 物线的定义、标准方程、几何性 质； （2） 熟练掌握常见直线与圆锥曲 线综合问题题型的解法； （3）利用数形结合思想，灵活处 理综合问题 . 【知识清单】 1.圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中定值、定点问题的求解方法 圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实 轴，抛物线的焦参数等定值问题的求解与证明类似，在求定值之前， 已经知道定值的结果(题中未告知， 可用特殊值探路求之) ，解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清，定值显现 对点练
3、习： 【 2016 高考新课标1 卷】设圆 22 2150xyx的圆心为 A,直线 l 过点 B（1,0 ）且与 x 轴不重合 ,l 交圆 A于 C,D 两点 , 过 B作 AC的平行线交AD于点 E. （ I ）证明EAEB为定值 , 并写出点E的轨迹方程； （ II ）设点 E的轨迹为曲线C1, 直线 l 交 C1于 M,N两点 , 过 B且与 l 垂直的直线与圆A交于 P,Q 两点 , 求四 边形 MPNQ 面积的取值范围. 2 【答案】（）1 34 22 yx （0y） （II ）)38,12 【解析】 试题解析：（）因为|ACAD,ACEB /, 故ADCACDEBD, 所以|EDE
4、B, 故|ADEDEAEBEA. 又圆A的标准方程为16) 1( 22 yx, 从而4| AD, 所以4|EBEA. 由题设得)0 , 1(A,)0, 1 (B,2| AB, 由椭圆定义可得点E的轨迹方程为： 1 34 22 yx （0y）. （）当l与x轴不垂直时 , 设l的方程为)0)(1(kxky,),( 11 yxM,),( 22 yxN. 由 1 34 ) 1( 22 yx xky 得01248) 34( 2222 kxkxk. 则 34 8 2 2 21 k k xx, 34 124 2 2 21 k k xx. 所以 34 )1(12 |1| 2 2 21 2 k k xxkMN
5、. 过点)0, 1(B且与l垂直的直线m：)1( 1 x k y , A到m的距离为 1 2 2 k , 所以 1 34 4) 1 2 (42| 2 2 2 2 2 k k k PQ. 故四边形MPNQ的面积 34 1 112| 2 1 2 k PQMNS. 可得当l与x轴不垂直时 , 四边形MPNQ面积的取值范围为)38 ,12. 3 当l与x轴垂直时 , 其方程为1x,3|MN,8| PQ, 四边形MPNQ的面积为12. 综上 ,四边形MPNQ面积的取值范围为)38 ,12. 2.圆锥曲线中的最值与范围问题 与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的方法：一是由题目中的限制条件求范围
6、，如直线 与圆锥曲线的位置关系中 的范围， 方程中变量的范围，角度的大小等； 二是将要讨论的几何量如长度、 面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注 意向量、不等式的应用 对点练习： 【 2017 课标 1，理 10】已知 F 为抛物线 C：y 2=4x 的焦点，过 F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线 l1与 C交于 A、 B两点，直线l2与 C交于 D、E两点，则 |AB|+|DE| 的最小值为 A16 B 14 C12 D10 【答案】 A 3.圆锥曲线中的探索性问题 探索性问题的求解方法：先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理
7、或公理相同的结论，说明 结论成立，否则说明结论不成立处理这类问题，一般要先对结论做出肯定的假设，然后由此假设出发， 结合已知条件进行推理论证若推出相符的结论，则存在性随之解决；若推出矛盾，则否定了存在性； 若证明某结论不存在，也可以采用反证法 对点练习： 4 【 2017 课标 II ，理】设 O为坐标原点，动点M在椭圆 C： 2 2 1 2 x y上，过 M作 x 轴的垂线，垂足为N， 点 P满足2NPNM。 (1) 求点 P的轨迹方程； (2) 设点 Q在直线3x上，且1OP PQ。证明：过点P且垂直于OQ的直线 l 过 C的左焦点 F。 【答案】 (1) 22 2xy。 (2) 证明略。 【解析】 （ 2）由题意知1,0F。设3,QtP m n, 则 3,1,33OQtPFmnOQ PFmtn， ,3,OPm nPQm tn。 由1OP PQ得 22 31mmtnn，又由（ 1）知 22 2mn，故 330mtn 。 所以0OQ PF，即 OQPF 。又过点P存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P且垂直于 OQ的直线l过 C的左焦点F。 【考点深度剖析】