沪教版相似三角形专题复习优秀教案.pdf

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1、1 / 13 相似三角形综合复习 一、基础知识 (一).比例 1.第四比例项、比例中项、比例线段； 2.比例性质： （ 1）基本性质：bcad d c b a acb c b b a2 （ 2）合比定理： d dc b ba d c b a （ 3）等比定理：)0.( ndb b a ndb mca n m d c b a 3.黄金分割：如图，若ABPBPA 2 ，则点 P 为线段 AB 的黄金分割点 4平行线分线段成比例定理 (二)相似 1.定义 :我们把具有相同形状的图形称为相似形. 2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等 . 3.相似三角形的判定 （1）平行于三角形一边

2、的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 4.相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等. （2）相似三角形的周长比等于相似比. （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方. （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行

3、于第三边，并且等于它的一半。 6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线. 梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用: 、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； 、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。 (三)位似 : 位 似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位 似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比. 位 似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似

4、比 BA P 2 / 13 二、经典例题 例 1.如图在 44 的正方形方格中，ABC和 DEF的顶点都在长为1 的小正方形顶点 上 （1）填空： ABC=_ ，BC=_ （2）判定 ABC与 DEF是否相似？ 考点透视 本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力. 例 2. 如图所示， D、E两点分别在 ABC两条边上， 且 DE与 BC不平行， 请填上一个你认为适合的条件_， 使得 ADE ABC 例 3. 如图，王华晚上由路灯A下的 B处走到 C处时，测得影子CD? 的长为 1 米，继续往前走2 米到达 E处时， 测得影子EF的长为 2 米，已知王华的身高是1.5 米，那么路灯A的高

5、度等于（） A 4.5 米 B6 米 C7.2 米 D8 米 例 4. 如图， ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高 AD=80mm，?要把它加工成正方形零件，使正方形的 一边在 BC上，其余两个顶点分别在AB 、AC上， ?这个正方形零件的边长是多少？ 例 5. 如图所示，在ABC中， AB=AC=1 ，点 D 、 E在直线 BC上运动，设BD=x ，CE=y （1）如果 BAC=30 ， DAE=105 ，试确定y 与 x 之间的函数关系式； （2）如果 BAC的度数为 ， DAE的度数为 ，当 、满足怎样的关系式时， （1）中 y 与 x?之间的函数关 系式还成立，试说明

6、理由 例 6.一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm3.5cm，放映的荧屏的规格为2m 2m ，若放映 机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？ 三适时训练 3 / 13 （一）选择题 1梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（） （A） mn nm （B） nm mn2 （C） nm mn （D） mn nm 2 2如图，在正三角形ABC 中， D，E 分别在 AC， AB 上，且 AC AD 3 1 ，AEBE，则（） （A） AED BED （B） AED CBD （C） AED

7、ABD （D） BAD BCD 题 2 题 4 题 5 3P 是 RtABC 斜边 BC 上异于 B、C 的一点，过点P 作直线截 ABC，使截得的三角形与ABC 相似，满足这 样条件的直线共有（） （A）1 条（B）2 条（C）3 条（D）4 条 4如图， ABD ACD，图中相似三角形的对数是（） （A）2（ B） 3（C） 4（D）5 5如图， ABCD 是正方形， E 是 CD 的中点， P 是 BC 边上的一点，下列条件中，不能推出ABP 与 ECP 相似 的是（） （ A） APB EPC（B） APE90（ C）P 是 BC 的中点（ D）BPBC23 6如图， ABC 中， A

8、DBC 于 D，且有下列条件： （1） B DAC90； （2） B DAC； （3） AD CD AB AC ； （ 4）AB2BDBC 其中一定能够判定ABC 是直角三角形的共有（） （A）3 个（B） 2 个（C）1 个（D）0 个 题 6 题 7 题 8 7如图，将 ADE 绕正方形ABCD 顶点 A 顺时针旋转90，得 ABF，连结 EF 交 AB 于 H，则下列结论中错 误的是（） （A）AEAF（B）EFAF21（C）AF2FH FE（D）FBFCHBEC 8如图，在矩形ABCD 中，点 E 是 AD 上任意一点，则有（） （A） ABE 的周长 CDE 的周长 BCE 的周长

9、（B） ABE 的面积 CDE 的面积 BCE 的面积 （C） ABE DEC（D） ABE EBC 9如图，在ABCD 中， E 为 AD 上一点， DECE23，连结 AE、BE、BD，且 AE、BD 交于点 F，则 SDEF SEBFSABF等于（） （A）41025（B）4 925（C）235（D）2 525 4 / 13 题 9 题 10 题 11 10如图，直线ab，AFFB35，BCCD31，则 AEEC 为（） （A）512（B）95（C）125（D）32 11如图，在 ABC 中， M 是 AC 边中点， E 是 AB 上一点，且AE 4 1 AB，连结 EM 并延长，交BC

10、 的延长线于 D，此时 BCCD 为（） （A）21（B）32（C）31（D）52 12如图，矩形纸片ABCD 的长 AD9 cm，宽 AB 3 cm，将其折叠，使点D 与点 B 重合，那么折叠后DE 的长 和折痕 EF 的长分别为（） （ A） 4 cm、10cm（B）5 cm、10cm（C）4 cm、23cm（D）5 cm、23cm 题 12 （二）填空题 13已知线段a6 cm，b2 cm，则 a、b、ab 的第四比例项是_cm，ab 与 ab 的比例中项是 _cm 14若 c ba a cb b ca m2，则 m_ 15如图，在 ABC 中， ABAC27， D 在 AC 上，且 B

11、DBC18，DEBC 交 AB 于 E，则 DE_ 16如图，ABCD 中， E 是 AB 中点， F 在 AD 上，且 AF 2 1 FD ，EF 交 AC 于 G，则 AGAC_ 题 16 题 17 题 18 17如图， ABCD，图中共有 _对相似三角形 18如图，已知ABC，P 是 AB 上一点，连结CP，要使 ACP ABC，只需添加条件_（只要写出一种 合适的条件） 19如图， AD 是 ABC 的角平分线， DEAC，EFBC，AB 15，AF4，则 DE 的长等于 _ 5 / 13 题 19 题 20 题 21 20如图， ABC 中， AB AC，ADBC 于 D，AEEC，

12、AD18，BE15，则 ABC 的面积是 _ 21如图，直角梯形ABCD 中， ADBC，ACAB，AD8，BC10，则梯形ABCD 面积是 _ 22如图，已知ADEFBC，且 AE 2EB，AD8 cm，AD8 cm，BC14 cm， 则 S梯形AEFDS梯形BCFE_ ( 三) 解答题 23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形请你在图示的10 10 的方 格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母） 24.如图， ABC 中， CDAB 于 D，E 为 BC 中点，延长AC、DE 相交于点F， 求证

13、BC AC DF AF 25.如图，在 ABC 中， AB AC，延长 BC 至 D，使得 CDBC，CEBD 交 AD 于 E，连结 BE 交 AC 于 F，求 证 AFFC 6 / 13 26.已知：如图， F 是四边形 ABCD 对角线 AC 上一点， EFBC，FG AD 求证： AB AE CD CG 1 27.如图， BD、CE 分别是 ABC 的两边上的高，过D 作 DGBC 于 G，分别交CE 及 BA 的延长线于F、H， 求证： （1）DG 2BGCG； （2）BGCGGFGH 28.如图， ABC CDB90， ACa，BC b （1）当 BD 与 a、b 之间满足怎样的关

14、系时，ABC CDB？ （2）过 A 作 BD 的垂线，与DB 的延长线交于点E，若 ABC CDB 求证四边形AEDC 为矩形（自己完成图形） 29.如图，在矩形ABCD 中， E 为 AD 的中点， EFEC 交 AB 于 F，连结 FC （ABAE） （1） AEF 与 EFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由； 7 / 13 （2）设 BC AB k，是否存在这样的k 值，使得 AEF BFC，若存在，证明你的结论并求出k 的值； 若不存在，说明理由 30.如图，在RtABC 中， C90， BC6 cm，CA8 cm，动点 P 从点 C 出发，以每秒2 cm 的

15、速度沿 CA、AB 运动到点B，则从 C 点出发多少秒时，可使SBCP 4 1 SABC？ 31. 如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m? 长且平行于公路的巨型广告牌（DE ） 广告牌挡 住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC 一辆以60km/h 匀速行驶的汽车 经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m ，求小华家到公路的距离（精确到1m ） 32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题： 如图所示，梯形ABCD 中， AD BC ，对角线AC 、BD相交于 O ，试问： AOB和 DOC 是否相似？ 某学生对

16、上题作如下解答： 答： AOB DOC 理由如下： 在 AOB和 DOC 中， AD BC ， AODO OCOB ， AOB= DOC ， AOB DOC 请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由 33.如图：四边形ABCD中， A=BCD=90 ，过C 作对角线BD 的垂线交BD 、AD 于点 E、F，求证： DADFCD 2 ；如图：若过BD上另一点 E 作 BD的垂线交 BA 、BC延长线于 F、G ，又有什么结论呢？ 你会证明吗？ 8 / 13 A B C D F E A B C DF E G 34.阳光通过窗口照射到室内,在地面上

17、留下2.7m 宽的亮区 (如图所示 ),已知亮区到窗口下的墙脚距离 EC=8.7m,窗口高 AB=1.8m, 求窗口底边离地面的高BC. 35. （1）如图一，等边 ABC 中，D 是 AB 上的动点，以CD 为一边，向上作等边EDC，连结 AE。求证： AE/BC ； （2）如图二，将 (1)中等边 ABC 的形状改成以BC 为底边的等腰三角形。所作EDC 改成相似于 ABC 。 请问：是否仍有AE/BC ？证明你的结论。 36. 如图，从 O外一点 A作 O的切线 AB、AC ，切点分别为B、C，且 O直经 BD=6 ，连结 CD 、AO 。 （1）求 证： CD AO ； （2）设 CD

18、=x ，AO=y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）若 AO+CD=11 ，求 AB 的长。 37.已知：如图，在正方形ABCD 中，AD = 1 ，P、Q 分别为 AD、BC 上两点， 且 AP=CQ，连结 AQ、BP 交于点 E，EF 平行 BC 交 PQ 于 F，AP、BQ 分别为方程0 2 nmxx的两根 . （1）求m的值（ 2）试用 AP、BQ 表示 EF 9 / 13 （3）若 SPQE = 8 1 ，求 n 的值 38. 如图，在平面直角坐标系中，已知 OA=12cm ，OB=6cm ，点 P从 O点开始沿 OA边向点 A 以 1cm/s 的

19、速度移 动：点 Q从点 B开始沿 BO边向点 O以 1cm/s 的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(s) 表示移动的 时间（06t） ，那么： （1）设 POQ 的面积为y，求y关于t的函数解析式。 （2）当 POQ 的面积最大时， POQ沿直线 PQ翻折 后得到 PCQ ，试判断点C是否落在直线AB上， 并说明理由。 （3）当t为何值时，POQ 与 AOB相似？ 39.如图，矩形PQMN 内接于 ABC，矩形周长为24，ADBC 交 PN 于 E，且 BC10，AE16，求 ABC 的 面积 40.已知：如图，ABC 中， ABAC，AD 是中线， P 是 AD 上一点，过C 作 CFAB

20、，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF 于 F求证： BP 2PE PF 41.在 RtABC中， C=90 ， BC=9， CA=12，ABC的平分线BD交AC于点D， DEDB交AB于点E，O是BDE的外接圆，交BC于点 F （ 1）求证 :AC是O的切线 ; O P A X Y B Q A C E O B F D （第 41 题） 10 / 13 （ 2）联结EF ，求 EF AC 的值. 42.请阅读下列材料： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等即如右图1, 若弦 AB 、CD交于点 P则 PA PB=PC PD 请 你根据以上材料，解决下列问题. 已知 O 的半径为2

21、，P 是 O 内一点，且OP=1，过点 P 任作一弦AC，过 A、C 两点分别作O 的切线 m 和 n， 作 PQm 于点 Q，PRn 于点 R.（如图 2） (1) 若 AC恰经过圆心O, 请你在图3 中画出符合题意的图形，并计算： PRPQ 11 的值； (2)若 OPAC, 请你在图4 中画出符合题意的图形，并计算： PRPQ 11 的值； (3)若 AC 是过点 P 的任一弦（图2） , 请你结合 (1)(2)的结论 , 猜想： PRPQ 11 的值，并给出证明 43. 已知90AOB，OM是AOB的平分线将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不 与点O重合 . （ 1）如

22、图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明 你的结论； P O （图 3） P O （图 4） R Q n m C A P O （图 2） P O A B D C （图 1） 11 / 13 （ 2）如图，在（ 1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且 3 2 PGPD，求 GD OD 的值； （ 3）若直角RPS的一边与射线OB交于点 D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、 E为顶点的三角形与 OCD相似，请画出示意图；当1OD时，直接写出OP的长 . R B P C A D O G S M 44. 图 1 是边长分别

23、为4 3 和 3 的两个等边三角形纸片ABC和C D E叠放在一起（C与C重合） （ 1）固定ABC，将C D E绕点C顺时针旋转30得到CDE，连结ADBE、（如图 2） 此时线段 BE与 AD有怎样的数量关系？并证明你的结论； （ 2）设图 2 中CE的延长线交AB于F，并将图2 中的CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒1 个单位的速 度平移，平移后的CDE设为QRP（如图 3） 设QRP移动（点PQ、在线段CF上）的时间为x 秒，若 QRP与AFC重叠部 分的面积为y，求y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围； （ 3）若固定图1 中的C D E，将ABC沿C E方向

24、平移，使顶点C 落在C E的中点处，再以点C为中心 顺时针旋转一定角度，设3090ACC， 边BC交D E于点 M， 边AC交D C于点 N （如图 4） 此 时线段C N E M的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出C N E M的值；如果有变化，请你说 明理由 图 1 图 2 图 3 图 4 45. 如图：AB是 O 的直径，AD是弦，22.5DAB ，延长 AB到点C， 使得 2ACDDAB (1)求证：CD是 O 的切线； (2)若2 2AB，求BC的长 B A M F B P CC C A N (C) D E E B A D C (C) Q B A R C E D 12 /

25、13 O E D C B A 46.已知：如图， AB 为 O 的直径， AD 为弦， DBC =A. （ 1）求证：BC 是 O 的切线； （ 2）若 OCAD ，OC 交 BD 于 E，BD=6， CE=4，求 AD 的长 . 47. 在 ABC 中，点 D 在 AC 上，点 E 在 BC 上，且 DEAB ，将 CDE 绕点 C 按顺时针方向旋转得到EDC （使EBC180 ） ，连接DA、 EB ，设直线 EB 与 AC 交于点 O. （ 1）如图，当AC=BC 时，DA :EB的值为； （ 2）如图，当AC=5 ，BC=4 时，求DA :EB的值； （ 3）在（ 2）的条件下，若AC

26、B=60 ，且 E为 BC 的中点，求 OAB 面积的最小值 . 图图 48.如图，在直角梯形ABCD 中， AD/BC,DCBC,AB=10,AD=6,DC=8,BC=12,点 E 在下底边 BC 上，点 F 在 AB 上 （）若EF 平分直角梯形ABCD 的周长，设BE 的长为x，试用含x的代数式表示BEF 的面积； （）是否存在线段EF 将直角梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请 O D EBC A DE O E DEBC A D 13 / 13 y xQ P O B A 说明理由 （）若线段EF 将直角梯形ABCD 的周长分为：两部分，将BEF的面

27、积 记为 1 S,五边形 AFECD 的面积记为 2 S,且 12 :,SSk求出k的最大值 49在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 边上一点，连结BE，且 BE2AE， BD 是 EBC 的平分线点P 从点 E 出发 沿射线 ED 运动，过点P 作 PQBD 交直线 BE 于点 Q （ 1）当点 P 在线段 ED 上时（如图） ，求证： 3 3 BEPDPQ+ ； （ 2）当点 P 在线段 ED 的延长线上时（如图） ，请你猜想 3 3 BEPDPQ、 三者之间的数量关系（直接写出 结果，不需说明理由） ； （ 3） 当点 P 运动到线段ED 的中点时（如图）， 连结 QC， 过点 P

28、作 PFQC， 垂足为 F， PF 交 BD 于点 G 若 BC12，求线段PG 的长 图图 图 3 2 1 A B C D E Q P G P Q ED C B AP Q E D C B A F 50如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（ 4，0） ，点 B（0， 3） ，点 P 从点 B 出发沿 BA 方向向点A 匀速 运动，速度为每秒1 个单位长度，点Q 从点 A 出发沿 AO 方向向点 O 匀速运动，速度为每秒2 个单位长度， 连结PQ若设运动的时间为t秒 （ 0t2） （1）求直线AB 的解析式； （2）设 AQP 的面积为y，求y与t之间的函数关系式； （3） 是否存在某一时刻 t， 使线段 PQ 恰好把 AOB 的周长和面积同时平分？ 若存在，请求出 此时t的值；若不存在，请说明理由； （4）连结 PO，并把 PQO 沿 QO 翻折，得到四边形PQP O，那么是否 存在某一时刻t，使四边形PQP O为菱形？若存在，请求出此时点 Q 的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由 C B AD F E