《热点问题3不等式(含多元变量)(教师版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《热点问题3不等式(含多元变量)(教师版).pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、苏州市高三数学二轮复习资料 热点问题 - 1 - 热点问题 3 基本不等式 ( 含多元变量 ) 一、填空题 1已知 2 ( )log (2)f xx，若实数,m n满足()(2 )3f mfn，则mn的最小值为 _ 【解析 】由()(2 )3f mfn可得 22log (2)log (22)3mn， 则 ( 2)(1)4mn，其中（2,1mn） ， 由基本不等式)1)(2(nm 2 12nm , 即nm7, 当且仅当4,3mn时，取“ =” 所以mn的最小值为7 2设实数,x y满足 2 210xxy，则 22 xy的最小值是 _ 【解析 】因为 2 210xxy，则) 1 ( 2 1 2 1
2、 2 x xx x y ， 所以 2 1 4 1 4 5 ) 1 ( 4 1 2 2 2222 x x x x xyx 2 15 ， 当且仅当 5 5 2 x时，取“ =” 所以 22 xy的最小值为 2 15 3已知yx,为正实数且满足yx1, 则 1 11 yx 的最小值为 _ 【解析 】因为 4 5 14 1 ) 1)( 1 1 4 1 ( y x x y yx yx 4 7 , 所以 1 1 4 1 yx )14 7 yx（ 8 7 )11(4 7 , 当且仅当 3 1 , 3 2 yx时，取“ =” 所以 1 11 yx 的最小值为 8 7 4若不等式xyx2 2 )( 22 yxa
3、对于一切正数x，y 恒成立，则实数a 的最小值为 _ 苏州市高三数学二轮复习资料 热点问题 - 2 - 【解析 】因为xyx2 2 )( 22 yxa可得a 1)( 21 2 2 22 2 x y x y yx xyx ）（ 令t x y ，则a 1 12 2 t t （0t） ，令ut12， 则 2 5 4 1) 2 1 ( 1 12 2 2 u u u u t t 2 15 252 4 , 当且仅当5u时，即 2 15 t时，取“ =” 所以 22 2 2 yx xyx 的最大值为 2 15 ，即a 2 15 5 设mR，过定点A的动直线0xmy和过定点B 的动直线30mxym交于点( ,
4、 )P x y ， 则PBPA最大值是 _ 【解析 】 由题意：(0,0),(1,3)AB，又两直线互相垂直，所以点P的轨迹是以AB为直径的圆， 则10 22 PBPA，所以 PBPA 5 2 22 PBPA , 当且仅当5PBPA时，取“ =” 所以PBPA的最大值是5 6 国际上钻石的重量计量单位为克拉已知某种钻石的价值V 美元与其重量克拉的平方成正比， 若 把 一 颗 钻 石 切 割 成 重 量 分 别 为m， n(mn) 的 两 颗 钻 石 ， 且 价 值 损 失 的 百 分 率 为 原有价值现有价值 原有价值 100%(切割中重量损耗不计)，则价值损失的百分率的最大值为_ 【解析 】
5、因为 V 与 的平方成正比，所以设Vk 2， 则原有价值V0k(mn) 2，现有价值 VV1V2km 2kn2， 所以价值损失的百分率 V0V V0 k mn 2 km2kn2 k mn 2100%， 而 k mn 2km2kn2 k mn 2 2mn mn 2 2mn 4mn 1 2，当且仅当 mn 时取等号 故价值损失的百分率的最大值为50% 苏州市高三数学二轮复习资料 热点问题 - 3 - 7已知0, 0 yx，且满足 yx yx xy 4 ，则yx4的最小值为 _ 【解析 】 由 yx yx xy 4 可得 yxxy yx yx 11 4, 所以 y x x y yx yxyx 4 5
6、) 11 )(4(4 2 ）（9, 当且仅当 2 1 , 1 yx时，取“ =” 所以yx4的最小值为3 8已知cba,为正实数且满足cba, 则 ba c c b 的最小值为 _ 【解析 】由cba可得 ba c c b 12 1 c b c b bcb c c b ， 令 b t c ，则0t，210t， 则 ba c c b 2 1 12 1 )12( 2 1 12 1 t t t t 2 1 2， 当且仅当 2 12 t时 , 取“ =” 所以 ba c c b 的最小值为 2 1 2 二、解答题 9已知0, 0 yx且满足8yxxy，求 x y 的最小值 变式 1已知0, 0 yx且
7、满足8yxxy，求 x y 的取值范围 变式 2已知yx, 03 且满足8yxxy，求 x y 的最小值 【解析 】法 1：因为8yxxy，则 1 8 x x y， 由0,0 yx可得80x， 所以2 1 9 1 1 8 x x x x xyx4， 当且仅当2x时，等号成立 法 2：由8yxxy可得)(8yxxy 2 ) 2 ( yx ， 解得yx 4 或者yx4， 苏州市高三数学二轮复习资料 热点问题 - 4 - 又由0,0 yx可得yx4 变式 1因为8yxxy，则 1 8 x x y， 由0,0 yx可得1x，即01x， 所以2 ) 1( 9 ) 1(2 1 9 1 1 8 x x x
8、x x x xyx- 8， 当且仅当4x时，等号成立 变式 2因为8yxxy，则 1 8 x x y， 由yx,03 可得x0 4 5 ， 所以2 1 9 1 1 8 x x x x xyx在 4 5 0，x上单调递减， 所以yx 4 17 10已知函数22cos)(xxf，是否存在正整数m，使得)0() 2 ()(f x mfxf对任意的 2 ,0x恒成立 ? 若存在，求出m的值，若不存在，说明理由 【解析 】由)0() 2 ()(f x mfxf可得1)2cos(2cos2xmx， 即 x x x x m cos2 cos22 cos2 2cos1 2 对任意的 2 , 0x恒成立， 令2
9、, 1cos2tx， 则) 6 2(8 )2(22 cos2 cos22 22 t t t t x x 348, 当且仅3t时，等号成立， 所以 x x cos2 cos22 2 的最小值为348， 所以348m， 苏州市高三数学二轮复习资料 热点问题 - 5 - 所以存在正整数1m，使得)0() 2 ()(f x mfxf对任意的 2 ,0x恒成立 11有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上 的车距dm 与车速vkm/h 和车长lm 的关系满足 2 2l lkvd(k为正的常数 ) 假定车身长为 4 m，当车速为60 km/h 时，车距为2.66 个
10、车身长 （1）写出车距d m 关于车速v km/h 的函数关系式； （2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？ 【解析 】（ 1） 由题意，当v60 时， d2.66l， 所以 k 2.66l 1 2l 60 2l 2.16 60 20.0006， 所以 d0.0024v22 （ 2）设每小时通过的车辆数为Q，则 Q 1000v d 4 ， 即 Q 1000v 0.0024v 2 6 1000 0.0024v 6 v ， 因为 0.0024v 6 v2 0.0024v 6 v024， 所以 Q 1000 0.24 12500 3 ，当且仅当0.0024v 6 v，即 v50 时
11、， Q 取最大值 12500 3 ， 故当车速为50 km/h 时，大桥上每小时通过的车辆最多 12 已知数列 n a的前n项和为 n S，22 nn Sa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 log nn ba， n c 1 1 nn b b ，记数列 n c的前n项和 n T若对nN， n T)4(nk 恒成立，求实数k的取值范围 【解析 】（ 1）当1n时， 1 2a， 当n2 时， 11 22(22) nnnnn aSSaa， 即 1 2 n n a a ， 所以数列 n a为以 2 为首项， 2 为公比的等比数列， 苏州市高三数学二轮复习资料 热点问题 - 6 - 所以nan2 （ 2）由 2 log nn ba得 n bn，则 n c 1 1 nn b b 1 1n n 1 n 1 1n ， Tn1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 1n 1 1 1n 1 n n ， 因为 1 n n k(n4)，即 k 5 4 1 )4)(1( n n nn n ， 所以5 4 n n9，当且仅当n2 时, 取“ =” 即 5 4 1 n n 1 9 ， 因此 k 1 9 ，故实数 k 的取值范围为 1 , 9