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1、数学解题方法讨论 -求轨迹方程的方法 内容提要：求轨迹方程是每年高考的必考内容且分值较高、难度较大，所以能否正确 求轨迹方程对高考的成败至关重要。本篇论文归纳了六种常用的求轨迹方程的方法。曲线 形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方程；直接将动 点满足的几何等量关系“翻译”成动点x ,y ，得方程，即为所求动点的轨迹方程，用直译 法求解；若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的 轨迹方程，用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求之； 当所求轨迹上的动点P随着曲线 f(x,y)=0而变动时，且 Q的坐标可且动点
2、P的坐标 (x0， y0) 代入动点 Q的曲线方程即得曲线P的轨迹方程，这就是所谓的轨迹代入法， 即相关点法； 若动点坐标满足的等量关系不易直接找到，可选取与动点坐标有密切关系的量（如角、斜 率 k、比值等）作参数t ，根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数t 即得动 点的轨迹方程，这种求轨迹的方程的方法叫参数法；如果动点是某两条动曲线的交点，则 可联立两动曲线方程，消去方程中的有关参数，即为所求动点的轨迹方程，“交轨法”实 际上也属于参数法，但它不拘于求出动点的坐标后再消参。 曲线与方程包括求曲线的方程和由方程研究曲线的性质两个方面的内容，每年必考。 求曲线方程的一般思路是：在平面直
3、角分会坐标系中找出动点P（x,y ）的纵坐标y 和横坐标x 之 间的关系式,0fx y，即为曲线方程，其核心步骤是建系、设点、列式、代入、化简、检验。检验 即为由曲线上的点所具备的条件确定x,y 的范围。、交轨法等求之。 求曲线方程有两类基本题型: 其一是曲线形状明确且便于使用标准形式，此时用待定系数法求方程； 另一类是曲线形状不明确，或不便用标准形式表示，这时常用直译法、定义法、思恋法、参数法 由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式求解，这时要加强等价转化思想的训 练。求轨迹在求出轨迹方程后必须说明轨迹的形状。 一、用待定系数法求轨迹方程 曲线形状明确且便于使用标准形式的圆锥
4、曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方程。 例 1已知椭圆 22 51470xy和直线:90lxy，在直线 l 上任取一点P，过 P且以已 知椭圆的焦点为焦点作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆的方程。 解已知椭圆的焦点 12 3,0F 3 0F和，从而设所求椭圆的方程为 22 22 1 9 xy aa 。若过 l 上的 P点，且椭圆长轴最短，由平面几何知识与椭圆相切。把直线方程代入椭圆方程，利用判别式 等于 0，得 2 45a，从而椭圆方程为 22 1 4536 xy . 例 2 已知双曲线C的两个焦点为 12 ,F F，实半轴长与虚半轴长的乘积为3， 直线 L 过点 2 F， 与线段 12
5、 F F夹角为,且 tan= 21 2 ，与线段 12 F F垂直平分的交点为P，线段 2 PF与双曲线的交 点为 Q，且 2 2PQQF，求双曲线方程。 解取 12 F F所在直线为x 轴， 12 F F的中垂线为Y 轴建立直角坐标系，设双曲线方程为 22 22 1 xy ab ，设 12 ,0 ,0FcFc, 由题意直线L 的方程为 21 2 yxc， 令0x， 得点 P的坐标为 21 0, 2 ， 又 2 2P QQ F， 由定比分点坐标公式可得点Q坐标 221 , 36 c c . 因为点 Q在双曲线上，所以 22 22 421 1 936 cc ab ， 又 222 cab, 由、消
6、去c，化简整理得 42 1641210 bb aa 解得3 b a 又由已知有3ab 由、得a=1,b=, 则所求双曲线方程为 2 2 1 3 y x。 又由对称性知，双曲线 2 2 1 3 x y也适合。 故所求双曲线方程为 2 2 1 3 y x或 2 2 1 3 x y 二、 用直译法求轨迹方程 直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x ,y ，得方程，即为所求动点的轨迹方程， 用直译法求解，列式容易，但在对等式等价变形与化简过程中应特别留心是否需要讨论。 例 3 已知直角任何坐标平面上的点Q(2,0) 和圆 O:x 2+y2=1， 动点 M到圆 O的切线长与 MQ的 比等于常数(0
7、) 。求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 解 设直线 MN切圆于点N ，则动点M组成的集合是P=M MN =MQ. 设 M(x,y) ，从而 2 222 12xyxy，即 22222 14140xyx 经检验， 坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求，当=1 时，它表示一条直线， 当 1 时，它表示一个圆。 例 4求与 y 轴相切，并且和圆 22 40xyx外切的圆的圆心的轨迹方程. 解由 22 40xyx, 有 2 22 22xy. 设动圆的圆心P（x,Y ）, 由题意记A（2， 0） ，则2PAx, 即 2 2 22xyx, 化 简得 2 44yxx, 当0x时， 2
8、8 ;yx当 x0 时,y=0. 综上，所求圆心的轨迹方程为 2 8yx(x0)或 y=0(x0) 三、用定义法求轨迹方程 若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，用 定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求之。 例 5 如图所示，直线 1 l和 2 l相交于 M ， 12 ll, 点 1 Nl，以 A、B为端点的曲线C上的任一点 到 2 l的距离与到点N的距离相等，若AMN 为锐角三角形，17AM,3AN, 且6AB，建 立适当的坐标系，求曲线段C的方程。 2 l B A M N 1 l 解如图所示，建立坐标系，以 1 l和 2
9、 l为轴，线段MN的垂直平分线为y 轴，点 O为坐标原点建立直角坐标系。 依题意知：曲线段C是以点 N 为焦点，以 2 l为准线的抛物线的一段，其中A、B 分别为 C的端点，设曲线段C的方程为y 2=2px(p0,x AxxB,y0) 其中P= MN ,M(- 2 P ,0),N( 2 P ，0),由17AM,3AN得 22 217,29 22 AAAA pp xpxxpx， 联立解得1,42.2 AA xpxP或 AMN 是锐角三角形， 2 A P x, 舍去2,2 A xP1,4 A xP 又点 B在双曲线段上C上，所以4 2 B P xBN，因此所求的曲线段C 的方程为y 2=8x(1
10、x 4,y0) 例 6 已知圆 C 2 2 125xy内一点 A（1，0） ，Q点为圆 C上任意一点，线段CQ连线交于 点 M ，求点 M的轨迹方程。 解连结 AM ，点 M在线段 AQ的垂直平分线上, 则 AM=MQ, 5 5 CMMQ CMMA 故点 M(x,y) 到点 C （ -1 ，0）和点 A（1， 0）的距离之和是常数5，且 52，所以点P的轨迹是一个 以 A、C为焦点的椭圆， 2a=5, 2c=2, 222 21 4 bac, 点 M的轨迹方程为 22 1 2521 44 xy . 四、用代入法求轨迹方程 当所求轨迹上的动点P随着曲线 f(x,y)=0而变动时，且Q的坐标可且动点
11、P的坐标 (x0，y0) 代入 动点 Q的曲线方程即得曲线P的轨迹方程，这就是所谓的轨迹代入法，即相关点法。 例 7 抛物线 x 2=4x 的焦点为 F，过点 M(0,-1) 作直线l交抛物线于不同两点A、 B，以 AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，求顶点R的轨迹方程。 解设R(x,y)，平行四边 形FARB的对角线的点为P(x0,y0) ， F(0,1) 由中点坐标公式得 00 1 , 22 xy xy, 设 A(x1,y1) ，B(x2,y2)则 x1x2, 且 x1 2=4y 1,x2 2=4y 2， ，相减得x1 2-x 2 2=4(y 1-y2), 从而 0 2 AB x
12、k，又 A、P、B、 M四点共线，且 0 0 1 PM y k x ，由 KAB=KPM得 x0 2=2(y 0+1) 把 00 1 , 22 xy xy代入并整理得x 2=4y+12 注：动点是直线被方程圆锥曲线截得的弦中点，只要通过代点作差并以弦的斜率作为过渡，即可 获得动点的轨迹方程，这事实上就是中点弦问题的处理方法。 五、用参数法求轨迹方程 若动点坐标满足的等量关系不易直接找到，可选取与动点坐标有密切关系的量（如角、斜率k、比 值等）作参数t ，根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数t 即得动点的轨迹方程，这种 求轨迹的方程的方法叫参数法。 例 9 给出定点A(a,0)(a0)
13、 和直线l:x=-1,B是直线l上的动点 , BOA的平分线交AB于点 C， 求点 C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 的关系 解设 B(-1,t)，C(x,y) ，则 2 1OBt，点 C分 BA所成的比为 22 1111 ,. BCOB txyt CAOAaaxya 消去 t 并整理得点C的轨迹方程为 (1-a)x 2-2ax+(1+a)y2=0(0 xa) 当 a=1 时，轨迹方程为y 2=x(0 xa) ，它表示抛物线段； 当 a1时，轨迹方程可化为 2 2 22 2 1 1 1 1 a x ya a a a a (0 xa). 故当 a1 时，方程表示双曲线一支上的弧段，当0
14、a1 时，表示方程椭圆弧段。 例 10 已知点 P在直线 x=2 上移动，直线l通过原点且和OP垂直，通过点 A（ 1，0）及点 P的直线 m和直线l相交于 Q ，求点 Q的轨迹方程。 Y 解如右图所示，设OP所在直线的斜率为k，则点 P的坐标为（ 2，2k）. P 由lOP，得直线的方程为x+ky=0. l 易得直线m的方程为 y=2k(x-1). 因为点 Q （x,y ）是直线l和直线 m的交点， O A 2 X 所以由联立，消去k，得点 Q的轨迹方程为2x2+y2-2x=0(x 1). Q 六、用交轨法求轨迹方程m 如果动点是某两条动曲线的交点，则可联立两动曲线方程，消去方程中的有关参数
15、，即为所求动点 的轨迹方程。 “交轨法”实际上也属于参数法，但它不拘于求出动点的坐标后再消参。 例 11 设点 A和 B 为抛物线 2 4(0)ypx p上原点以外的两个动点，已知OA OB 、OM AB ， 求点 M的轨迹，并说明它表示什么曲线。 解设 M(x,y) ，直线AB 方程为y=kx+b，把它代入y 2=4px，消去 x 得 ky 2-4py+4pb=0 ，从而 12 4pb y y k ，因此 2 122 b x x k . 由 OA OB得 x1x2+y1y2=0，即 b=-4kp ，所以 y=kx+b=k(x-4p), 又 OM AB,故 x k y . 消去 k 得点 M的
16、轨迹方程x 2+y2-4px=0(x 0). 例 12 已知点 O、点 B为二定点，1OB, 点 P是线段 OB上一点，分别以OP 、OB为斜边在线段 OB的同一侧作等腰三角形OCP 和 ODB 。设 PD 、BC相交于点Q ，当 P在线段 OB上移动时求点Q的轨迹 方程。 解以 OB所在的直线为x 轴，O为坐标原点建立如右图所示的直角坐标系，设点 P(t,0)(0t 1), 则 C, 2 2 tt , 又 D 1 1 2, 2 , BC 的方程为(1) 2 t yx t , PD的方程为 1 () 12 yxt t 由得 3 2(1),2(1) tt xy tt , 由以上两式消去t ，得 x-3y= 0, 当0t时，0x；当1t时 , 3 4 x则 0x 3 4 故点 Q的轨迹方程为x-3y=0(0 x 3 4 ), 同理当 ODB位于x 轴下方时，点Q 的轨迹方程为 x+3y=0(0 x 3 4 ) D y C Q O P B x