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1、直线与圆的综合问题 考点一与圆有关的最值问题 考法 (一)斜率型最值问题 典例 已知实数x，y 满足方程x 2y24x10，求y x的最大值和最小值 解原方程可化为(x 2) 2y23， 表示以 (2,0)为圆心，3为半径的圆 y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设 y xk，即 ykx. 当直线 ykx 与圆相切时 (如图 )，斜率 k 取得最大值或最小值， 此时 |2k0| k 21 3， 解得 k 3. 所以 y x的最大值为 3，最小值为3. 解题技法 形如 yb xa型的最值问题，可转化过定点 (a，b)的动直线斜率的最值问题求解如本 题y x y0 x0表示过坐标原点
2、的直线的斜率 考法 (二)截距型最值问题 典例 已知实数x，y 满足方程x 2y24x10，求 yx 的最大值和最小值 解yx 可看作是直线yxb 在 y 轴上的截距，如图所示， 当直线yxb 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时 |20b| 2 3，解得b 2 6.所以 yx 的最大值为26，最 小值为 26. 解题技法 形如 axby 型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解如本题可令b yx，即 y xb，从而将 yx 的最值转化为求直线yxb 的截距的最值问题另外，此 类 问 题 也 常 用 三 角 代 换 求 解 由 于 圆 的 方 程 可 整 理 为 (x 2)2
3、y2 3， 故 可 令 x 23cos ， y3sin ， 即 x3cos 2， y3sin ， 从而 yx3sin 3cos 26sin 4 2，进而求出y x 的最大值和最小值 考法 (三)距离型最值问题 典例 已知实数x，y 满足方程x 2y24x10，求 x2y2 的最大值和最小值 解如图所示， x 2y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平 面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最 小值 又圆心到原点的距离为 2 0 2 0022， 所以 x2y2的最大值是 (23)2743， x 2 y2 的最小值是 (23) 27 4 3. 解题技法 形如 (xa)2(yb
4、)2型的最值问题， 可转化为动点(x，y)与定点 (a，b)的距离的平方 求最值如本题中x2y2(x0)2(y0)2，从而转化为动点(x，y)与坐标原点的距离的平 方 题组训练 1已知圆C：(x2) 2y21，P(x，y)为圆上任意一点，则 y2 x1的最大值为 _ 解析： 设 y2 x1k，即 kxy k20， 圆心 C(2,0)，r1. 当直线与圆相切时，k 有最值， |2k0k2| k 21 1，解得 k3 3 4 . y2 x1的最大值为 33 4 . 答案： 33 4 2设点 P(x， y)是圆： x 2(y3)21 上的动点，定点 A(2,0)，B(2,0)，则 PA PB 的 最
5、大值为 _ 解析： 由题意， 知 PA (2x，y)， PB (2 x，y)，所以 P A PBx2y24， 由于点 P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2(y3) 21，故 x2 (y3)21，所以 P A PB (y3)2 1y246y12.易知 2y4，所以，当 y4 时， PA PB的值最 大，最大值为641212. 答案： 12 考点二直线与圆的综合问题 典例 已知直线l：4xay50 与直线 l： x 2y0 相互垂直，圆C 的圆心与点 (2,1)关于直线 l 对称，且圆C 过点 M(1， 1) (1)求直线 l 与圆 C 的方程 (2)过点 M 作两条直线分别与圆C 交于
6、P，Q 两点，若直线MP，MQ 的斜率满足kMP kMQ0，求证：直线 PQ的斜率为1. 解(1)直线 l：4xay 50 与直线 l： x2y0 相互垂直， 412a 0，解得 a2. 直线 l 的方程为4x2y50. 设圆 C 的圆心 C 的坐标为 (m，n) 圆心 C(m，n)与点 (2,1)关于直线l 对称， n 1 m2 2 1， 4 m2 2 2n 1 2 50， 解得 m0， n0， C(0,0) 圆 C 的半径 r |CM|2. 圆 C 的方程为x2y22. (2)证明：设过点M 的直线 MP 的斜率为k，则过点M 的直线 MQ 的斜率为 k，直线 MP 的方程为y1 k(x1
7、) 直线 MP 与圆 C 相交， 联立得方程组 y1 k x1 ， x 2y22， 消去 y 并整理，得 (1k2)x22k(k1)xk22k10. 圆 C 过点 M(1， 1)， xP ( 1) k 22k1 1 k 2， xP2k1k 2 1k 2. 同理，将 k 替换成 k，可得 xQk 22k1 1k 2. kPQy QyP xQxP k xQ1 1k xP1 1 xQxP k xQxP 2k xQxP 1. 解题技法 直线与圆的综合问题的求解策略 (1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数 的计算，使问题得到解决 (2)直线与圆和平面几何联系十
8、分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与 圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、 圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长 度放到一起综合考虑 题组训练 1(2018 全国卷 )直线 x y20 分别与 x 轴， y 轴交于 A，B 两点，点P 在圆 (x 2) 2y22 上，则 ABP 面积的取值范围是 () A2,6B4,8 C2，32 D22，32 解析： 选 A设圆 (x2)2y22 的圆心为C，半径为r，点 P 到直线 xy20 的距 离为 d， 则圆心 C(2,0)，r2， 所以圆心 C 到直线 xy 20 的距离为 |2 2| 2 2 2， 可得 dmax22r3 2，
9、dmin2 2r2. 由已知条件可得|AB| 2 2， 所以 ABP 面积的最大值为 1 2|AB| dmax6， ABP 面积的最小值为 1 2|AB| dmin2. 综上， ABP 面积的取值范围是2,6 2. (2019湖北八校联考)如图， 在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆 C： x 2y24x 0 及点 A(1,0)，B(1,2) (1)若直线 l 平行于 AB，与圆 C 相交于 M，N 两点， |MN| |AB|，求 直线 l 的方程； (2)在圆 C 上是否存在点P，使得 |PA 2|PB2|12？若存在，求出点 P 的个数；若不存 在，说明理由 解： (1)因为圆 C 的标准
10、方程为 (x2) 2y24， 所以圆心 C(2,0)，半径为2. 因为 l AB，A(1,0)，B(1,2)， 所以直线 l 的斜率为 20 1 1 1， 设直线 l 的方程为xym0， 则圆心 C 到直线 l 的距离 d |20m| 2 |2m| 2 . 因为 |MN|AB|222222， |CM 2|d2 |MN| 2 2，所以 4 2 m 2 2 2， 解得 m0 或 m 4， 故直线 l 的方程为xy0 或 xy40. (2)假设圆 C 上存在点P，设 P(x，y)，则 (x2) 2y24，|PA|2|PB|2(x1)2(y0)2 (x1) 2(y2)2 12，即 x2y22y30，即
11、 x2(y1)24， 因为 |22|20 2 01222， 所以圆 (x2) 2y2 4与圆 x2(y1)2 4 相交， 所以存在点P，使得 |PA|2|PB|212，点 P 的个数为 2. 课时跟踪检测 A 级 1已知圆C：x 2y22x2mym230 关于直线 l：x y10 对称，则直线x 1 与圆 C 的位置关系是() A相切B相交 C相离D不能确定 解析： 选 A由已知得 C：(x1) 2(ym)2 4，即圆心 C(1，m)，半径 r 2，因为圆 C 关于直线l：xy10 对称，所以圆心 (1，m)在直线 l：xy10 上，所以 m2.由圆 心 C(1,2)到直线 x 1 的距离 d
12、112r 知，直线x 1 与圆 C 相切故选A. 2直线 ax 1 ay20 与圆 x 2 y2r2 相切，则圆的半径最大时，a 的值是 () A1 B 1 C 1 Da 可为任意非零实数 解析： 选 C由题意得， 圆心 (0,0)到直线 ax 1 ay20 的距离等于半径 r，即 |002| a 21 a 2 r.由基本不等式，得r 2 2 2，当且仅当a41，即 a 1 时取等号故选C. 3与圆 x 2y22 2y 10 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线的条数为 () A2 B3 C4 D6 解析： 选 B圆的标准方程为x2(y2)21，设切线方程为ykxm，则 |2m| k 21 1，
13、整理得 (2m) 2k21，又因为切线在两坐标轴上的截距相等，所以 m m k ，联立方 程得 2m 2k21， m m k ， 解得 m0， k 1 或 k 1， m 2 2， 所以切线方程为y x或 y x2 2，切线共有3 条 4已知点P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点， PA，PB 是圆 C：x 2y22y0 的两条切线， A，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则 k 的值为 () A3 B. 21 2 C22 D2 解析： 选 D圆 C：x2y22y0 的圆心为 (0,1) ，半径 r1.由圆的性质，知S四边形 PACB 2SPBC.四边形 PACB 的最小面积
14、是2， SPBC的最小值为 1， 则1 2rd min1(d 是切线长 )， dmin2.圆心到直线kxy40 的距离就是PC 的最小值， |PC|min 5 1k 2 d21 5.k0， k2.故选 D. 5(2019 赣州七校联考)已知圆C： x 2y22ax2bya2b2 10(a0)的圆心在直 线3xy30 上，且圆 C 上的点到直线3xy 0 的距离的最大值为13，则 a2 b 2 的值为 () A1 B2 C3 D4 解析： 选 C易知圆的标准方程为(xa) 2(yb)2 1，所以圆心为 (a，b)，由圆心在直 线3xy30 上，可得3ab30，即 b3(a1).圆 C 上的点到直
15、线3 xy 0 的距离的最大值dmax1| 3ab| 2 31，得 | 3ab|2 3.由得|2a 1|2，又 a0，所以 a 3 2，a 2b2a23(a1)2 3. 6已知实数x，y 满足 (x5) 2(y12)2 25，那么 x2y2的最小值为 _ 解析： 由题意得x 2 y2 x0 2 y02表示点 P(x，y)到原点的距离，所以 x 2y2 的最小值表示圆(x5)2(y12)225 上一点到原点距离的最小值又圆心(5,12)到原点 的距离为5 212213，所以 x2y2的最小值为1358. 答案： 8 7已知 P(x， y)为圆 (x2) 2y21 上的动点，则 |3x 4y3|的
16、最大值为 _ 解析： 设 t3x4y 3，即 3x4y3t0.由圆心 (2,0)到直线3x4y3t0 的距 离 d |63t| 3 2 421， 解得 2t8.所以 |3x4y3|max8. 答案： 8 8 (2018 贵阳适应性考试)已知直线l： ax3y 120 与圆 M： x 2y24y0 相交于 A， B 两点，且 AMB 3，则实数 a_. 解析： 直线 l 的方程可变形为y1 3ax4，所以直线 l 过定点 (0,4)，且 该点在圆M 上圆的方程可变形为x2(y2)2 4，所以圆心为M(0,2)，半 径为 2.如图，因为 AMB 3，所以 AMB 是等边三角形，且边长为 2，高 为
17、3，即圆心M 到直线 l 的距离为3，所以 |612| a 29 3，解得 a 3. 答案： 3 9已知曲线C 上任一点M(x，y)到点 E 1， 1 4 和直线 a： y 1 4的距离相等，圆 D： (x1) 2 y1 2 2 r2(r0) (1)求曲线 C 的方程； (2)过点 A(2,1)作曲线 C 的切线 b，并与圆 D 相切，求半径r. 解： (1)由题意得x1 2 y 1 4 2 y 1 4 . 两边平方并整理，得y(x1)2. 曲线 C 的方程为y(x1)2. (2)由 y(x1) 2，得 y2(x1) 点 A(2,1)在抛物线C 上， 切线 b 的斜率为y|x=2 2. 切线
18、b 的方程为y1 2(x2)，即 2xy 30. 又直线 b 与圆 D 相切， 圆心 D 1，1 2 到直线 b 的距离等于半径， 即 r 21 1 23 5 11 5 10 . 10已知过点A(1,0)且斜率为k 的直线 l 与圆 C：(x2) 2(y3)21 交于 M，N 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)OM ON 12，其中 O 为坐标原点，求|MN|. 解： (1)设过点 A(1,0)的直线与圆C 相切，显然当直线的斜率不存在时，直线x1 与圆 C 相切 当直线的斜率存在时，设切线方程为yk0(x1)，即 k0xy k0 0. 圆 C 的半径 r 1， 圆心 C(2,3)到切线
19、的距离为 |k03| k 2 01 1，解得 k04 3. 过点 A 且斜率为k 的直线 l 与圆 C 有两个交点， k 4 3，即 k 的取值范围为 4 3， . (2)将直线l 的方程 yk(x1)代入圆C 的方程，得 (1k 2)x2(2k26k4)xk26k 12 0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1 x2 2k 26k 4 1k 2，x1x2k 26k12 1k 2. y1y2 k2(x11)(x21)k2(x1x2x1x21) 9k 2 1 k 2. OM ON x1x2y1y2 10k 26k 12 1k 212，解得 k3 或 k0(舍去 ) 直线 l 的方程
20、为3xy30. 故圆心 (2,3)在直线 l 上， |MN|2r 2. B 级 1已知圆M：(x2) 2(y2)22，圆 N： x2(y8)240，经过原点的两直线 l1，l2 满足 l1l2，且 l1交圆 M 于不同两点A，B，l2交圆 N 于不同两点C，D，记 l1的斜率为k. (1)求 k 的取值范围； (2)若四边形ABCD 为梯形，求k 的值 解： (1)显然 k0，所以可设l1的方程为ykx，则 l2的方程为y 1 kx. 依题意得点M 到直线 l1的距离 d1 |2k2| 1k 2 2. 整理，得 k2 4k10， 解得 23k23. 同理，点 N 到直线 l2的距离 d2 |8
21、k| 1 k 2 2 10， 解得 15 3 k 15 3 . 由可得23k 15 3 ， 所以 k 的取值范围为 23， 15 3 . (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3， y3)，D(x4，y4)， 将直线 l1的方程代入圆M 的方程，得 (1k2)x24(1k)x60， 所以 x1x24 1k 1k 2，x1x2 6 1 k 2. 将直线 l2的方程代入圆N 的方程，得 (1k2)x2 16kx24k20， 所以 x3x4 16k 1k 2，x3x4 24k 2 1k 2. 由四边形 ABCD 为梯形可得 x1 x2 x4 x3， 所以 x1 x2 x2 x12 x4
22、 x3 x3 x42，所以 x1x2 2 x1x2 x3x4 2 x3x4 ， 所以 (1k)24，解得 k1 或 k 3(舍去 ) 故 k 的值为 1. 2(2019 成都双流中学模拟)已知曲线C 上任意一点到点A(1， 2)的距离与到点B(2， 4)的距离之比均为 2 2 . (1)求曲线 C 的方程； (2)设点 P(1， 3)，过点 P 作两条相异的直线分别与曲线C 相交于 E，F 两点，且直线 PE 和直线 PF 的倾斜角互补，求线段EF 的最大值 解： (1)设曲线C 上的任意一点为Q(x，y)，由题意得 x 1 2 y22 x 2 2 y42 2 2 ，整理得 x 2y210，故
23、曲线 C 的方程为x2y210. (2)由题意知，直线PE 和直线PF 的斜率存在，且互为相反数，因为P(1， 3)，故可 设直线 PE 的方程为y3k(x 1)，联立方程得 y 3k x1 ， x 2y210， 消去 y 得(1k 2)x22k(k 3)xk26k10，因为 P(1， 3)在圆上，所以x1 一定是该方程的解，故可得xE k 26k1 1k 2 ， 同 理 可 得xF k 26k1 1k 2 ， 所 以kEF yEyF xExF k xE1 3 k xF1 3 xE xF 2kk xExF xExF 1 3，故直线 EF 的斜率为定值 1 3，设直线 EF 的方程为y 1 3x
24、b，则 圆C 的圆心 (0,0) 到直线EF 的距离d |3b| 19 ，所以 |EF| 210 d2 2 10 9b 2 10 10 3 b10 3 ， 所以当 b0 时，线段EF 取得最大值，最大值为210. 第六节椭 圆 一、基础知识 1椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数 2a(2a|F1F2|)的动点 P 的轨迹叫做椭圆，这两个 定点 F1，F2叫做椭圆的焦点. 2椭圆的标准方程 (1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆 的标准方程为 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) (2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的椭圆 的标准方程为 y 2 a 2 x 2 b
25、 21(ab0) 3椭圆的几何性质 标准方程 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) y 2 a 2 x 2 b 2 1(ab0) 范围|x|a，|y|b |x|b， |y|a 对称性关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称 顶点坐标 (a,0)，( a,0)，(0，b)，(0， b) (b,0)，(b,0)，(0，a)， (0， a) 焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0， c) 半轴长长半轴长为a，短半轴长为b，ab? 离心率e c a ? a，b，c 的关系a 2b2c2 ? 长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心 ? 离心率表示椭圆的扁平程度当e越接近于1 时， c 越接 近
26、于 a，从而 ba2c2越小，因此椭圆越扁 二、常用结论 (1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为 2b 2 a ，过焦点最长弦为长轴 (2)过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. (3)与椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)有共焦点的椭圆方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 1( b2) (4)焦点三角形： 椭圆上的点P(x0， y0)与两焦点F1， F2构成的 PF1F2叫做焦点三角形 若 r1|PF1|， r2 |PF2|， F1PF2 ， PF1F2的面积为 S，则在椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)中： 当 r1r2，即点 P 为短轴端点时
27、，最大； S1 2|PF 1|PF2|sin c|y0|，当|y0|b，即点 P 为短轴端点时， S取得最大值，最大值为 bc； PF1F2的周长为2(ac) 第一课时椭圆及其性质 考点一椭圆的标准方程 典例 (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为 45，则椭圆的标准方程为() A. x 2 6 y 2 4 1B. x 2 16 y 2 36 1 C. x 2 36 y 2 161 D. x 2 49 y 2 9 1 (2)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(3,0)，且离心率e 5 3 ，则椭圆的标准方程为 _ 解析 (1)由长、短半轴长之和为10，焦距为 4
28、5，可得 ab10,2c4 5， c25. 又 a2b2c2， a236，b2 16.焦点在x 轴上，所求椭圆方程为 x 2 36 y 2 161.故选 C. (2)若焦点在x 轴上，由题知a3，因为椭圆的离心率e 5 3 ，所以 c5，b2，所 以椭圆方程是 x 2 9 y 2 4 1.若焦点在y 轴上，则b3，a2 c29，又离心率e c a 5 3 ，解得 a 281 4 ，所以椭圆方程是 y 2 81 4 x 2 9 1. 答案 (1)C(2)x 2 9 y 2 4 1 或 y 2 81 4 x 2 9 1 题组训练 1(2018 济南一模 )已知椭圆C： x 2 a 2 y 2 b
29、21(ab0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将 长轴三等分，则此椭圆的标准方程为() A. x 2 36 y 2 321 B.x 2 9 y 2 8 1 C.x 2 9 y 2 5 1 D. x 2 16 y 2 12 1 解析： 选 B椭圆长轴长为6，即 2a6，得 a3， 两焦点恰好将长轴三等分， 2c1 3 2a2，得 c1， b2a2c2918， 此椭圆的标准方程为 x 2 9 y 2 8 1.故选 B. 2椭圆 C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于 1 2，且它的一个顶点 恰好是抛物线x2 8 3y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为 _ 解析： 由题意设椭圆的方程为
30、x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) 由题设知抛物线的焦点为(0,23)，所以椭圆中b2 3. 因为 e c a 1 2，所以 a 2c， 又 a2b2c2，联立 a2c， b2 3， a 2b2c2， 解得 c2，a 4， 所以椭圆 C 的标准方程为 x 2 16 y 2 121. 答案 ： x 2 16 y 2 12 1 3已知椭圆中心在原点，且经过A(3， 2)和 B(23，1)两点，则椭圆的标准方程 为_ 解析： 设所求椭圆方程为mx2ny21(m0， n0，mn) 依题意有 3m4n1， 12mn1， 解得 m 1 15， n 1 5. 所求椭圆的方程为 x 2 15 y 2
31、5 1. 答案： x 2 15 y 2 5 1 考点二椭圆的定义及其应用 典例 (1)(2019郑州第二次质量预测)已知椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左、右焦点 分别为 F1，F2，离心率为 2 3，过 F 2的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若 AF1B 的周长为12，则 椭圆 C 的标准方程为 () A. x 2 3 y21B.x 2 3 y 2 2 1 C.x 2 9 y 2 4 1 D.x 2 9 y 2 5 1 (2)已知点 P(x，y)在椭圆 x 2 36 y 2 1001 上， F 1，F2是椭圆的两个焦点，若 PF1F2的面积 为 18，则 F1PF
32、2的余弦值为 _ 解析 (1)由椭圆的定义，知|AF1|AF2|2a， |BF1|BF2|2a，所以 AF1B 的周长 为|AF1|AF2|BF1| |BF2|4a12，所以 a3.因为椭圆的离心率e c a 2 3，所以 c2， 所以 b2a2c25，所以椭圆C 的方程为 x 2 9 y 2 5 1，故选 D. (2)椭圆 x 2 36 y 2 1001 的两个焦点为 F1(0， 8)，F2(0,8)， 由椭圆的定义知|PF1|PF2|20， 两边平方得 |PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|202， 由余弦定理得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2| cosF1PF216 2，
33、 两式相减得2|PF1|PF2|(1cosF1PF2)144. 又 SPF1F21 2|PF 1|PF2|sinF1PF218， 所以 1cos F1PF2 2sin F1PF2， 解得 cosF1PF23 5. 答案 (1)D(2)3 5 变透练清 1已知椭圆 x 2 25 y 2 161 上一点 P 到椭圆一个焦点 F1的距离为 3，则 P 到另一个焦点F2 的距离为 () A2 B3 C5 D7 解析： 选 D因为 a225，所以2a10，由定义知， |PF1|PF2| 10，所以 |PF2| 10 |PF1|7. 2. 变结论若本例 (2)条件不变，则 PF1F2的内切圆的面积为 _
34、解析： 由椭圆的定义可知PF1F2的周长的一半为ac18，所以由三角形的面积公式 Spr(其中 p，r 分别为三角形的周长一半，内切圆的半径)，得 r1，所以 PF1F2的内切 圆的面积为. 答案： 考点三椭圆的几何性质 考法 (一)求椭圆离心率的值(或范围 ) 典例 (1)(2018全国卷 )已知 F1，F2是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点 若 PF1 PF2，且 PF2F160 ，则 C 的离心率为 () A1 3 2 B23 C. 31 2 D.31 (2)已知椭圆E： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l： 3x 4y0 交椭
35、圆 E 于 A，B 两点若 |AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于 4 5，则椭圆 E 的离心率的取值范围是() A. 0， 3 2 B. 0， 3 4 C. 3 2 ，1D. 3 4，1 解析 (1)在 RtPF1F2中， PF2F160 ， 不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F1F2|2， 则|PF2|1，|PF1| 3， 由椭圆的定义可知，在方程 x 2 a 2 y 2 b 2 1 中， 2a13，2c2，得 a 13 2 ，c1， 所以离心率e c a 2 13 31. (2)根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A， B 两点到椭圆的左、右焦点的距离和为4a 2(|AF|BF|
36、)8，所以 a2.又 d |304b| 3 2 42 4 5，所以 1b2，所以 e c a 1b 2 a 2 1 b 2 4.因为 1b 2，所以 0e 3 2 . 答案 (1)D(2)A 解题技法 求椭圆离心率的方法 (1)定义法： 根据条件求出a，c，直接利用公式e c a求解 (2)方程法： 根据条件得到关于a，b，c 的齐次等式 (不等式 )，结合 b 2a2c2 转化为关 于 a，c 的齐次等式 (不等式 )，然后将该齐次等式(不等式 )两边同时除以a 或 a 2 转化为关于e 或 e 2 的方程 (不等式 )，解方程 (不等式 )即可得 e(e 的取值范围 ) 考法 (二)与椭圆
37、性质有关的最值问题 典例 已知点F1，F2分别是椭圆 x 2 25 y 2 16 1 的左、右焦点，点 M 是该椭圆上的一个 动点，那么 |MF1 MF2 |的最小值是 ( ) A4B 6 C8 D 10 解析 设 M(x0， y0)，F1( 3,0)， F2(3,0) 则MF1 (3x0， y0)，MF2 (3x 0， y0)， 所以 MF1 MF 2 (2x0， 2y0)， |MF1 MF 2 |4x 2 04y 2 0 425 1 y 2 0 16 4y2 0 100 9 4y 2 0， 因为点 M 在椭圆上，所以0y2 0 16， 所以当 y2 016 时， |MF1 MF 2 |取最
38、小值为8. 答案 C 解题技法 椭圆几何性质的应用技巧 (1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要 联想到图形 (2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，b yb,0 e1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不 等关系 题组训练 1(2018 贵阳摸底 )P 是椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)上的一点， A 为左顶点， F 为右焦点， PFx 轴，若 tanP AF1 2，则椭圆的离心率 e 为() A. 2 3 B. 2 2 C. 3 3 D.1 2 解析： 选 D不妨设点P 在第一
39、象限，因为PFx 轴，所以xPc，将 xPc 代入椭圆 方程得 yP b 2 a ，即 |PF| b 2 a ，则 tanPAF |PF| |AF| b 2 a ac 1 2，结合 b 2a2c2，整理得 2c2 ac a20，两边同时除以a2得 2e 2 e10，解得 e1 2或 e 1(舍去 )故选 D. 2已知 P 在椭圆 x 2 4 y21 上， A(0,4)，则 |P A|的最大值为 () A. 218 3 B.76 3 C5 D2 5 解析： 选 C设 P(x0，y0)，则由题意得 x 2 0 4 y2 01， 故 x 2 04(1y 2 0)， 所以 |PA|2x2 0(y04)
40、 2 4(1y2 0)y 2 08y0 16 3y2 0 8y020 3 y04 3 276 3 ， 又 1 y01， 所以当 y0 1 时， |PA|2取得最大值25， 即|P A|最大值为5.故选 C. 3已知 F1，F2分别是椭圆 C：x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左、 右焦点， 若椭圆 C 上存在点P， 使得线段 PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C 的离心率的取值范围是() A. 2 3，1 B. 1 3， 2 2 C. 1 3，1 D. 0， 1 3 解析： 选 C如图所示， 线段 PF1的中垂线经过F2， |PF2|F1F2|2c， 即椭圆上存在一点P， 使得
41、|PF2|2c. ac2cac. e c a 1 3，1 . 课时跟踪检测 A 级 1椭圆以x 轴和 y 轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的标准 方程为 () A. x 2 4 y21 B. y 2 16 x 2 4 1 C.x 2 4 y21 或 y 2 16 x 2 4 1 D.x 2 4 y 21 或y 2 4 x 21 解析：选 C由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2 倍， 即 a2b.因为椭圆经过点(2,0)， 所以若焦点在x 轴上，则 a2，b1，椭圆的标准方程为 x 2 4 y21；若焦点在 y 轴上，则 a 4，b2，椭圆的标准方程为 y 2 16 x
42、 2 4 1，故选 C. 2已知方程 x 2 |m|1 y 2 2m1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为() A. ， 3 2 B(1,2) C(， 0)(1,2) D(， 1) 1， 3 2 解析： 选 D依题意得不等式组 |m| 10， 2m0， 2m|m|1， 解得 m 1 或 1m 3 2，故选 D. 3已知椭圆的方程为2x 23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为 () A. 1 3 B. 3 3 C. 2 2 D.1 2 解析： 选 B由题意得椭圆的标准方程为 x 2 m 2 y 2 m 3 1， 所以 a 2m 2 ，b 2m 3 ， 所以 c2a2b2m 6 ，e2
43、 c 2 a 2 1 3，e 3 3 . 4已知椭圆C： x 2 4 y 2 3 1 的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆 C 上的点 A 满足 AF2 F1F2，若点 P 是椭圆 C 上的动点，则 F1P F2A 的最大值为 () A. 3 2 B.3 3 2 C.9 4 D.15 4 解析： 选 B由椭圆方程知c1， 所以 F1(1,0)，F2(1,0) 因为椭圆 C 上的点 A 满足 AF2F1F2，则可设A(1，y0)， 代入椭圆方程可得y2 0 9 4，所以 y0 3 2. 设 P(x1，y1)，则 F1P (x 11，y1)， F2A (0，y0)， 所以 F1P F2A y 1y0. 因为点 P 是椭圆 C 上的动点，所以3y13， 故 F1P F2A 的最大值为 3 3 2 . 5以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最 小值为 () A1 B.2 C2 D2 2 解析： 选 D设 a，b，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三 角形的高为b 时面积最大，所以 1 22cb1，bc1，而 2a2 b2c2 2 2bc2 2(当且仅 当 bc