福建省福州市2019届高三质检数学(文)试题.pdf

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1、第 1 页共 23 页 2019 年 福 州 市高 中 毕 业班 质 量 检 测 数学（文科）试卷解析 第卷 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.已知集合 2 1 ,20Ax xBx xx，则AB=（） A.1x xB.12xxC. 11xxD.1x x 2.设复数 z 满足 (3+i)3iz，则 |z（） A. 1 2 B.1C.2D. 2 3.为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000 名学生课余时间参加传统文化 活动的情况，随机抽取50 名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下： 参加场数0

2、 1 2 3 4 5 6 7 参加人数占调查人数的百分比8% 10% 20% 26% 18% 12 % 4% 2% 估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是 A. 参加活动次数是3 场的学生约为360 人 B.参加活动次数是2 场或 4 场的学生约为480 人 C.参加活动次数不高于2 场的学生约为280 人 D.参加活动次数不低于4 场的学生约为360 人 4.已知双曲线C : 22 22 10,0) xy ab ab （，直线 =y b与 C 的两条渐近线的交点分别为,MN， O为坐标原点若OMN为直角三角形，则C 的离心率为（） A. 2B. 3C. 2D. 5 5. 已知数列 n

3、a 中，3=2 a ， 7=1 a若数列 1 n a 为等差数列，则 9 =a（） A. 1 2 B. 5 4 C. 4 5 D. 4 5 6.已知 1 sin() 62 ，且0 2 （ ， ），则cos() 3 （） 第 2 页共 23 页 A.0B. 1 2 C.1D. 3 2 7.已知函数sin ,fxxx( )fx为fx的导函数，则函数( )fx的部分图象大致为( ) A B C D 8.在边长为 3的等边ABC 中，点M满足 BM2MA ，则CM CA（） A 3 2 B2 3C 6D 15 2 9.如图，线段MN 是半径为2的圆 O 的一条弦，且MN 的长为2. 在圆 O 内，将线

4、段MN 绕 N 点 按逆时针方向转动，使点M移动到圆 O 上的新位置，继续将线段NM 绕M点按逆时针方向转 动，使点 N 移动到圆 O 上的新位置， 依此继续转动 点M的轨迹所围成的区域是图中阴影部 分.若在圆 O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（） A.4 -63B. 3 3 1 2 C. 3 3 2 D. 3 3 2 10.已知函数 3 1 4,0 2 5,0 x x fx xxx （ ）， ，当,1xm m时，不等式2fmxfxm恒 成立，则实数m的取值范围是( ) A. , 4B. , 2C. 2,2D. ,0 11.已知 12 ,FF为椭圆 2 2 1 4 x y的左、右

5、焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，K点是12 F PF 内切圆的圆心，过 1 F作 1 F MPK于M，O是坐标原点，则OM的取值范围为（） A . 0,1B. 0,2C. 0,3D. 0,23 12. 如图，棱长为1正方体 1111 ABCDA BC D 的木块，平面 过点D且平行于平面 1 ACD ，则木块在 平面内的正投影面积是（） A. 3B. 3 3 2 C.2D. 1 第 12 题图 第 3 页共 23 页 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题4 小题，每小题5 分，共

6、20 分把答案填在答题卡相应位置 13.若实数,x y满足约束条件 20 0 220 xy xy xy ，则3zxy的最小值等于 _ 14. 已知长方体 1111 ABCDA BC D 的外接球体积为 32 3 ， 且 1 2A AB C， 则直线 1 AC 与平面 11 BB C C 所成的角为 _ 15. 将函数( )sincosf xaxbx,0R,a ba的图象向左平移 6 个单位长度，得到一个偶函数图 象，则 b a _ 16. 已知数列 n a的前 n项和为 n S ， 1 1a，且1 nn Sa（为常数）若数列 n b满足 2 920 nn a bnn，且 1nn bb，则满足条

7、件的n 的取值集合为_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （本小题满分12 分） 在Rt ABC中，=90 o C，点,D E 分别在边，ABBC 上，5,3CDCE,且ECD 的面积为 3 6 （ 1）求边DE长； （ 2）若3AD，求 sin A 的值 第 4 页共 23 页 18. （本小题满分12 分） 峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别它是将一天24 小时划分成两个时间段，把8： 0022：00 共 14 小时称为峰段，执行峰电价，即电价上调；22：00次日 8：00 共 10 个小时称为 谷段，执行谷电价，即电价下调为了进一步了解民众对峰谷电价的

8、使用情况，从某市一小区随机 抽取了 50 户住户进行夏季用电情况调查，各户月平均用电量以100,300) ， 300 500),， 500 700),， 700 900),， 9001100),， 11001300,（单位：度）分组的频率分布直方图如下： 若将小区月平均用电量不低于700 度的住户称为“ 大用户 ” ，月平均用电量低于700 度的住户称为“ 一 般用户 ” 其中，使用峰谷电价的户数如下表： 月平均用 电量（度） 使用峰谷 电价的户 数 3 9 13 7 2 1 （1）估计所抽取的50 户的月均用电量的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表） ； （2） （i）将

9、 “ 一般用户 ” 和“ 大用户 ” 的户数填入下面22的列联表 : 一般用户大用户 使用峰谷电价的用户 不使用峰谷电价的用户 (ii)根据（i）中的列联表，能否有99%的把握认为“ 用电量的高低 ” 与“ 使用峰谷电价” 有关？ 第 5 页共 23 页 附： 2 2 () ()()() n adbc K abcdac bd ， 2 P Kk0.025 0.010 0.001 k5.024 6.635 10.828 19. (本小题满分12 分） 如图，四棱锥EABCD ，平面 ABCD平面ABE，四边形 ABCD 为矩形，=6AD，=5AB， =3BE，F为 CE 上的点，且BF平面 ACE

10、 . （1）求证：AEBE； （2）设M在线段DE上，且满足2EMMD，试在线段AB上确定一点N，使得/ /MN平面 BCE ，并求MN的长 . 20. （本小题满分12 分） 已知抛物线 1 C：)02 2 ppyx（和圆 2 C： 22 +1+2xy（），倾斜角为45的直线 1 l过 1 C的焦点 且与 2 C 相切 （1）求p的值； （ 2）点M在 1 C的准线上，动点A在 1 C上， 1 C在A点处的切线 2 l交y轴于点B，设 MNMAMB，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程 21. （本小题满分12 分) 已知函数 1 ( )ln a fxaxx x (a)R AB CD E

11、 F M 第 6 页共 23 页 （ 1）求函数( )f x的单调区间； （ 2）当ea 2 e时，关于 x的方程 1 () a f ax ax 有两个不同的实数解 12 ,xx，求证： 1212 4xxx x. (二)选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分. 22. 选修 44 ：坐标系与参数方程 （ 10 分） 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 2 3 2 xt yat （t为参数，aR）.以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos， 射线0 3 与曲线C 交于,O P两点，直线l与曲线C相

12、交于,A B两点 . （1）求直线l的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）当ABOP时，求a的值 . 23.选修 45 ：不等式选讲 （10 分） 已知不等式21214xx的解集为M. （1）求集合M； （2）设实数,aM bM ，证明：1aba b . 第 7 页共 23 页 2019 年 福 州 市高 中 毕 业班 质 量 检 测 数学（文科）试卷参考答案 第卷 二、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.C 7.A 8.D 9.B 10.B 11.C 12.A 13.已知

13、集合 2 1 ,20Ax xBx xx，则AB=（） A.1x xB.12xxC. 11xxD.1x x 【简解】|2+10| 12Bxxxxx，所以|1ABx x，故选 D 14.设复数 z 满足 (3+i)3iz，则 |z（） A. 1 2 B.1C.2D. 2 【简解一】因为 3i3i 3ii = 3+i3+i3i 86 10 z ，所以1z，故选 B 【简解二】因为(3+i)3iz，所以(3+i)(3+i)= 3izz，所以1z，故选 B 15.为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000 名学生课余时间参加传统文化 活动的情况，随机抽取50 名学生进行调查，将数据分组整

14、理后，列表如下： 参加场数 0 1 2 3 4 5 6 7 参加人数占调查人数的百分比8% 10% 20% 26% 18% 12 % 4% 2% 估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是 A. 参加活动次数是3 场的学生约为360 人 B.参加活动次数是2 场或 4 场的学生约为480 人 C.参加活动次数不高于2 场的学生约为280 人 D.参加活动次数不低于4 场的学生约为360 人 【简解】估计该校高一学生参加活动次数不低于4场的学生约为： 1000+（0.180.12+0.04+0.02)=360人，故选 D. 16.已知双曲线C : 22 22 10,0) xy ab ab （，

15、直线=y b与 C 的两条渐近线的交点分别为,MN， 第 8 页共 23 页 O为坐标原点若OMN为直角三角形，则C 的离心率为（） A. 2B. 3C. 2D. 5 【简解】 依题意得： 因为OMN为直角三角形，所以双曲线C的渐近线为=yx，即C是等轴双 曲线，所以C 的离心率2e，故选 A 17.已知数列 n a中， 3=2 a， 7=1 a若数列 1 n a 为等差数列，则 9 =a（） A. 1 2 B. 5 4 C. 4 5 D. 4 5 【简解】依题意得： 73 2,1aa ，因为数列 1 n a 为等差数列， 所以 73 11 1 1 1 2 73738 aa d ，所以 97

16、1115 97 84aa ，所以 9 4 5 a ，故选 C 18.已知 1 sin() 62 ，且0 2 （ ， ），则cos() 3 （） A.0B. 1 2 C.1D. 3 2 【简解一】由 1 sin 62 ，且 0, 2 得， 3 ，代入 cos 3 得， cos 3 =cos01，故选 C 【简解二】由 1 sin 62 ，且 0, 2 得， 3 cos 62 ， 所以 coscoscoscossinsin1 3666666 ，故选 C 19.已知函数sin ,fxxx( )fx为fx的导函数，则函数( )fx的部分图象大致为( ) 第 9 页共 23 页 A B C D 【 简

17、解 】 依 题 意 得 ：xxxxfcossin)(为 奇 函 数 ， 排 除,C D， 设()()gxfx， 则 ()2 c o ss i ngxxxx，(0)20g，排除B，故选 A 20.在边长为 3的等边ABC 中，点M满足 BM2MA ，则 CM CA（） A 3 2 B2 3C 6D 15 2 【简解一】依题意得： 121211215 )3 333 33333232 CM CACBCACACB CACA CA（，故选 D 【 简 解二 】 依题 意得 ：以C为 原点 ，CA所 在 的直 线为x 轴 建立 平 面直 角直 角坐 标 系， 则 53 0,03,0 22 CAM（），（）

18、， （，） ， 所以 5315 3,0 222 CMCA （，） （），故选 D 【简解三】依题意得：过M 点作 MDAC于D ，如图所示，则 CMCACDCA 15 (31cos60 )3 2 ，故选 D 21.如图，线段MN 是半径为2的圆 O 的一条弦，且MN 的长为2. 在圆 O 内，将线段MN 绕 N 点 按逆时针方向转动，使点M移动到圆 O 上的新位置，继续将线段NM 绕M点按逆时针方向转 动，使点 N 移动到圆 O 上的新位置， 依此继续转动 点M的轨迹所围成的区域是图中阴影部 分.若在圆 O内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（） A.4 -63B. 3 3 1 2 C.

19、 3 3 2 D. 3 3 2 【简解一】依题意得：阴影部分的面积 2 13 6222=46 3 22 S 1 （） 6 2 4 -633 3 1 22 P ，故选 B 【简解二】依题意得：阴影部分的面积 2 13 2622=46 3 22 S 2 4 -633 3 1 22 P ，故选 B D A B C M 第 10 页共 23 页 22.已知函数 3 1 4,0 2 5,0 x x fx xxx （ ）， ，当,1xm m时，不等式2fmxfxm恒 成立，则实数m的取值范围是( ) A. , 4B. , 2C. 2,2D. ,0 【简解】依题意得：函数 3 1 4,0 2 5,0 x x

20、 fx xxx （ ） 在xR上单调递减， 因为2fmxfxm，所以2mxxm，即2x m，在 ,1xm m上恒成立，所以 2(1)mm，即 2m，故选 B 23.已知 12 ,FF为椭圆 2 2 1 4 x y的左、右焦点，P是椭 12 F PF内切圆的圆圆上异于顶点的任意一点， K点是 是坐标原点， 则OM心，过 1 F作 1 F MPK于M，O 的取值范围为（） A . 0,1B. 0,2C. 0,3D. 0,23 【简解】如图，延长 21 ,PFF M相交于 N点，连接OM，因为K点是12 F PF内切圆的圆心，所以 PK 平分 12 F PF， 1 F MPK， 1 PNPF，M为

21、1 F N中点， O为 12 F F中点，M为 1 F N中点， 2212 111 222 OMF NPNPFPFPF 12 1 3 2 F Fc ， OM的取值范围为0,3 ，故选 C 24.如图， 棱长为1正方体 1111 ABCDAB C D 的木块， 平面 过点D 且平行于平面 1 ACD ，则木块在平面 内的正投影面积是（） A. 3B. 3 3 2 C.2D. 1 第 12 题图 第 11 页共 23 页 【简解】：棱长为 1正方体 1111 ABCDAB C D的木块的三个面在平面内的正投影是三个全等的菱形 （ 如 图 ） ， 可 以 看 成 两 个 边 长 为 2 的 等 边

22、三 角 形 ， 所 以 木 块 在 平 面 内 的 正 投 影 面 积 是 13 222=3 22 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答 三、填空题：本大题4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在答题卡相应位置 13. 7 2 14. 4 15. 316.5,6 13.若实数,x y满足约束条件 20 0 220 xy xy xy ，则3zxy的最小值等于 _ 【简解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形 区域， 目标函数化为：3yxz，则z的最小值即为动直 线在 y轴上的截距的最大值通过平移

23、可知在 A点处 动直 线在y轴上的截距最大 因为 20 : 220 xy A xy 解得 1 1, 2 A，所以3zxy的最小值 min 17 31 22 z 22. 已知长方体 1111 ABCDA BC D 的外接球体积为 32 3 ， 且 1 2A AB C， 则直线 1 AC 与平面 11 BB C C 所成的角为 _ 第 12 页共 23 页 【简解】设长方体 1111 ABCDAB C D 的外接球半径为 R，因为长方体 1111 ABCDA BC D 的外接球体积 为 3432 33 R，所以2R, 即 1 AC 222 1 =24AABCABR， 因为 12AABC，所以 22

24、AB. 因为 11 A B平面 11 BBC C ，所以 1 AC与平面 11 BBC C 所成的角为 11 ACB， 在 11 RtACB中，因为 1 2AABC，所以 111 22B CA B ，所以 11= 4 ACB 23. 将函数( )sincosf xaxbx,0R,a ba的图象向左平移 6 个单位长度，得到一个偶函数图 象，则 b a _ 【简解】因为( )sincosfxaxbx,0R,a ba的图象向左平移 6 单位长度，得到偶函数图象， 所以函数( )sincosf xaxbx的对称轴为 6 x ， 所以()sincos= (0)= 333 fabfb，因为 0a ，所以

25、3 b a 24. 已知数列 n a的前 n 项和为 n S ， 1 1a，且1 nn Sa（为常数） 若数列 n b满足 2 920 nn a bnn，且 1nn bb，则满足条件的n的取值集合为_ 【简解】因为 1 1a，且1 nn Sa（为常数）， 所以 1 11a，解得 =2， 所以21 nn Sa，所以 -1-1 212 nn San， 所以 1 2 nn aa，所以 1 2 n n a， 因为 2 920 nn a bnn， 所以 2 -1 920 2 n n nn b， 所以 2 +1 11 +28(4)(7) 22 nnnn nnnn bb0， 解得47n，又因为 * nN ，

26、所以=5n或=6n 所以，当=5n或=6n时， 1nn bb，即满足条件的n 的取值集合为 5,6 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 13 页共 23 页 25. （本小题满分12 分） 在Rt ABC中，=90 o C，点,D E 分别在边，ABBC 上，5,3CDCE,且ECD 的面积为 3 6 （ 1）求边DE长； （ 2）若3AD，求 sin A 的值 （1） 【解析】如图，在ECD中， 11 sin53sin3 6 22 ECD SCE CDDCEDCE， 所以 2 6 sin 5 DCE， 2 分 因为090DCE， 所以 2 2 61 cos1(= 55 ）

27、DCE， 4 分 由余弦定理得 222 2cosDECECDCE CDDCE 1 25925328 5 ， 2 7DE 7 分 （2）因为=90 o ACB，所以 1 sinsin(90)cos= 5 O ACDDCEDCE， 9 分 在ADC ，由正弦定理得 sinsin ADCD ACDA ， 即 35 , 1 sin 5 A 所以 1 sin 3 A 12 分 26. （本小题满分12 分） 峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别它是将一天24 小时划分成两个时间段，把8： 0022：00 共 14 小时称为峰段，执行峰电价，即电价上调；22：00次日 8：00 共 10 个小时称

28、为 谷段，执行谷电价，即电价下调为了进一步了解民众对峰谷电价的使用情况，从某市一小区随机 抽取了 50 户住户进行夏季用电情况调查，各户月平均用电量以100,300) ， 300 500),， 500 700),， 700 900),， 9001100),， 11001300,（单位：度）分组的频率分布直方图如下： A EC B D 第 14 页共 23 页 若将小区月平均用电量不低于700 度的住户称为“ 大用户 ” ，月平均用电量低于700 度的住户称为“ 一 般用户 ” 其中，使用峰谷电价的户数如下表： 月平均用 电量（度） 使用峰谷 电价的户 数 3 9 13 7 2 1 （1）估计所

29、抽取的50 户的月均用电量的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表） ； （2） （i）将 “ 一般用户 ” 和“ 大用户 ” 的户数填入下面22的列联表 : 一般用户大用户 使用峰谷电价的用户 不使用峰谷电价的用户 (ii)根据（i）中的列联表，能否有99%的把握认为“ 用电量的高低 ” 与“ 使用峰谷电价” 有关？ 附： 2 2() ()()() n adbc K abcdac bd ， 2 P Kk0.025 0.010 0.001 k5.024 6.635 10.828 第 15 页共 23 页 【解析 】 （1）根据频率分布直方图的得到100度到300度的频率为： 1

30、0.0012000.00152000.00122000.00062000.00022000.1， 2 分 估计所抽取的50户的月均用电量的众数为： 500+700=600 2 （度）； 3 分 估计所抽取的50户的月均用电量的平均数为： (2000.00054000.0016000.00158000.001210000.000612000.0002)200640x （度） 6 分 （2）依题意，22列联表如下 一般用户大用户 使用峰谷电价的用户25 10 不使用峰谷电价的用户5 10 8 分 2 K 的观测值 2 50 (25 105 10)400 6.3496.635 35 15 30 20

31、63 k 11 分 所以不能有99%的把握认为“ 用电量的高低” 与“ 使用峰谷电价 ” 有关 . 12 分 27.(本小题满分12 分） 如图，四棱锥EABCD ，平面 ABCD平面ABE，四边形 ABCD 为矩形，=6AD，=5AB， =3BE，F为 CE 上的点，且BF平面 ACE . （1）求证：AEBE； （2）设M在线段 DE上，且满足2EMMD ，试在线段 AB上 确定一点 N，使得/ /MN平面BCE，并求MN的长 . （1） 【解析】证明 ：四边形 ABCD 为矩形，BCAB 平 面 ABCD与 平 面ABE，平 面 ABCD与 平 面=ABEAB，且BC 平 面 ABCD

32、， BC平 面ABE 1分 又AE平 面ABE， BCAE 2 分 A B CD E F M 第 16 页共 23 页 BF 平 面ACE， AE 平 面 ACE， BFAE 3 分 又BCBFB，BC平 面BCE，BF平 面BCE， AE平 面BCE， 4 分 BE 平 面BCE， AEBE 5 分 （2） 解法一：在 ADE中 过M 点 作/ /MGAD交 AE于G点 ， 在ABE 中 过G点 作/ /GNBE 交AB于N点 ， 连MN（ 如 图 ） ， 6 分 2EMMD， 2EGGA,2BNNA / /NGBE,NG平 面BCE，面BEBCE， / /NG平 面BCE 7 分 同 理

33、可 证 ，/ /GM平 面BCE MGGNG， 平 面/ /MGN平 面BCE， 8 分 又MN平 面MGN， / /MN平 面BCE， 9 分 N点 为 线 段AB上 靠 近A点 的 一 个 三 等 分 点 10 分 =6AD，=5AB，=3BE, 2 4 3 MGAD， 1 1 3 NGBE， 11 分 2222 4117MNMGNG 12 分 （2） 解法二： 过M点 作/ /MGCD交CE于G点 ，连 接BG，在AB取N点 ，使 得BNMG, 连MN（ 如 图 ） ， 6 分 / /ABCD,2EMMD， 2 / /, 3 MGCD MGCD, / /ABCD，BNMG， / /MGB

34、N，MGBN， 7 分 四 边 形MGBN是平行四边形， 第 17页共 23 页 / /MNBG， 8 分 又MN平 面BCE，BG平 面BCE， / /MN平 面BCE， 9 分 N点 为 线 段AB上 靠 近A点 的 一 个 三 等 分 点 ， 10 分 在CBG中，=6BCAD, 22 11 =635 33 CGCE, 2 5 cos 5 BCG， 11 分 2 2 5 36526517 5 BG， 17MNBG 12 分 28. （本小题满分12 分） 已知抛物线 1 C：)02 2 ppyx（和圆 2 C： 22 +1+2xy（），倾斜角为45的直线 1 l过 1 C的焦 点且与 2 C相切 （1）求p的值； （ 2）点 M 在 1 C的准线上，动点A在 1 C上， 1 C在A点处的切线 2 l交y轴于点B，设 MNMAMB，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程 （1）【解析】：依题意设直线 1 l的方程为 2 p yx， 1 分 由已知得：圆 2 C： 22 +1+2xy（）的圆心)01( 2 ，C，半径 2r