福建省福州市2019届高三质检数学(理)试题.pdf

《福建省福州市2019届高三质检数学(理)试题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建省福州市2019届高三质检数学(理)试题.pdf（21页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、试卷第 1 页，总 21 页 2019 年 福 州 市 普 通 高 中 毕 业 班 质 量 检 测 数学（理 科）试卷 （完卷时间：120 分钟；满分150 分） 第 卷 1.设复数z满足i 1 iz ，则z的共轭复数为 A. 1 iB. 1 iC. 1 iD. 1 i 2.已知集合 2 213 ,20AxxBx xx，则ABU= A. 12xxB. 11xxC. 211xxx，或D. 1x x 3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民 族传统文化， 某校学生会为了解本校高一1000 名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽 取 50 名

2、学生进行调查将数据分组整理后，列表如下： 参加场数0 1 2 3 4 5 6 7 参加人数占调查人数的百分比8% 10% 20% 26% 18% m% 4% 2% 以下四个结论中正确的是 A. 表中 m 的数值为 10 B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2 场的学生约为180 人 C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4 场的学生约为360 人 D. 若采用系统抽样方法 进行调查，从该校高一1000 名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 4.等比数列 n a的各项均为正实数，其前n项和为 n S.若 326 4,64aa a，则 5 S A. 32 B. 3

3、1 C. 64 D.63 5. 已知sin 1 62 ，且 2 0,，则 3 cos= A. 0 B. 1 2 C. 1 D. 3 2 6.设抛物线 2 4yx的焦点为F， 准线为l，P为该抛物线上一点，PAl，A为垂足若直线AF 的斜率为3，则PAF的面积为 A. 2 3B. 4 3C.8 D. 8 3 7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为 A.32 B.16 C. 32 3 D. 80 3 8.已知函数( )2sinf xx0, 图象的相邻两条对称轴之间的 距离为，将函数( )f x的图象向左平移 3 个单位长度后，得到函数( )g

4、x的图 象若函数( )g x为偶函数，则函数( )f x在区间0, 2 上的值域是 A. 1 ,1 2 B. 1,1C. 0,2D.1,2 9. 已知g x为偶函数，h x为奇函数，且满足2 x g xh x若存在11x，使得不等 式0m g xh x有解，则实数m的最大值为 A.1 B. 3 5 C. 1 D. 3 5 第 7题 图 试卷第 2 页，总 21 页 10.如图，双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 12 ,FF，过 2 F作线段 2 F P与C交于点Q，且Q为 2 PF的中点若 等腰 12 PF F的底边 2 PF的长等于C的半焦距，则C的

5、离心率为 A. 22 15 7 B. 2 3 C. 22 15 7 D. 3 2 11.如图，以棱长为1 的正方体的顶点A为球心， 以2为半径做一 个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A. 3 4 B.2C. 3 2 D. 9 4 12. 已知数列 n a满足 1 1a， 2 1 22 1 24 n n nn na a anan ，则 8 a A. 64 8 92 B. 32 8 92 C. 16 8 92 D. 7 8 92 13.已知两个单位向量,a b r r ，满足3abb，则a与b的夹角为 _ 14. 已知点0,2A，动点,P x y的坐标满足条件 0x yx ，则

6、PA的最小值是 15. 25 11axx的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为64，则正实数a的值为 _ 16.已知函数 2 e ( )ln 2e x f xax有且只有一个零点，则实数a的取值范围是_ 17. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若角A，B，C成等差数列，且 3 2 b （1）求ABC的外接圆直径； （2）求ac的取值范围 18. 如 图 ， 四 棱 锥PA B C D，/ABCD，90BCD， 224ABBCCD，PAB为等边三角形，平面PAB平面 ABCD，Q为PB中点 (1) 求证：AQ平面PBC； (2)求二面角BPCD的余弦值 第18 题 第 10 题 图

7、 第 11 题图 试卷第 3 页，总 21 页 19.最近，中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数 据显示， 2018 年 7 月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在 10%以上 某部门研究成果认为，房租支出超过月收入 1 3 的租户 “ 幸福指数 ” 低， 房租支出不超过月收入 1 3 的租户 “ 幸福指数 ” 高 为 了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小 区的租户各100 户进行调查甲小区租户的月收入以0 3， 3 6，6 9，9 12，12 15，（单位：千元）分组的频率分 布直方图如上： 乙小区租户的月收入（单位：千元）的频数分布表如下： 月收入0 3，

8、3 6，6 9，9 12，1215， 户数38 27 24 9 2 （1）设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记 M表示事件 “ 甲小区租户的月收入低于 6 千元，乙 小区租户的月收入不低于6 千元 ” .把频率视为概率，求M的概率； （2）利用频率分布直方图，求所抽取甲小区100 户租户的月收入的中位数； （3）若甲、乙两小区每户的月租费分别为2 千元、 1 千元请根据条件完成下面的2 2列联表，并 说明能否在犯错误的概率不超过0.001 的前提下认为 “ 幸福指数高低与租住的小区” 有关 . 幸福指数低幸福指数高总计 甲小区租户 乙小区租户 总计 附：临界值表 2 P Kk0.10 0.0

9、10 0.001 k2.706 6.635 10.828 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 20.已知圆O： 222 xyr，椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的短半轴长等于圆O的半径，且过C 右焦点的直线与圆O相切于点 13 , 22 D.（1）求椭圆 C的方程；（ 2）若动直线l与圆O相切， 且与C相交于,A B两点，求点O到弦AB的垂直平分线距离的最大值. 试卷第 4 页，总 21 页 21. 已知函数( )ln 1 1 x f xaxa x R， 2m12 ee( ) x g xx. （1）求函数( )f x的单调区间； （

10、2）若0a， 12,0,ex x ，不等式 12 ()()f xg x恒成立，求实数m的取值范围 . (二)选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分. 22. 选修 44 ：坐标系与参数方程 （ 10 分） 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 2 3 2 xt yat （t 为参数，aR）.以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos， 射线0 3 与曲线C 交于,O P两点，直线l与曲线C交于,A B两点 . （1）求直线l的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）当ABOP时，求a的值 . 23

11、.选修 45 ：不等式选讲 （10 分） 已知不等式21214xx的解集为M. （1）求集合M； （2）设实数,aM bM，证明：1abab. 试卷第 5 页，总 21 页 2019 年 福 州 市 普 通 高 中 毕 业 班 质 量 检 测参考答案 数学（理 科）试卷 （完卷时间：120 分钟；满分150 分） 第 卷 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.设复数z满足i1 iz，则z的共轭复数为 A. 1 iB. 1iC. 1 iD. 1 i 【简解】因为 1i 1i i z，所以1+iz，故选 A 2.已知

12、集合 2 213 ,20AxxBx xx，则A BU= A. 12xxB. 11xx C. 211xxx，或D. 1x x 【简解】因为 1 ,12Ax xBxx，所以1ABx xU，故选 D 3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民 族传统文化， 某校学生会为了解本校高一1000 名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽 取 50 名学生进行调查将数据分组整理后，列表如下： 参加场数0 1 2 3 4 5 6 7 参加人数占调查人数的百分比8% 10% 20% 26% 18% m% 4% 2% 以下四个结论中正确的是 A. 表中 m 的

13、数值为10 B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2 场的学生约为180 人 C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4 场的学生约为360 人 D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000 名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔 为 25 【简解】A中的m值应为 12; B中应为 380 人; C是正确的 ; D中的分段间隔应为20，故选 C 4.等比数列 n a的各项均为正实数，其前n项和为 n S.若 326 4,64aa a，则 5 S A. 32 B. 31 C. 64 D.63 【简解】解法一：设首项为 1 a，公比为q，因为0 n a，所以0q，由条

14、件得 2 1 5 11 4 64 aq a q a q ， 解得 1 1 2 a q ，所以 5 31S，故选 B 解法二：设首项为 1 a，公比为q，由 2 264 64a aa ，又 3 4a，2q，又因为 2 1 4aq 所以 1 1a，所以 5 31S，故选 B 5. 已知sin 1 62 ，且 2 0,，则 3 cos= A. 0 B. 1 2 C. 1 D. 3 2 【简解】解法一：由 1 sin 62 ，且 0, 2 得， 3 ，代入 cos 3 得， cos 3 =cos01，故选 C 试卷第 6 页，总 21 页 解法二：由 1 sin 62 ，且 0, 2 得， 3 cos

15、 62 ， 所以 coscoscoscossinsin1 3666666 ，故选 C 6.设抛物线 2 4yx的焦点为F， 准线为l，P为该抛物线上一点，PAl，A为垂足若直线AF 的斜率为3，则PAF的面积为 A. 2 3B. 4 3C.8 D. 8 3 【简解】解法一 :设准线与x轴交于点Q,因为直线AF的斜率为3，2FQ，60AFQ o ， 4FA，又因为PAPF，所以PAF是边长为4 的等边三角形， 所以PAF的面积为 2 2 33 4 =4 3 44 FA故选 B 解 法 二 ： 设 准 线 与x轴 交 于 点Q, )P m n（, 因 为 直 线AF的 斜 率 为3，2FQ， 60

16、AFQ o ，所以2 3AQ，所以2 3n，又因为 2 4nm，所以3m， 又因为4PAPF， 所以PAF的面积为 11 42 3=43 22 PAn故选 B 7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的 三视图，则该几何体的体积为 A.32 B.16 C. 32 3 D. 80 3 【简解】由三视图知,所求几何体的体积为直三棱柱的体积减去三棱锥 的体积 32 1180 442= 323 1 2 故选 D 8.已知函数( )2sinf xx0, 图象的相邻两条对 称轴之间的距离为，将函数( )f x的图象向左平移 3 个单位长度后，得到函数( )g x的图象若函 数( )g

17、 x为偶函数，则函数( )f x在区间0, 2 上的值域是 A. 1 ,1 2 B. 1,1C. 0,2D.1,2 【简解】由图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以T，又因为0，所以 2 ，解 得=2 0, ， 将 函 数( )f x的 图 象 向 左 平 移 3 个 单 位 长 度 后 ， 得 到 函 数 2 ( )2sin2 3 g xx的图象因为函数 ( )g x为偶函数， 所以 2 , 32 kkZ，由 ，解得 = 6 ，所以( )2sin2 6 fxx 因为0 2 x，所以 1 sin21 26 x ，所以函数( )f x在区间0, 2 上的值域是1,2，故 第 7 题 试卷第 7

18、页，总 21 页 选 D 9. 已知g x为偶函数，h x为奇函数，且满足2 x g xh x若存在11x，使得不等 式0m g xh x有解，则实数m的最大值为 A.1 B. 3 5 C. 1 D. 3 5 【简解】由2x gxhx，及g x为 偶函数，h x为奇函数，得 2222 , 22 xxxx g xh x 由0m g xh x 得 22412 1 224141 xxx xxxx m ， 2 1 41 x y 为增函数， max 23 1 415 x ，故选 B 10.如图，双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F， 过 2 F作线段

19、 2 F P与C交于点Q，且Q为 2 PF的中点若等腰 12 PF F的 底边 2 PF的长等于C的半焦距，则C的离心率为 A. 22 15 7 B. 2 3 C. 22 15 7 D. 3 2 【简解】连结 1 QF，由条件知 12 QFPF，且 2 2 c QF由双曲线定义知 1 2 2 c QFa，在 12 RtF QF中， 22 2 22 22 cc ac，解得C的离心率 22 15 7 e， 故选 C 11.如图，以棱长为1 的正方体的顶点A为球心，以2为半径做一个 球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A. 3 4 B.2C. 3 2 D. 9 4 【简解】正方体的表

20、面被该球面被所截得的弧长有相等的三部分,例 如， 与上底面截得的弧长是以 1 A为圆心 , 1为半径的圆周长的 1 4 ,所以 弧长之和为 23 3 42 故选 C. 12. 已知数列 n a满足 1 1a， 2 122 1 24 n n nn na a anan ，则 8 a A. 64 8 92 B. 32 8 92 C. 16 8 92 D. 7 8 92 【简解】因为 2 122 1 24 n n nn na a anan ，所以 22 2 1 241 1 nn nn anan ana ， 所以 2 22 2 1 241 42 nn nnnn anannnn aaaa ， 所 以 2

21、1 1 22 nn nn aa ， 令2 n n n b a ， 则 2 1nn bb， 两 边 取 对 数 得 1 lg2 lg nn bb， 又 第10 第 11 题图 试卷第 8 页，总 21 页 1 1 1 lglg2lg3b a ，所以数列lg n b是首项为 lg 3，公比为2 的等比数列 . 所以 1 12 lglg3 2lg3 n n n b，所以 1 2 3 n n b，即 1 2 32 n n n a ，从而 1 2 32 n n n a ，将8n代 入，选 A. 法二、因为 2 1 22 1 24 n n nn na a anan ，所以 22 2 1 241 1 nn

22、nn anan ana ， 所以 2 22 2 1 241 42 nn nnnn anannnn aaaa ， 所 以 2 1 1 22 nn nn aa ， 令2 n n n b a ， 则 2 1nn bb， 因 为 1 3b， 所 以 2 23b， 所 以 2 24 3 33b， 所以 2 48 4 33b， ，所以 7 264 8 39b。 所以 8 8 8 2b a ， 所以 8 a 64 8 92 ， 故选 A。 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共4 小题，每小题

23、5 分，共 20 分 13.已知两个单位向量,a b r r ，满足3abb，则a与b的夹角为 _ 【简解】因为,a b r r 是单位向量 , 3abb， 2 =3ab 2 （） ，2cos,1a b，cos,60a b ，a与b的夹角为 3 14. 已知点0,2A，动点,P x y的坐标满足条件 0x yx ，则PA的最小值是 【简解】PA的最小值转化成点A到直线yx的距离 2 2 2 d - =， 15. 25 11axx的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为64，则正实数a的值为 _ 【简解】设 25 11axx 234567 01234567 =aa xa xa xa xa xa

24、xa x, 令1x得 01234567 =aaaaaaaa0, 令1x得 2 5 01234567 12 =aaaaaaaaa, -得： 2 5 1357 12 =2+aaaaa，又因为 1357 +=64aaaa， 2 5 12 =128a，解得=3=1aa或（舍） 16.已知函数 2 e ( )ln 2e x f xax有且只有一个零点，则实数a的取值范围是_ 【简解】解法一：由当 1 2 x时，显然 1 2 x不是该函数的零点；当 1 2 x时，由 2 e ( )ln 2e0 x f xax，分离参数得 2 e e ln 2 x a x ，令 2 e e ( ) ln 2 x p x x

25、 ， 试卷第 9 页，总 21 页 函数 2 e ( )ln 2e x f xax有且只有一个零点，等价于直线ya与函数 2 e e ( ) ln 2 x p x x 有且只有一个 零点。利用导数，可判断并得出( )p t的图象如图所示， 因为直线 ya与函数( )p t 的图象的交点个数为1， 由图可知，实数a的取值范围是,0e. 解法二：由 2 e ( )ln 2e x f xax得 2 e 2 ( )lne e x x f xaa.令 2 0 e x tt， 则( )lne t g tata.当 1 e t时， 1 e 1 e0 e g，所以 1 e t不是函数( )g t的零点； 当

26、1 e t时，令( )lne0 t g tata，分离参数得 e ln1 t a t ， 所 以 2 e ()l ne x fxaxaR的 零 点 个 数 问 题 ， 等 价 于 直线ya与 函数 e1 ( )0 ln1e t p ttt t 且的图象的交点个数的问题利用导数，可判断并得出( )p t的图象如图 所示， 试卷第 10 页，总 21 页 因为直线ya与函数 e1 ( )0 ln1e t p ttt t 且的图象的交点个数为1， 由图可知，实数a的取值范围是,0e. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （12 分） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，

27、c若角A，B，C成等差数列，且 3 2 b （1）求ABC的外接圆直径； （2）求ac的取值范围 【解析】（1）由角A、B、C成等差数列， 所以2+BA C， 1 分 又因为+ +=A B C， 所以 3 B ， 2 分 根据正弦定理得，ABC的外接圆直径 3 2 2 =1 sin sin 3 b R B . 4 分 (2)解法一：由（ 1）知， 3 B，所以 2 3 AC，所以 2 0 3 A， 5 分 由（ 1）知ABC的外接圆直径为1，根据正弦定理得， 1 sinsinsin abc ABC ， 6 分 2 sinsinsinsin 3 acACAA 8 分 31 3sincos 22

28、AA 试卷第 11 页，总 21 页 3sin 6 A 9 分 2 0 3 A， 5 666 A 1 sin1 26 A， 11 分 从而 3 3sin3 26 A ， 所以ac的取值范围是 3 ,3 2 12 分 解法二：由（ 1）知， 3 B，根据余弦定理得， 222 2cosbacacB 6 分 2 3acac 7 分 2 221 3 24 ac acac ，(当且仅当ac时，取等号 ) 9 分 因为 3 2 b， 2 3ac，即3ac， 10 分 又三角形两边之和大于第三边，所以 3 3 2 ac， 11 分 所以ac的取值范围是 3 ,3 2 12 分 18. （12 分） 如图，四

29、棱锥PABCD，/ABCD，90BCD， 224ABBCCD，PAB为等边三角形，平面 PAB平面ABCD，Q为PB中点 (1) 求证：AQ平面PBC； (2)求二面角BPCD的余弦值 (1)证明：因为/ABCD，90BCD， 所以ABBC， 又平面PAB平面ABCD，且平面PAB平面 ABCDAB， 所以BC平面PAB， 1 分 又AQ平面PAB，所以BCAQ， 2 分 因为Q为PB中点，且PAB为等边三角形，所以PBAQ， 3 分 又PBBCBI， 所以AQ平面PBC. 4 分 (2)解法一：取AB中点为O，连接PO，因为PAB为等边三角形，所以POAB， 由平面PAB平面ABCD，因为P

30、O平面PAB，所以PO平面ABCD， 5 分 所以POOD，由224ABBCCD，90ABC， 第18 题 试卷第 12 页，总 21 页 可知/ODBC，所以ODAB 以AB中点 O 为坐标原点，分别以,OD OB OP所在直线为 , ,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 6 分 所以0, 2,0 ,2,0,0 ,AD 2,2,0,0,0,23 ,0,2,0CPB， 则2,2,0,2,0,23 ,0, 2,0ADDPCD， 因为Q为PB中点，所以 0,1, 3Q， 由 (1) 知，平面PBC的一个法向量为 0,3,3AQ uuu r . 7 分 设平面 PCD的法向量为 ,

31、 ,nx y z，由 0, 0 n CD n DP 得 20 22 30 y xz ，取1z，则 3,0,1n， 9 分 由 2 31 cos, 4 3331 AQ n AQ n AQ n uuu r r uuu r r uuu r r . 11 分 因为二面角BPCD为钝角， 所以，二面角BPCD的余弦值为 1 4 . 12 分 解法二：取AB中点为O，连接PO，因为PAB为等边三角形，所以POAB， 由平面PAB平面ABCD，所以PO平面ABCD， 5 分 所以POOD，由224ABBCCD，90ABC， 可知/ODBC，所以ODAB 以AB中点 O 为坐标原点，分别以,OA OD OP所

32、在直线为, ,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系Oxyz. 6 分 所以2,0,0 ,0,2,0 ,2,2,0 ,ADC 0,0,23 ,2,0,0PB， 所以 2,2,0,0,2,23 ,ADDP 2,0,0CD， 由(1)知，可以AQ uuu r 为平面 PBC 的法向量， 因为Q为PB的中点， 所以 1,0,3Q， 由 (1) 知 ， 平 面PBC的 一 个 法 向 量 为 3,0,3AQ uuu r ， 7 分 设平面 PCD 的法向量为, ,nx y z， 由 0, 0 n CD n DP 得 20 22 30 x yz ， 取1z，则 0,3,1n， 9 分 x y z

33、O x y z O 试卷第 13 页，总 21 页 所以 2 31 cos, 4 333 1 AQ n AQ n AQ n uuu r r uuu r r uuu r r 11 分 因为二面角BPCD为钝角， 所以，二面角BPCD的余弦值为 1 4 . 12 分 解法三： 过点B作PC的垂线 BH，交PC于点H，连结DH . 由解法一或二知 PO平面ABCD，CD 平面 ABCD，所以 POCD.由条件知ODCD， 又PO ODO，所以CD平面POD， 又PD平面POD，所以CDPD， 又CDCB，所以RtPDCRtPBC， 所以DHPC， 由二面角的定义知，二面角BPCD的平面角为 BHD.

34、 7 分 在Rt PDC 中，4,2PBBC，2 5PC， 由PB BCBH PC，所以 424 5 5 2 5 PB BC BH PC . 8 分 同理可得 4 5 5 DH， 9 分 又2 2BD.在BHD中， 222 cos 2 BHDHBD BHD BH DH 10 分 22 2 4 54 5 22 55 1 4 4 54 5 2 55 . 所以，二面角BPCD的余弦值为 1 4 . 12 分 19.（12 分） 最近，中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018 年 7 月，大部分一线城 市的房租租金同比涨幅都在10%以上 某部门研究成果认为，房租支出超过月收入

35、1 3 的租户 “ 幸福指 数” 低，房租支出不超过月收入 1 3 的租户 “ 幸福指数 ” 高为了了解甲、 乙两小区租户的幸福指数高低， 随机抽取甲、乙两小区的租户各100 户进行调查甲小区租户的月收入以0 3，3 6，6 9， 9 12，12 15，（单位：千元）分组的频率分布直方图如下： 第18 题 H O 试卷第 14 页，总 21 页 乙小区租户的月收入（单位：千元）的频数分布表如下： 月收入0 3，3 6，6 9，9 12，1215， 户数38 27 24 9 2 （1）设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M表示事件 “ 甲小区租户的月收入低于6 千元，乙 小区租户的月收入不低于6 千元 ” .把频率视为概率，求M的概率； （2）利用频率分布直方图，求所抽取甲小区100 户租户的月收入的中位数； （3）若甲、乙两小区每户的月租费分别为2 千元、 1 千元请根