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1、第 1 讲空间几何体的三视图及表面积 和体积的计算问题 高考定位1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主 要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结 合，面积与体积的计算作为其中的一问. 真 题 感 悟 1.(2016 全国卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 互相垂直的半径 .若该几何体的体积是 28 3 ，则它的表面积是 () A.17 B.18 C.20 D.28 解析由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心 O 且互相垂 直的三个平面 ) 切掉左上角的 1 8后得到的组合体，其表面积是球面面积的 7
2、 8和三个 1 4圆面积之和， 易得球的半径为 2，则得 S 7 84 2 231 4 2 217. 答案A 2.(2017 全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何 体的三视图， 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积 为() A.90 B.63 C.42 D.36 解析法一(割补法 )由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面 虚线部分所得，如图所示. 将圆柱补全，并将圆柱体从点A 处水平分成上下两部分 .由图可知，该几何体的 体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的 1 2，所以该几何体的体积 V 3 24 3261 263. 法二(
3、估值法 )由题意知， 1 2V 圆柱V几何体V圆柱，又 V圆柱 3 21090 ， 45 V几何体90.观察选项可知只有63 符合. 答案B 3.(2017 全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个 球的球面上，则该圆柱的体积为() A. B.3 4 C. 2 D. 4 解析如图画出圆柱的轴截面ABCD，O 为球心.球半径 ROA1，球心到底面 圆的距离为 OM 1 2. 底面圆半径 rOA 2OM2 3 2 ，故圆柱体积 Vr 2 h3 2 2 13 4 . 答案B 4.(2017 全国卷)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球O 的球面上， SC 是球 O 的直径.
4、若平面 SCA平面 SCB，SAAC，SBBC，三棱锥 SABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为 _. 解析如图，连接 OA，OB，因为 SAAC，SB BC，所以 OASC，OBSC. 因为平面 SAC平面 SBC，平面 SAC平面 SBCSC，且 OA? 平面 SAC，所以 OA平面 SBC. 设球的半径为 r，则 OAOBr，SC2r， 所以 VASBC1 3S SBCOA 1 3 1 22rrr 1 3r 3， 所以 1 3r 39? r3，所以球的表面积为 4 r 236. 答案36 考 点 整 合 1.空间几何体的三视图 (1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对
5、正、高平齐、宽相 等. (2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确 定几何体 . 2.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： S柱侧ch(c 为底面周长， h 为高)； S锥侧1 2ch( c 为底面周长， h 为斜高)； S台侧1 2(cc) h(c ，c 分别为上下底面的周长， h为斜高 )； S球表4 R 2(R 为球的半径 ). (2)柱体、锥体和球的体积公式： V柱体Sh(S为底面面积， h 为高)； V锥体1 3Sh(S为底面面积， h 为高)； V球 4 3 R 3. 热点一空间几何体的三视图与直观图 【例 1】 (1)“牟合
6、方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造 的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同 一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞 (方盖).其直观图如图， 图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时， 它的俯视图可能是 () (2)(2017 泰安模拟 )某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该 三棱锥最长的棱长等于 () A.42 B. 34 C. 41 D.5 2 解析(1)由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可 见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B 可以是几何体的俯视图. (2
7、)根据几何体的三视图，知该几何体是底面为直角三角形，两侧面垂直于底面， 高为 5 的三棱锥 PABC(如图所示 ). 棱锥最长的棱长 PA251641. 答案(1)B(2)C 探究提高1.由直观图确定三视图， 一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确 认.二要熟悉常见几何体的三视图. 2.由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面. (2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对 应的棱、面的位置 . (3)确定几何体的直观图形状. 【训练 1】 (1)(2017 兰州模拟 )如图，在底面边长为 1，高为 2 的正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，
8、点 P 是平面 A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD 的正视图与侧 视图的面积之和为 () A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(2016 天津卷 )将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几 何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为() 解析(1)设点 P 在平面 A1ADD1的射影为 P ，在平面 C1CDD1的射影为 P ，如 图所示 . 三棱锥 PBCD 的正视图与侧视图分别为 P AD 与P CD， 因此所求面积 SSP ADSP CD 1 212 1 2122. (2)由几何体的正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图，故其侧视图为图 . 答案(1)B(2
9、)B 热点二几何体的表面积与体积 命题角度 1空间几何体的表面积 【例 21】(1)(2016 全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视 图，则该几何体的表面积为() A.20 B.24 C.28 D.32 (2)(2017 全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方 形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多 面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为() A.10 B.12 C.14 D.16 解析(1)几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为 c，圆 锥母线长为 l，圆柱高为 h. 由三视图知 r2，c2 r4
10、 ，h4. 所以 l2 2（2 3）24. 故该几何体的表面积S表 r 2ch1 2cl4 16 8 28. (2)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S梯1 2 (24)26，S全梯6212. 答案(1)C(2)B 探究提高1.由几何体的三视图求其表面积： (1)关键是分析三视图确定几何体中 各元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公 式. 2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处 理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. 【训练 2】 (2017枣庄模拟 )如图，某三棱锥的三视图是三个边
11、长相等的正方形 及对角线，若该三棱锥的体积是 1 3，则它的表面积是 _. 解析由题设及几何体的三视图知， 该几何体是一个正方体截去4 个三棱锥后剩 余的内接正三棱锥BA1C1D(如图所示 ). 设正方体的棱长为a，则几何体的体积是Va 341 3 1 2a 2 a1 3a 31 3， a1，三棱锥的棱长为2， 因此该三棱锥的表面积为S4 3 4 ( 2) 22 3. 答案2 3 命题角度 2空间几何体的体积 【例 22】(1)正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为3，D 为 BC 中点，则三棱锥 AB1DC1的体积为 () A.3 B.3 2 C.1 D. 3 2 (2)(2
12、017 山东卷 )由一个长方体和两个 1 4圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几 何体的体积为 _. 解析(1)如图， 在正ABC 中，D 为 BC 中点，则有 AD 3 2 AB3， 又平面 BB1C1C平面 ABC，ADBC，AD? 平面 ABC，由面面垂直的性质定 理可得 AD平面 BB1C1C，即 AD 为三棱锥 AB1DC1 的底面 B1DC1上的高 . VAB1DC1 1 3S B1DC1 AD1 3 1 22 331. (2)该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1 的长方体和两个半径为1，高为 1 的 1 4圆柱体构成，所以 V21121 4 1 212 2. 答案(1)C(2)2 2 探究提高1.求三棱锥的体积： 等体积转化是常用的方法， 转换原则是其高易求， 底面放在已知几何体的某一面上. 2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则 几何体以易于求解 . 【训练 3】 (1)(2016 山东卷 )一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图 所示.则该几何体的体积为 () A. 1 3 2 3 B.1 3 2 3 C.1 3 2 6 D.1 2 6 (2)(2017 北京卷 )某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()