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1、第 52 讲空间角及其计算 1在正方体ABCD-A1B1C1D1中， BC1与平面 BDD1B1所成的角为 (A) A30 B45 C60D90 取 B1D1的中点 E，连接 C1E，BE， 因为 C1E平面BDD1B1，所以C1BE 即为所求角 . 因为 sin 2 2 2 1 2，所以 30 ，选 A. 2正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60 ，则该棱锥的体积为(B) A3 B6 C9 D18 棱锥的底面对角线长为22 3cos 60 23，高为 2 3sin 603，设底面边长为 a，则2a23，所以 a6， 所以底面面积为a 2 6， 所以其体积V 1 363 6，所以选
2、B. 3已知二面角 -l-的大小为60 ， m， n 为异面直线，且m ，n ，则 m，n 所成 的角为 (B) A30B60 C90D120 4如图，平面 平面 ，A ，B ，AB 与平面 、所成的角分别为 4和 6.过 A、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A、 B，若 AB12，则 AB (B) A. 4 B6 C8 D9 连接 AB，设 ABa，可得 AB 与平面所成的角为 BAB 4，在 Rt BAB 中，有 AB 2 2 a. 同理可得 AB 与平面 所成的角为 ABA 6 ， 所以 AA1 2a. 因此在 Rt AAB中， A B 2 2 a 2 1 2a 21 2a， 因为 A
3、B12，所以 AB6，故选 B. 5长为 2a 的线段 AB 在平面 内的射影线段A1B1的长为 a，则直线 AB 与平面 所成 的角的大小为60 . 设直线 AB 与平面 所成的角为 ，则 cos a 2a 1 2，则 60 . 6已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2 倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于 3 6 . 如图， O 为底面正ABC 的中心，则OP平面 ABC， PCO 即为所求角， 设 AB 1， 则 PC 2，OC 3 3 ， 所以 cos PCO OC PC 3 6 . 7(2017 天津卷 )如图，在四棱锥P-ABCD 中， AD 平面 PDC，ADBC，PDPB， AD1，
4、BC3，CD4， PD2. (1)求异面直线AP 与 BC 所成角的余弦值； (2)求证： PD平面 PBC； (3)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 (1)如图，由已知AD BC，故DAP 或其补角即为异面直线AP 与 BC 所成的角 因为 AD 平面PDC，直线 PD? 平面 PDC， 所以 AD PD. 在 Rt PDA 中，由已知，得APAD 2PD2 5， 故 cos DAP AD AP 5 5 . 所以异面直线AP 与 BC 所成角的余弦值为 5 5 . (2)证明：由 (1)知 AD PD.又因为 BC AD，所以 PD BC. 又 PD PB，PBBCB，所以 PD
5、平面PBC. (3)过点 D 作 DF AB，交 BC 于点 F，连接 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于AB 与 平面 PBC 所成的角 因为 PD 平面PBC，所以 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影， 所以DFP 为直线 DF 和平 面 PBC 所成的角 由于 AD BC，DF AB，故 BFAD1. 由已知，得CFBCBF2. 又 AD DC，所以 BC DC. 在 Rt DCF 中，可得DF CD 2CF22 5， 在 Rt DPF 中，可得sin DFP PD DF 5 5 . 所以直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 5 5 . 8(2014 新课程卷 )
6、直三棱柱ABC-A1B1C1中， BCA 90 ，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点， BC CACC1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为(C) A. 1 10 B. 2 5 C. 30 10 D. 2 2 取 BC 的中点 D，连接 MN， ND，AD， 由于 MN 綊 1 2B1C1 綊 BD，因此 ND 綊 BM， 则 ND 与 NA 所成的角即为异面直线BM 与 AN 所成的角 设 BC 2，则 BM ND6，AN5，AD5， 因此， cos AND ND 2NA2AD2 2ND NA 30 10 . 9已知正四面体A-BCD 的棱长为a. (1)AC 与平面BCD 所成
7、角的余弦值为 3 3 ； (2)二面角 A-BD-C 的平面角的余弦值为 1 3 . 设 A 在底面 BCD 上的射影为O，连接 OA，连接 OC 并延长与BD 相交于 E，连 接 AE. (1)因为 AO平面BCD ，所以ACO 就是 AC 与平面 BCD 所成的角 因为BCD 是正三角形， 所以 O 是 BCD 的中心 在 Rt AOC 中， OC 2 3 3 2 a 3 3 a， 所以 cos ACO OC AC 3 3 . 所以 AC 与平面 BCD 所成角的余弦值为 3 3 . (2)因为四面体A-BCD 为正四面体， 所以BCD 和 ABD 都为正三角形， 所以 OE BD 且 A
8、E BD， 所以AEO 为二面角A-BD-C 的平面角， 所以 OE1 3 3 2 a 3a 6 ，AE 3 2 a， 所以 cos AEO OE AE 1 3. 所以二面角A-BD-C 的平面角的余弦值为 1 3. 10如图，已知菱形ABCD 的边长为a，ABC60 ，PC平面 ABCD，且 PCa，E 为 PA 的中点 (1)求证：平面BED平面 ABCD； (2)求 PB 与平面 P AC 所成角的正弦值； (3)求二面角D-PA-B 的平面角的余弦值 (1)证明：设 AC 交 BD 于 O，连接 OE，因为 O 是 AC 的中点， E 是 PA 的中点， 所以 OE PC，又 PC平面
9、ABCD， 所以 OE平面ABCD， 因为 OE? 平面 BED，所以平面BED平面ABCD. (2)连接 OP，因为 ABCD 是菱形，所以BD AC， 又 PC平面 ABCD，所以 BD PC， PCACC，所以 BD平面PAC， 所以 OP 是 BP 在平面 P AC 上的射影， 所以BPO 即为所求角 在 Rt BPO 中， OB 3 2 a，PB2a， 所以 sin BPO OB PB 6 4 . 所以 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为 6 4 . (3)过 D 作 DF PA 于 F，连接 BF，由 (2)知 BD PA， DFBDD，所以 PA平面BFD，BF? 平面 BFD ， 所以 PA BF， 所以DFB 即是所求二面角的平面角 在 DFB 中，可考虑用余弦定理求DFB . 因为 PD PA2a， 取 AD 的中点 G，连接 PG，则 PG AD， PGPD 2DG27 2 a， 由等面积法知ADPGPA DF， 得 DF a 7 2 a 2a 14 4 a， BFDF 14 4 a， BD3a， 所以 cos DFB 14 16a 214 16a 23a2 2 14 16a 2 5 7. 所以二面角D-PA-B 的平面角的余弦值为 5 7.