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1、立体几何练习（1） 1.（ 2015 安徽理 7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）. A.1 3 B.2 3 C.1 2 2 D. 2 2 2.（ 2015 北京理 7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）. A. 25 B. 45 C. 2 2 5 D. 5 3 .（2014 浙江理3）某几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则此几何体的表面积是（ ）. A. 2 90cmB. 2 129cmC. 2 132cmD. 2 138cm 俯视图 侧视图正视图 3 3 33 3 44 4.(2016 北京理 6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）.
2、 A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D.1 5.（ 2017 北京理 7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）. A.3 2B.2 3C.2 2D.2 球 6.（ 2015 全国 2 理 9）已知,A B是球O的球面上两点，90AOB，C为该球面上的动点，若三棱锥 OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（） A.36B. 64C.144D. 256 7.（2014 陕西理5） 已知底面边长为1，侧棱长为2 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球 的体积为（）. A. 32 3 B. 4C. 2D. 4 3 俯视图 侧（左）视图 正（主）视图 22 2 1
3、 1 1 2 1 2015 安徽理 7 正 主() 视图侧 左() 视图 俯视图 11 2 1 2015 北京理 7 2014 浙江理3 (2016 北京理 6) 2017 北京理 7 8 .（2017 江苏 6）如图所示，在圆柱 12 OO内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切记圆柱 12 OO的体积为 1 V，球O的体积为 2 V，则 1 2 V V 的值是 9 .（2014 湖南理7）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能 得到的最大球的半径等于（）. A.1B.2C.3D.4 10 （2017 天津理 10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上
4、，若这个正方体的表面积为18，则这个球 的体积为. 立体几何探究性问题 11.（2015 四川理 14）如图所示， 四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所 在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，,EF分别为AB，BC的中点， 设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为. 12.（2016 全国丙理 10）在封闭的直三棱柱 111 ABC ABC内有一个体积为V的球，若 ABBC，6AB，8BC， 1 3AA ，则V的最大值是（）. A.4B. 9 2 C.6D. 32 3 13.（2017 全国 1 卷理科 16）如图所示， 圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形
5、ABC 的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA， FAB 分别是以BC，CA，AB为底 边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使 得 D ， E ， F 重合，得到三棱锥.当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： 3 cm）的最大值为 _. 侧视图 正视图 俯视图 12 8 6 O O1 O2 M QP F E D C B A 2014 湖南理7 O F E D C B A 答案 立体几何练习（1） 23.（2015 安徽理 7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）. A.1 3 B.2 3 C.1 2 2D.2
6、2 23.解析由该几何体的三视图得到的直观图如图所示，其中侧面 PAC底面ABC， 且PACABC由三视图中所给数据可知， 2PAPCABBC 取AC的中点O，连接PO，BO，则在RtPOB中，1POBO，所以 2PB ， 所以PAB与PBC都是边长为 2 的等边三角形，所以 PAB S 163 2 222 PBC S ，所以 31 222 123 22 S .故选 24.（2015 北京理 7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）. A. 25 B. 45 C. 22 5 D. 5 24.解析三视图对应的立体图形如图所示， 1 222 2 ABC S， 5ACBC ， 俯视图
7、 侧（左）视图 正（主）视图 22 2 1 1 1 2 1 正 主() 视图侧 左()视图 俯视图 11 2 1 15 51 22 ACPBCP SS ， 6APBP ，ABP是以AB为底的等腰三角形， 高 615 ，所以 1 255 2 ABP S. 综上所述，表面积 55 2522 5 22 S . 故选 C. 12 .（ 2014 浙江理3）某几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则此几何体的表面积是（ ）. A. 2 90cmB. 2 129cmC. 2 132cmD. 2 138cm 俯视图 侧视图正视图 3 3 33 3 44 12 . 解析由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一
8、个长方体组合而成（如图） ，其表面积为 2 1 35243433324324636138 cm 2 S. 33 4 34 评注本题考查三视图的概念和性质，空间几何体的直观图和表面积的计算，考查运算求解能力和空间想 象能力 . 由三视图得几何体的直观图是解题的关键. 13 .（ 2014 新课标 2 理 6）如图所示，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm） ，图中粗线画出的是某 P C B A 零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积 与原来毛坯体积的比值为（）. A. 17 27 B. 5 9 C. 10 27 D. 1 3 13 .解
9、析由三视图知该零件是两个圆柱的组合体.一个圆柱的底面半径为 2cm，高是4cm；另一个圆柱的 底面半径为3cm ，高为 2cm .设零件的体积 223 1 24 3234Vcm.而毛坯的体积 23 3654Vcm， 因此切削掉部分的体积 3 21 54 34 20VVVcm ， 所以 2 2010 5427 V V . 故选 C. 16 .（ 2014 江西理5）一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）. 16 . 解析由几何体的直观图知， 该几何体最上面的棱横放且在中间的位置上，因此它的俯视图应排除 A， C， D，经验证B 符合题意，故选B. 17 .（2014 湖南理
10、7）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球 ，则能 得到的最大球的半径等于（ ）. A.1B.2C.3D.4 A. B. C. D. 左（侧）视 俯视 主（正）视 17 . 解析由三视图知该石材表示的几何体是一个直三棱柱，该直三棱柱的底面是两直角边长分别为 6 和 8的直角三角形， 其高为12要得到最大球，则球与三个侧面相切，从而球的半径应等于底面直角三角形的 内切圆的半径，故半径 2 2 6810 S r ，其中 S 为底面直角三角形的面积. 故选 B. 39.(2016 北京理 6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）. A. 1 6 B. 1 3
11、 C. 1 2 D.1 12 题图 39.A 解析如图所示，题中的三棱锥即长、宽、高分别为 2，1，1 的长方体中的四面体ABCD，所以其体 积为 11 11 1 11 33 26 BCD VSh .故选 A. 1 11 1 C B D A 42.（2107 全国 2 卷理科 4）如图所示， 网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）. A90B63C42D36 侧视图正视图 俯视图 12 8 6 42解析该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半，如图所示 22 11 3103663 22 VV
12、V 总上.故选 B. 4 6 6 43.（2017 北京理 7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）. A. 3 2 B.2 3 C.2 2D.2 43. 解析几何体四棱锥如图所示，最长棱为正方体的体对角线，即 222 2222 3l .故选 B. 球： 1.（ 2015 全国 2 理 9）已知,A B是球O的球面上两点，90AOB，C为该球面上的动点，若三棱锥 OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（） A.36B. 64C.144D. 256 1.解析根据题意，可得图如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时， 三棱锥OABC的体积最大，则可设球O的半径为R
13、， 此时 O ABCC AOB VV 23111 36 326 RRR，故 6R， 则球O的表面积为 2 4144 SR.故选 C 5.（2014 陕西理5） 已知底面边长为1，侧棱长为2 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球 的体积为（）. A. 32 3 B. 4C. 2D. 4 3 5. 解析如图为四棱柱 1 AC.根据题意得2AC，所以对角面 1 ACCA为正方形，所以外接球直径 1 22RAC，所以1R，所以 4 = 3 V球 ，故选 D. 11 .（2017 江苏 6）如图所示，在圆柱 12 OO内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切记圆 柱 12 OO的体积为 1
14、V，球O的体积为 2 V，则 1 2 V V 的值是 O O1 O2 O C B A 11 .解析设球O的半径为 r，由题意 2 1 2Vrr， 3 2 4 3 Vr ，所以 1 2 3 2 V V 故填 3 2 12 （2017 天津理 10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球 的体积为. 12.解析设正方体的边长为a， 则 22 6183aa.外接球直径为正方体的体对角线，所以 233Ra ， 344279 3382 VR. 17 .（2014 湖南理7）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球 ，则能 得到的最大球的半径等
15、于（ ）. A.1B.2C.3D.4 17 . 解析由三视图知该石材表示的几何体是一个直三棱柱，该直三棱柱的底面是两直角边长分别为 6 和 8的直角三角形， 其高为12要得到最大球，则球与三个侧面相切，从而球的半径应等于底面直角三角形的 内切圆的半径，故半径 2 2 6810 S r ，其中 S 为底面直角三角形的面积. 故选 B. 立体几何难题 1.（2015 四川理 14）如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形， 它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ上，,E F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大 侧视图正视图 俯视图 12 8 6 值为. 1
16、.解析建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB，0, ,1 01Myy剟， 则 1 1, ,0 2 AF， 1 ,0,0 2 E， 1 , ,1 2 EMy . 由于异面直线所成的角的范围为 0, 2 ， 所以 2 11 22 cos 11 11 44 y y 2 2 1 545 y y ， 2 2 22 21 4181 cos1 545545 yy y yy ， 令81yt，19t剟，则 2 81161 ,1 81 455 2 y y t t ， 所以 2 4 cos0, 25 ，故cos的最大值为 2 5 ，此时 0y . 2. （2016 全国丙理 10）在封闭的直三棱柱 1 11 ABC
17、 ABC 内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB，8BC， 1 3AA，则V的最大值是（）. A.4B. 9 2 C.6D. 32 3 2.B 解析如图所示，假设在直三棱柱 111 ABC ABC中，有一个球与平面 1 1 ABBA，平面 11 BCCB，平 11 AACC面相切，其俯视图如图所示.设其球的半径为r， 则 1 68 2 2, 11 (6810) 22 ABC ABC S r C 且 1 23rAA,，得 3 2 r ,. M QP F E D C B A z y x A B C D E F P Q M 因此，直三棱柱内球的半径最大值为 3 2 ，则 3 3 max 4439
18、3322 Vr.故选 B. 3.（ 2017 全国 1卷理科 16）如图所示， 圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA， FAB 分别是以BC，CA，AB为底 边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA， FAB ，使 得D，E，F重合，得到三棱锥 .当 ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： 3 cm）的最大值为 _. O F E D C B A 13.解析由题意，联结 OD，交BC于点G，如图所示，则ODBC， 3 6 OGBC， 即OG的长度与BC的长度成正比.设OGx，则23BCx，5DGx，三棱锥的高 2222 25102510hDGOGxxxx， 2 1 2 333 3 2 ABC Sxxx ， 则 21 32510 3 ABC VShxx 45 =32510xx .令 45 2510f xxx， 5 0, 2 x， 34 10050fxxx，令 0fx ，即 43 20xx，2x，当0fx，得 5 2 2 x ，所以f x在 0,2上单调递增，在 5 2, 2 上单调递减 .故 280fxf ，则 3804 15V ， 所以体积的最大值为 3 415 cm . B A C C1 B1 A1 C B A