第13届全国中学生物理竞赛复赛试题及解答.pdf

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1、第十三届全国中学生物理竞赛复赛试题 1. 如图所示，有一由匀质细导线弯成的半径为 的圆线和一内接等边三角 形的电阻丝组成的电路 （电路中各段的电阻值见图） 。在圆线圈平面内有垂 直纸面向里的均匀磁场， 磁感应强度 B随时间 t 均匀减小，其变化率的大小 为一已知常量 k。已知 2r13r2。求：图中 AB两点的电势差 UA-UB。 2. 长度为 4 毫米的物体 AB由图所示的光学系统成像，光学系统又一个直角 棱镜、一个汇聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸均标示于 图上，求：像的位置；像的大小，并作图说明是实像还是虚像，是正立还是 倒立的。 3. 如图所示，四个质量均为 m的质点，用

2、同样长度且不可伸长的轻绳连接成 菱形 ABCD ，静止放在水平光滑的桌面上。若突然给质点A一个历时极短 CA 方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A的速度为 V，其他质点也获得一定 的速度， BAD 2（R ），且与环面垂直，如图所示。已知环上均匀带 电，总电量为 q，试问： 1. 当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少？ 2. 当导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势如何？ 3. 当导体球的电势为 VO时，球球上总电荷又是多少？ 4. 情况 3 与情况 1 相比， 圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？ 5. 情况 2 与情况 1 相比， 圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？

3、 注已知：装置不变时，不同的静电平衡 带电状态可以叠加， 叠加后仍为静电平衡状 态。 5、 有一个用伸缩性极小且不漏气的布料制作的气球（布的质量可忽略不计） ， 直径为 d2.0 米，球内充有压强P01.00510 5帕的气体，该布料所能承受 的最大不被撕破力为fm8.5 10 3 牛/ 米 （即对于一块展平的一米宽的布料， 沿布面而垂直于布料宽度方向所施加的力超过8.5 10 3 牛时，布料将被撕 破）。开始时，气球被置于地面上，该处的大气压强为Pao1.00010 3 帕， 温度 T0293开，假设空气的压强和温度均随高度而线性地变化，压强的变 化为 p-9.0 帕/ 米，温度的变化为 T

4、-3.0 10 -3 开/ 米，问该气球上升到 多高时将撕破？假设气球上升很缓慢， 可以为球内温度随时与周围空气的温 度保持一致，在考虑气球破裂时， 可忽略气球周围各处和底部之间空气压强 的差别。 6. 有七个外形完全一样的电阻， 已知其中 6 个的阻值相同， 另一个的阻值不 同，请按照下面提供的器材和操作限制，将那个限值不同的电阻找出， 并指 出它的阻值是偏大还是偏小， 同时要求画出所用电路图， 并对每步判断的根 据予以论证。 提供的器材有：1 电池；2 一个仅能用来判断电流方向的电流表（量程足够）， 它的零刻度在刻度盘的中央， 而且已知当指针向右偏时电流是由哪个接线柱 流入电流表的； 3导

5、线若干 操作限值：全部过程中电流表的使用不得超过三次。 第十三届全国物理竞赛复赛试题解答 一、在各段电路上，感应电流的大小和方向如图复解13 - 1 所示电流的分布，已考虑到 电路的对称性，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律，对半径为 的圆电路，可得 2 a k = 2 1 r 1 I + 1 r 1 I 对等边三角形三个边组成的电路，可得 33 2 ak / 4 = 2 2 r 2 I+ 2 2 r 2 I 对由弦 AB 和弧 AB 构成的回路，可得 （ 2 a -33 2 a / 4）k / 3 = 1 r 1 I - 2 r 2 I 考虑到，流进 B 点的电流之和等于流出B 点电流之和，

6、有 1 I+ 2 I= 1 I+ 2 I 由含源电路欧姆定律可得 A U- B U= 2 ak /3 - 1 I 1 r 由以上各式及题给出的 2 r= 2 1 r/ 3 可解得 A U- B U= - 3 2 ak / 32 二、解法一 ： 1、分析和等效处理 根据棱镜玻璃的折射率，棱镜斜面上的全反射临界角为 c= arcsin ( 1 / n ) 42 注意到物长为4mm，由 光路可估算， 进入棱镜的近轴 光线在斜面上的入射角大多 在45 左右，大于临界角，发 生全反射。 所以对这些光线而 言，棱镜斜面可看成是反射 镜。本题光路可按反射镜成像 的考虑方法，把光路“拉直” 如图复解13 2

7、- 1 所示。现 在，问题转化为正立物体经过 一块垂直于光轴、厚度为6cm 的平玻璃板及其后 的会聚透镜、发散透镜成像的问题。 2、求像的位置；厚平玻璃板将使物的近轴光 线产生一个向右侧移动一定距离的像，它成为光 学系统后面部分光路的物，故可称为侧移的物。 利用沿光轴的光线和与光轴成角的光线来讨论 就可求出这个移动的距离。 A BC O r1 r2 图复解 13 - 1 r1 r1 r2 2r2 I2 I1 I1 I2 I1 I2 Dl B B d d 图复解 13 - 2 - 2 AB 6cm 10cm5cm L1L2 6cm 6cm A B 图复解 13 - 2 - 1 设轴上的物点为B。

8、由于厚平玻璃板的作用（即侧移的物点）为B（如图复解13 2 - 2 所示）。画出厚平玻璃板对光线的折射，由图可知l = d（ctg） 而d = D（tg- tg） 所以l = D （1 tg/ tg） 当 为小角度时tg/ tgsin/ sin= 1/n 故得l = D （1 1 / n）= 2 cm 这也就是物AB 与它通过厚玻璃板所成的像之间的距离。这个像对透镜 1 L来说就是物，而 物距 1 u= （6 2 ）+ 6 + 10 cm = 20 cm 可见，物正好在 1 L的左方焦平面上，像距即为 1 v= 。 再考虑透镜 2 L，这是平行光线入射情形， 2u= 。 所以必须成像于这个发散

9、透镜 2 L左侧的焦平面上（虚像） 2 v= 2 f= - 10 cm 整个光路的最后成像位置就是在 2 L 的左侧 10 cm 处。 3、求像的大小和虚、实、正、倒情况：可用作图法求解，如图复解13 2 - 3 所示（为 了图示清楚图中把物高加大了）。 连接 A 1 O并延长，便得到发自A 的光线经 1 L后的平行 光线的方向。过 2 L的光心 2 O作 A 1 O的平行线， 它与 1 L交于 C 点， 则 A C 即为从 A 发出经过 1 L折 射后又通过 2 L 光心的光线。反向延长C 2 O 与 2 L 左侧焦平面的交点A 就是 A 由 1 L与 2 L所成的像 点。 令 2 L左侧焦

10、面与光轴的交点为B 。BA就 是BA的像，这是一个正立的虚像。由图可得 BA= 2 ftg BA = 1 f tg 而BA与 AB 等高，所以像的大小为 BA= （ 2f/ 1 f）BA= 2 mm 解法二 ：关于物体AB 经棱镜（折射，反射， 折射）后，所成像的位置及大小可采用视深法处 理。如图复解13 2 - 4 所示， AB 发出的、与PQ 面近乎垂直的小光束经PQ 面折射后成像于 11B A 这是视深问题。 1 A、 1 B与 PQ 面的距离均为A、 B 与 PQ 面的距离的n 倍，即 11B C= nBC1 11B A= AB（像与物的大小相 同） 11B A经 PR 面的反射成像于

11、 22B A，大小不变， 且 BCnPCBCCCBCBC 1111121222 22B A 经 QR 面后折射成像于BA，大小不变， 且 BC3= n/)BCPQ(n/)BCnPCQC(n/)BCCC(n/BC(11111222323 A B f2 f1 C A B O2 O1 L1 L2 图复解 13 - 2 - 3 A1B2 AB A2 B2 A B PQ R C1 C2 C3 图复解 13 - 2 - 4 =（6 / 1. 5 + 6）cm = 10 cm 由此即可求出这个像BA作为透镜 1 L的物的物距，其它部分的求解同解法（一）。 三、由对称性可知，C 点的速度也必沿CA 方向，设其

12、大小为 C v。D 的速度可以分解 为平行于v 和垂直于v 的分速度，其大小分别设为 2D1D vv和。同样， B 的速度也类似地分解 为平行和垂直于v 的二个分速度，其大小 设为 2B1B vv和 ，如图复解13 - 3 所示， 根据 对称性，必有 2D2B 1D1B vv vv 2 1 由于绳子不可伸长，A 沿 DA 的分速度 和 D 沿 DA 的分速度一定相等， C 沿 CD 的分速度和D 沿 CD 的分速度也相等，即 sinvcosvcosv sinvcosvcosv 2D1DC 2D1D 4 3 另一方面， 设绳子 AD 给质点 D 的冲量的大小为 1 I ，绳子 DC 给质点 C

13、冲量大小为 2 I 。 注意到绳子DC 给质点 D 的冲量的大小同样也是 2 I（各冲量的方向均沿绳子方向）。由对称 性还可以判定，绳子AB 给质点 B 的冲量的大小也是 1 I，绳子 BC 给质点 B 和 C 的冲量的 大小都是 2 I，根据动量定理，可分别列出关于质点D 平行和垂直于v 的方向以及质点C 平 行于 v 方向的关系式如下： cosI2mv sinIsinImv cosIcosImv 2C 212D 211D 7 6 5 由（ 3） （7）式可解出本题所需的 2D1D vv和、 C v )sin21/(2cosvv )sin21/(2sinvv )sin21/(vv 2 C 2

14、 2D 2 1D 据此结果和（1） 、 （2）式，此系统的总动量为 )sin21/(mv4mvmv2mvP 2 C1D ，方向沿 CA 方向。 此系统的总动能为 22 C 2 2D 2 1D 22 DCBA sin21/mv2vv2v2vm 2 1 EEEEE 四、1、见图复解13 4 。导体是一个等势体，所以导体球接地（ 球V= 0 ）时，对于 球心点有 球心 V= 球 V= 0 （1） A B D v C 图复解 13 - 3 vD1 vD2 vB1 vB2 vC 另一方面， 可以直接计算球心点的电势。因为所有感应电荷都分布在球面上，它们到球心的 距离都是 R，而圆环上电荷到球心的距离都是

15、 22 ar，所以 球心V= K感q/ R + Kq / 22 ar （2） 式中 感q就是要求的感应电荷总量。由 （1） 、 （2）两式即得 感q= - Rq / 22 ar （3） 2、导体球不接地时，其电势可通过 对球心的电势计算而求得： 球 V= 球心 V= K 面q/ R + K q 22 ar（4） 式中 面q表示分布在球面上所有电荷的代数和，而导体球体内是不会有电荷分布的。由于题 给导体球为电中性，即 面q= 0，所以由（ 4）式得 球 V= K 面q/ 22 ar（5） 3、导体球的电势为 0 V 时，再以球心点考虑： 球心V = 球V = 0V（6） 而另一方面，球心的电势是

16、球面上电荷和圆环上电荷分别产生的电势的迭加： 球心 V= K 面 q/ R + K q 22 ar（7） 导体球的总电荷就是球面上的电荷总量，由（6） 、 （7）两式解得 总 q= 面q= R0 V/ K - Rq 22 ar（8） 4、对比（ 8）式和（ 3）式可知，情况3 比情况1 只是在导体球上多了电荷R 0 V/ K ， 而导体球的电势相应地由零变为 0 V 。可以设想从情况1 出发， 把导体球与地断开而维持原 来的 感q大小及分布不变， 再把电荷R 0V/ K 均匀地加到球面上， 正是它使球的电势变为0V， 即成为情况3。对于球外的圆环来说，这些加上的电荷对它的作用力相当于集中在球心

17、处的 等量点电荷对它的作用力，这也就是圆环受到的作用力。 由于圆环上的电荷均匀发布，对圆环中心到球心的连线具有轴对称性，把圆环上各线元 电荷受到上述等效点电荷的作用力沿二心连线方向的分量相加，就是圆环多受到的作用力。 所以，其方向是沿二心向外（图中向右）。大小是 F = K 2/322 0 22 22 0 )ar( RaqV ar a ar q)K/RV( （9） 5、可直接应用情况4 的结果， 只是现在把 （9）式中的0V用情况 2 中的球V值，即将（ 5） R O a r O / 图复解 13 - 4 式代入即可。所以，情况2 比情况 1 圆环多受的力方向仍为沿二心连线向外（图中向右），

18、大小是 222 2 22 2/322 )ar ( Raq K ar Kq )ar ( Raq KF 五、 当气球充满气体而球内压强大于球外时，布料即被绷紧， 布料各部分之间产生张力， 正是这种张力可能使布料被撕裂。设想把气球分成上下两个半球，它们的交线是一个直径为 d 的圆周，周长为d，所以要从这条交线处撕破气球，至少需要的张力为dfm，另一方 面，考虑上半球（包括半球内的气体）受力的情况，它受到三个力作用： 1、下半球的球面布料所施加的张力F； 2、上半球外空气对它的压力的合力，其大小为4/pd a 2 ， a p是气球所在高度处的大气 压强； 3、下半球内气体对它的压力为 4/pd 2 ，

19、式中 p 为气球内气体的压强。忽略浮力时，上 述三力相互平衡，即 4/pd 2 = 4/pd a 2 + F 而当 F df m时，布料即被撕裂，所以，气球破裂的条件是 4/ppd a 2 dfm（1） 设气球破裂发生在高度h 处，则 hpp p0aa （2） 而该处温度hTT T0（3） 这个温度也就是破裂时气球内气体的温度。又因为气球在上升过程中球内气体是等容变 化，所以有p / T = 00 T/p 即p = 00 T/Tp（4） （2） 、 （4）和（ 3）式代入（ 1）式，得 h m101.2 )T/p( )pp()d/f4( 3 pT00 0a0m 即所球上升到m101.2 3 高

20、度以上就将破裂。 六判断所用电路如图复解13 6 。a 、b 、c、d 为四个电阻。P、Q 间可接电流计， 由电流计中电流I 的方向可判断出P、 Q 两点中哪一点的电势较高。可能出现下列三种情况： 1、I = 0 ，这表示四个电阻的阻值相等。 2、I 从 P 到 Q，这表示P 点电势较高， a 、b 、 c、d 中有一电阻偏大或偏小。有下列四种可能：b 偏大； c 偏大； a 偏小； d 偏小。 3、I 从 Q 到 P，这表示P 点电势较低，有四种可能；a 偏大； d 偏大； b 偏小； c 偏小。 P Q ab cd 图复解 13 - 6 应采取的实验步骤和判断：设7 个电阻为、，阻值相同的

21、称 为正常电阻，阻值不同的那个为特异电阻。 第一次测量：将、分别接入a 、b 、c、d 位置，这时可有以下三种情况： 情况 A：I 向下，则有四种可能：大；大；小；小。 情况 B：I 向上，则有四种可能：大；大；小；小。 情况 A 和情况 B 中，其余三个电阻、均正常。 情况 E：I = 0，这时，、正常，特异电阻在、中。 第二次测量：若情况A 或情况 B 成立，进行第二次测量时将、对调，即将、 、分别接入a 、b 、c、d 位置。这时可能有以下两种情况 情况 C：I 向下，则有四种可能：大；大；小；小 情况 D：I 向上，则有四种可能：大；大；小；小 若情况E 成立，特异电阻在、，第二次测量

22、取其中两个，例如、放于电 路中 a 、b 位置， c、d 位置用正常电阻，则有三种情况： 情况 F：I 向下，则有二种可能：小；大； 情况 G：I 向上，则有四种可能：小；大； 情况 H：I = 0，这时，、均正常，特异电阻即为 前二次测量分析： 若情况 A、C 成立，则只有两个可能：小；大。 若情况 A、D 成立，则只有两个可能：小；大。 若情况 B、C 成立，则只有两个可能：小；大。 若情况 B、D 成立，则只有两个可能：小；大。 若情况 E、F 成立，则只有两个可能：小；大。 若情况 B、G 成立，则只有两个可能：小；大。 若情况 E、F 成立，则只有一个可能：即为特异电阻，偏大抑或偏小待定。 第三次测量： 无论以上前6 种情况哪一种成立，可疑电阻的范围均缩小成为两个，可能 是某一个偏小， 或是某一个偏大。 第三次测量可将可能偏小的电阻与三个正常电阻接入电路， 根据电流计的电流方向即可判断出它或者确实偏小或者是正常电阻。若是前者， 这个电阻就 是特异电阻。若后者成立，则可能偏大的那个电阻，阻值确实偏大，是特异电阻。 对于情况 E、H，只需测定的阻值偏大或偏小。用及三个正常电阻接入电路，即可 根据测定结果作出判断。 注：若第一次测量结果为情况A 或 B，进行第二次测量时可以利用正常电阻、 中的任意两个代替、中的任意两个，分析与判断方法与上述相似。