第24炼恒成立问题——最值分析法(含恒成立综合习题).pdf

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1、第 24 炼 恒成立问题最值分析法 最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目 中的恒成立问题。此方法考研学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基 本功。是导数中的难点问题。 一、基础知识： 1、最值法的特点： （1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参 （2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响 可能经历分类讨论 2、理论基础：设fx的定义域为 D （1）若xD，均有fxC（其中C为常数），则 max fxC （2）若xD，均有fxC（其中C为常数），则 min fxC 3

2、、技巧与方法： （1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间， 所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作： 观察函数fx的零点是否便于猜出（注意边界点的值） 缩小参数与自变量的范围： 通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析） 观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立） ，缩小 自变量的取值范围 （2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性。如果所构 造的函数， 其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造 一个新函数，再想办法解决其符号。 （3）在考虑函数

3、最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极 值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内。 二、典型例题： 例 1：设 2 22fxxmx，当1,x时，fxm恒成立，求m的取值范围 思路：恒成立不等式为 2 220xmxm，只需 2 min 220xmxm，由于左端 是关于x的二次函数，容易分析最值点位置，故选择最值法 解：恒成立不等式为 2 220xmxm， 令 2 22g xxmxm则对称轴为xm （1）当1m时，g x在1,单调递增， min 11220g xgmm 3m即3, 1m （2）当1m时，g x在1,m单调递减，在,m单调递

4、增 22 min 22021g xg mmmmm 1,1m终上所述：3,1m 小炼有话说： 二次函数以对称轴为分解，其单调性与最值容易分析。所以二次恒成立不等式 往往可考虑利用最值法，此题中对称轴是否在区间内将决定最值的取值，故以此为分类讨论 点。 思路二：从另一个角度看，本题,m x容易进行分离，所以也可考虑参变分离法 解： 22 220212xmxmxmx （1） 1 210 2 xx时，则 2 min 2 21 x m x ( 由于m系数符号未定，故分类讨论进行参 变分离） 令21,0txt（换元时注意更新新元的取值范围） 则 2 22 1 2 22919 4 =21 2144 t xt

5、t t xttt （2） 1 210 2 xx，不等式对任意的m均成立 （3） 1 210 2 xx， 2 max 2 21 x m x (注意不等号变号！ ！ ） 令21, 10txt,则 2 22 1 2 22919 4 =23 2144 t xtt t xttt 3m 综上所述：3,1m 小炼有话说： （1）此题运用参变分离法解题并不简便，不仅要对x分类讨论，还要处理一个分式函数的 最值，所以两个方法请作一对比 （2）最后确定m的范围时，是将各部分结果取交集 ，因为分类讨论是对x进行的，m的取 值要让每一部分必须同时成立才可，所以是“且”的关系，取交集 例2 ： 已 知 函 数 2 ln

6、 x fxaxxa， 对 任 意 的 12 ,0,1x x， 不 等 式 12 1fxfxa恒成立，则 a的取值范围是_ 思路：若不等式恒成立，则 12 max 1afxfx， 1 fx与 2 fx差的最大值即为 fx最大值与最小值的差。所以考虑求 2 ln x fxaxxa在0,1的最大最小值， ln2ln1 ln2 xx fxaaxaaax，若1a，则10,ln0 x aa，所以 1 ln0 x aa ，若0 1a ，则10,ln0 x aa，所以1 ln0 x aa 。而2 0x ， 所以无论a为何值， 0fx，则fx在0,1单调递增。 maxmin 10lnfxfxffaa，从而1ln

7、aaa，解得ae 答案：, e 例 3：已知函数ln10fxaxa，在区间1,e上，fxx恒成立，求a的取值 范围 思路一：恒成立的不等式为ln1axx即ln10axx, 令ln1g xaxx观察 到两点特征： (1)g x导函数易分析单调性， （2）10g, 对单调性会有一定要求进而限 制参数a的取值。所以考虑使用最值法求解。 解：fxx恒成立即不等式ln10axx恒成立，令ln1g xaxx 只需 min 0g x即可，10g 1 aax gx xx ，令 00 ax gxxa x （分析g x的单调性） 当1a时g x在1,e单调递减，则 0 10g xg (思考：为什么以1a作为分界点

8、讨论？因为找到10g，若要不等式成立， 那么一定从1x处 起g x要增 （不一定在 1,e 上恒增，但起码存在一小处区间是增的）， 所以1a时导致g x在1x 处开始单减，那么一定不符合条件。由此请体会零点对参数范围所起的作用） 当1a时，分xa是否在1,e中讨论（最小值点的选取） 若1ae，单调性如表所示 x1,a,a e gx + g x 10 1 0 g ae g e 1eae （ （ 1）可以比较 1 ,gg e 的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦。由于最小值只会在 1,xxe处取得，所以让它们均大于0 即可。（2）由于1,xxe并不在1,e中，所以求得的只 是临界值，临界值等

9、于零也符合条件） 若ae，则g x在1,e上单调递增，10g xg，符合题意 综上所述：1ae 小炼有话说：此题在1a的情况也可不分类讨论，因为从单调区间分析来看，在1 +，中 xa是极大值点，不可能是最小值，所以无论xa是否在1,e，最小值（或临界值） 均只会在边界处产生，所以只需 10 1 0 g ae g e 即可 思路二： 不等式ln10axx中a与x便于分离， 所以只要分离后的x的函数易分析出 单调性，那么就可考虑运用参变分离法 解： 1 ln10 ln x axxa x ，令 1 ln x g x x ，则只需 max ag x即可 2 1 ln1 ln x x gx x （单调性

10、受分子影响，但无法直接分析） 令 1 ln1h xx x ，10h（h x求导函数，便不含ln x，可分析单调性，且零点找 到，所以方法二可继续进行） 22 111 ( )01, x h xxe xxx h x 在 1,e 上单调递增 10h xh （体会零点配合单调性对确定函数符号的作用） ( ) g x0，g x 在1,e上单调递增 1g xg ee1ae（g x无最大值，只有临界值，故可取等号） 小炼有话说：第一点是分析 ( ) g x时由于 ( )gx形式复杂并没有对 ( )g x直接求导，而是把 分子拿出来分析。因为我们只关心导函数的符号，而分母符号恒正，所以要体会导函数的符 号是对

11、原函数的单调性最有价值的。第二点是体会零点与单调性合作可确定函数的符号，这 也是分析h x的重要原因 例 4： 已知 1 1 ax x fxe x ，若对任意的 0,1x ，均有 1fx ，求a的取值范围 思路： 恒成立不等式为 1 1 1 ax x e x ，可参变分离但函数比较复杂，所以考虑利用最值法来 分析。发现0x时，左右两边刚好相等。这也为最值分析提供方向 解：令 1 1 1 ax x g xe x ，00g（g x从0x起应单调递增） 2 2 2 1 ax axa gxe x 令 0gx，即 22 202axaaxa 下面分情况讨论： 0a时， 0gx恒成立，g x在0,单调递增

12、0,1 ,00xg xg 0a时， 222 1 a x aa 2 11 a 0,1x， 0gx恒成立，g x在0,单调递增 0,1 ,00xg xg 0a时， 2 22 1 a x aa 2a时， 2 2a x a 恒成立，g x在0,单调递增 0,1 ,00xg xg 2a时， 222aa xx aa g x在 2 0, a a 单调减，在 2 ,1 a a 单调递增 2 0,(0)0 a xg xg a ，不符题意，舍去 综上所述：2a 小炼有话说：本题导函数形式简单，所以直接对参数进行分类讨论与取舍 例 5： 已知函数 2 1 x fxexax对任意的0,x，均有0fx，求实数a 的范围

13、 思路：此题可用最值法求解，先做好准备工作，00f，所以函数要从0x开始增， 求导观察特点： 解：00f ( )21 x fxeax （不易直接出单调性，但是发现其中 00f，且 fx再 求一次导，其导函数容易分析单调性。进而可解） 00f 2 x fxea，令 0fx即2 x ea，下面进行分类讨论： （1）当0a时， 0fx， fx单调递增。 00fxf fx单调递增，00fxf，满足条件 （此处为此题最大亮点，体会三点：单调性与零点是如何配合来确定 ,fxfx的符号的； 每一步的目的性很强， fx的作用就是以符号确定fx的单调性， 所以解题时就关注 fx的符号。 而符号的确定同样要靠二阶

14、导数与一阶导函数的零点配合来得到； ,fxfx的零点是同一个， 进 而引发的连锁反应） （2）当0a时，ln 2xa（ln 2a可正可负，而0,x，所以讨论ln 2a的符号） 当 1 ln 200 2 aa时，ln 2xa恒成立，即 fx恒大于零，则： fx单调递增。 00fxf fx单调递增，00fxf，满足条件 当 1 ln 20 2 aa，则0 ,ln2xa时， 0fx即 fx在0,ln2 a单调递减， 00fxffx在0,ln2 a单调递减，00fxf，不符题意，故 舍去 综上所述： 1 2 a时，0fx恒成立 小炼有话说： 这道题的重要特点在于 ,fxfx的零点是同一个， 进而会引发

15、“连锁反应” 。 大家在处理多次求导问题时，一定要清楚每一层导数的目的是什么，要达到目的需要什么， 求出需要的要素。 例 6：已知函数ln1fxxax，aR （1）求函数fx的单调区间 （2）若 ln 20 x fx x 对于任意的1,x恒成立，求a的取值范围 解：（ 1） 1 axa fx xx 0x 令 0fx即0xa 当0a时， 0fx恒成立。fx在0,单调递增 当0a时，解得xa x0, a,a gx + g x （2）思路：恒成立不等式为 ln 22 ln20 x xax x ，即 2 22ln2ln0xaxxxx 若参变分离，分离后的函数较为复杂（也可解决）。所以考虑最值法，观察当

16、1x时，左 边的值为0，所以对左边的函数的单调性有所制约，进而影响参数a的取值。 解：恒成立不等式等价于 2 22ln2ln0xaxxxx 设 2 ( )22ln2lng xxaxxxx，10g 1 421ln2gxxax x 1422123gaa 0g x恒成立，10g 10g否则若 10g，由于 gx连续 所以必存在区间1,m使得 0gx，即g x在1,m单调递减 进而 0 1,xm， 0 10g xg，不符题意 （本质：10g，所以要保证从1x开始的一段小区间要单调增，进而约束导数符号） 3 2 a（这是a要满足的必要条件，最终结果应该是这一部分的子集，下面证 3 2 a均满足条件 或者

17、寻找一个更精确的范围） 下面证任意的 3 2 a均满足条件。 构造函数 2 ( )23 ln2lnh xxxxxx（ 3 2 a时的g x） 则( )23ln0g xh xaxx 1,xg xh x，若要0g x恒成立，只需证明0h x即可 10h 11 ( )43 1ln243ln5h xxxxx xx 10h 2 222 41131431 40 xxxx hx xxxx 成立 hx在1,单调递增， 10h xh h x在1,单调递增，10h xh成立 3 2 a时，1, ( )0xg xh x恒成立，符合题意 3 2 a 小炼有话说： （1）h x的构造的来源：g x的解析式可看为以a为自

18、变量的一次函数G a，且单调 递增（ln0xx），所以对于 3 , 2 a ，无论x为何值， 3 2 G aG ，即 g xh x，与恒成立的不等式不等号方向一致。 （2）本题核心想法是利用不等式化参数函数为常值函数（函数的放缩） ，进而便于对参数a 取值范围的验证。 （3）归纳一下解决此题的方法：为最值法解恒成立问题的另一个方法构造中间函数 首先先说考虑使用这个方法的前提： 以参数为自变量的函数结构简单（最好单调） 参数缩小后的范围，其不等式与含参函数不等号方向，以及单调性保持一致（在本题中 3 2 a，而 2 ( )22ln2lng xxaxxxx刚好关于a单调递增，且要( )0g x。故

19、可 引入h x位于( )g x与0之间） 其步骤如下： 代入自变量的特殊值缩小参数的取值范围（有可能就得到最终结果），记为A 因为最终结果A的子集，所以只需证明A均符合条件或者寻找更小的范围 如果函数是关于参数的一次函数（或单调函数），可通过代入参数的边界值（临界值） 构造新函数并与原函数比较大小 证明新函数介于原函数与不等式右侧值之间，进而说明A中的所有值均满足条件，即为 最后结果 例 7： 已知函数 21 2ln, 2 fxaxaxx aR， 若在区间1,上，0fx恒 成立，求实数a的取值范围 思路：考虑用最值分析法，但可考虑先利用1x缩小a的讨论范围 解： 1 120 2 faa 1 2

20、 a 2 21112121 11 22 2 axxaxax fxaxa xxx 令 0fx，即2110211axax （1） 1 210 2 aa时，即 1 1 , 2 2 a ， 0fx恒成立fx在1,单调 递减 10fxf满足条件 （2） 1 2 a时， 2 1 2ln 2 fxaxaxx ，考虑 44 ln0 2121 aa f aa ，不符 题意，舍去 （注：这里需要对函数值进行估计，显然 1 0 2 a，总有一个时刻， 21 2 2 axax 大于零，进而 0fx，所以考虑代入特殊值来说明。对于，所以构造时只需要 2 1 20 2 axax 即可，解得 4 1 21 a x a ，进

21、而舍掉 1 2 a的情况） 例8 ： 已 知 函 数 1 x ax fx be ， 曲 线yfx在 点1,1f 处 的 切 线 方 程 为 2 10xeye。其中2.71828e为自然对数的底数 （1）求,a b的值 （2）如果当0x时， 1 2 x k fx e 恒成立，求实数k的取值范围 解： （1） 2 1 1 xx x a bebe ax fx be 22 1 1 11 a beabea f bebe ，切线方程： 22 1 11 e yx ee 22 1 11 a bee ，而1 1 a f be 且在切线中， 1 1 y e 22 1 11 1 11 a bee a bee 解得：

22、 1 1 a b 1 x x fx e （2）思路：恒成立不等式为： 2 21 1 xx xk ee ，若参变分离，则分离后的函数过于复杂， 不利于求得最值， 所以考虑利用最值法，先变形不等式， 由于 2 1 x e的符号不确定 （以0x 为界） ，从而需进行分类讨论。当0x时，不等式变形为： 2 1210 xx k exek， 设 2 121 xx g xk exek，可观察到00g，则若要0x时，0g x， 则需 00g，进而解出0k，再证明0k时，0g x即可。将k的范围缩至0k 时再证明0x时，0g x即可。 解：由（ 1）可得恒成立的不等式为： 2 21 1 xx xk ee 当0x

23、时， 2 2 21 211 1 xx xx xk xeke ee 2 1210 xx k exek 设 2 121 xx g xk exek，可得00g 2 2 121 xx gxk exe 若 00g，则 0 0x，使得 0 0,xx时， 0g x g x在 0 0,x单调递减则 0 0,xx时，00g xg与恒成立不等式矛盾 00g不成立 00g 02 120gk解得：0k 下面证明0k均可使得0x时，0g x 2 2 121211 xxxx gxk exeek ex 0k1110 xx k exex 0gxg x在0,单调递增00g xg，即不等式恒成立 当0x时， 2 2 21 211 1 xx xx xk xeke ee 2 12100 xx k exekg x 0k同理， 2110 xx gxek ex g x在,0单调递增00g xg 即0k时不等式在,0x恒成立 综上所述，0k 例 9： 设函数( )(1) x f xaex（其中2.71828e） ， 2 ()2gxxb x，已知它们在 0x处有相同的切线.