第十三章第三节极限(099月最新更新).pdf

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1、-精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 第三节极限 第一部分五年高考荟萃 2009 年高考题 一、选择题 1、 （ 09 重庆理 8） 已知 2 2 lim()2 1 x x axb x ，其中,a bR，则ab的值为（） A.6 B.2C.2D.6 【解析】 222(2)() 2(2)() limlimlim2 1 11 1 xxx b a xab xaxaxbxba xab xb x xx x 20 ,2,4,2( 4)6 ()2 a abab ab 则解得故 答案D 2、 （ 09 湖北理 6） 设 2 22212 01212 2 ). 2 nnn nn xaa

2、xa xaxax（， 则 22 024213521 lim(.)(.) nn n aaaaaaaa（） A.-1 B.0 C.1 D. 2 2 【解析】令0x得 2 0 21 () 22 n n a令1x时 2 0122 2 (1) 2 n n aaaa 令1x时 2 0122 2 (1) 2 n naaaa 两式相加得： 22 022 22 (1)(1) 22 2 nn naaa 两式相减得： 22 1321 22 (1)(1) 22 2 nn n aaa 代入极限式可得，故选B 答案B 二、填空题 3、（09陕西理 13）设等差数列 n a的前 n 项和为 n S,若 63 12aS,则

3、2 lim n n S n . -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 611 22 31 125122 11 (1)limlim1 12122 nn n nn aada SSnn Sn n saddnnnn 解析： 答案1 20052008 年高考题 一、选择题 1、 （ 2007 年江西） 32 1 lim 1 x xx x （） 等于0等于1等于3不存在 答案B 2、 （2007 年湖北）已知p和q是两个不相等的正整数，且2q， 则 1 11 lim 1 11 p q n n n （） A0 B1 C p q D 1 1 p q 答案 3、 （ 2006 湖南）

4、数列 n a 满足 : 1 1 3 a, 且对于任意的正整数m,n 都有 m nmn aaa, 则 12 lim() n n aaa( ) A. 1 2 B. 2 3 C. 3 2 D.2 【解析】 数列 n a满足 : 3 1 1 a, 且对任意正整数nm,都有 nmnm aaa 21 111 1 9 aaaa， 11 1 3 nnn aaaa，数列 n a是首项为 3 1 ， 公比为 3 1 的等比数列。 )(lim 21n n aaa 1 1 12 a q ，选 A. 答案A 4、 （ 2005 年全国理5） 22 1 12 lim 3243 x xxxx ( ) A 1 2 B 1 2

5、 C 1 6 D 1 6 【解析】 22 1 12 lim 3243 x xxxx 1 12 lim (1)(2)(1)(3) x xxxx -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 11 (1)11 limlim (1)(2)(3)(2)(3)2 xx x xxxxx ,选(A) 答案A 二、填空题 5、 （ 2008 上海 2） 计算： 1 31 lim 32 n nn n . 答案 1 3 6、（2007 年全国理16） 已知数列的通项an=5n+2,其前 n 项和为 Sn, 则 2 lim n n S n = . 答案- 2 5 【解析】数列的通项an=5n+2，

6、其前 n 项和为 Sn ( 51) 2 nn ，则 2 lim n n S n = 2 5 . 7、 （2006 天津） 设函数 1 1 x xf，点 0 A表示坐标原点，点 * ,NnnfnAn，若向 量 01121nnn aA AA AAA， n是n a与i的夹角，（其中0, 1i ） ，设 nn Stantantan 21 ，则 n n Slim= 【解析】 函数 1 1 x xf，点 0 A表示坐标原点，点 * ,NnnfnAn，若向量 01121nnn aA AA AAA= 0n A A， n是n a与i的夹角， 1 1 1 tan (1) n n nn n （其 中0 , 1i）

7、，设 nn Stantantan 21 1111 1 1 22 3(1)1n nn ， 则 n n Slim=1 答案1 8、 （ 2005 年上海 2） n n n 21 2 lim. 答案0 三、解答题 9、 （ 2007 年辽宁） 已知数列 n a， n b与函数( )fx，( )g x，xR满足条件： nn ab， 1 ()()() nn f bg bnN*. （I）若 ( )102f xtxtt， ，( )2g xx，( )( )f bg b，lim n n a 存在，求x的取 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 值范围； （II ）若函数( )yf x为

8、R上的增函数， 1 ( )( )g xfx，1b，(1)1f，证明对任意 nN*，lim n n a （用t表示） ( ) 解法一：由题设知 ,2 11 1 1 nn n ba tbna 得 11 2 nn a t a，又已知2t, 可得 ). 2 2 ( 22 2 1 t a t t a nn 由 2 2 ,0 2 ,0 22 2 ,0,2),()( 1 t a t t t tb t attbgbf n 所以可知 是等比其首项为 2 , 2 t t t tb公比为.于是 . 2 ) 2 )( 2 () 2 )( 2 ( 2 2 1, 1 t tt t t tba t t t tb t a n

9、 n n n 即 又 liman存在，可得0 | 2 | t 1, 所以 -2 t2 且 .0t . 2 2 lim t an n 解法二 . 由题设知tbn+1=2bn+1, 且.2t可得 ). 2 1 ( 22 1 1 t b t t b nn 由, 0,2),()(ttbgbf可 知0 2 , 0 2 1t t b, 所 以 2 1 t bn 是 首 项 为 2 1 t b, 公 2 t 的等比数列 . . 2 1 ) 2 )( 2 1 (,) 2 )( 2 1 ( 2 1 11 t t t bb t t b t b n n n n 即 由 1 2 nn ba可知，若 n n alim存

10、在，则 n n blim存在 . 于是可得0| 2 | t 1, 所以 -1 t0. n n alim=2 n n blim. 2 2 t 解法三 : 由题设知tbn+1=2bn+1, 即 , 2 1 2 1nn b t b 于是有 , 2 1 2 12nn b t b - 得 得令,),( 2 1112nnnnnnn bbcbb t bb -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - . 2 1nn c t c 由 0 2 ,0 2 1)2( 10, 2),()( 12 tbt bbcttbgbf可知，所以nc是首 项为 b 公比为 2 t 的等比数列，于是 .)( 2 1

11、 ) 2 (1 )( 121211 bbb t t bcccb n nn t t ba n nn 2 ) 2 (1 4 2 1 （b2-b1）+2b. 又 n n alim存在，可得0| 2 | t 1, 所以 -2 t2且. 0t . 2 2 2)( 2 4 lim 12 t bbb t an n 说明：数列 n a通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以 标准 . ( ) 证明：因为)(),)(),()( 11 (1 1 1 nnnnn afbbfbgaxfxg即所以. 下面用数学归纳法证明 1n a*)(Nnan. (1) 当n=1 时，由f(x) 为增函数 , 且)

12、1(f1, 得 ) 1()( 11 fbfa1 ) 1()( 12 fafb1 )( 22 bfa 1 )1(af， 即 2 a 1 a，结论成立 . （2）假设 n=k 时结论成立，即 1k a k a. 由f(x) 为增函数，得 )(1kaffka即 2k b 1k b进而得 )( 1k aff( 1k b) 即 2k a 1k a. 这就是说当n=k+1 时，结论也成立. 根据（ 1）和（ 2）可知，对任意的*)(Nn， 1n a n a. -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 第二部分三年联考汇编 2009 年联考题 一、选择题 1 、 ( 2009 年3 月

13、 襄 樊 市 高 中 调 研 统 一 测 试 理 ) 2 2 2 lim 68 x x xx 的值为( ) A0 B1 C 1 2 D 1 3 答 案C 2、(湖北省八市 2009年高三年级三月调考理) 若(1+5x) n 的展开式中各项系数之和为an，(7x 2 1)n的展开式中各项的二项式系数之和为bn，则 n lim nn nn ba ba 43 2 的值是（） A 3 1 B 4 1 C1 D 2 1 答 案A 3、（2009 衡阳四校联考） 若P x axx x 4 2 lim 2 2 2 （PR， P为常数） ， 则 a 和 P 的值分别为 （） A 0， 2 1 B 1， 4 3

14、 C 2 1 , 2 1 D 4 3 ,1 答 案D 4、 （ 2009 牟定一中期中）若 2 2234 1 6511111 lim,lim() 1 n xn xx a xaaaaa 则的 值为（） A. 2 B. 3 1 C. 2 1 D. 7 12 答案B 5、 （ 2009 宣威六中第一次月考）下列命题不正确 的是（ ） A如果f (x) = 1 x ，则 lim x+ f (x) = 0 B如果f (x) = 2 x1，则 lim x 0 f (x) = 0 C如果f (n) = n 2 2n n + 2 ，则 lim n f (n) 不存在 D如果f (x) = x，x0 x + 1

15、 ，x 0， 5 1 ()ax x 的展开式中， 3 x的系数为 5 81 ， 则 2 lim() n n aaa 答案 1 2 17、 （2009 宣威六中第一次月考） 11 23 lim 23 nn nn n = . 答 案-3 三、解答题 18、 （2009 冠龙高级中学3 月月考） 由函数yfx确定数列 n a， n afn，函数 yfx的反函数 1 yfx能确定数列 n b， 1 n bfn，若对于任意 * nN， 都有 nn ab，则称数列 n b是数列 n a的“自反数列” 。 (1) 若函数 1 1 px fx x 确定数列 n a的自反数列为 n b，求 n a的通项公式；

16、(2) 在(1) 条件下， 记 n xxx n 111 21 为正数数列 n x的调和平均数， 若 2 1 1 n n d a ， n S为数列 n d的前n项和， n H为数列 n S的调和平均数，求 n H n n lim； (3) 已知正数数列 n C的前n项之和 1 2 nn n n TC C 。求 n T的表达式。 解(1) 由题意的： f 1(x)= px x1 = f(x)= 1 1 x px ，所以 p = 1，所以 an= 1 1 n n (2) an= 1 1 n n ，dn= 1 1 2 n a =n， Sn为数列 dn的前 n 项和， Sn= 2 ) 1(nn ，又 H

17、n为数列 Sn的调和平均数， Hn= n SSS n 111 21 = ) 1( 2 32 2 21 2 nn n = 2 ) 1(n n H n n lim= n n n 2 1 lim= 2 1 (3) 因为正数数列 cn 的前 n 项之和 Tn= 2 1 (cn+ n c n )， -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 所以 c1= 2 1 (c1+ 1 1 c )，解之得： c1=1，T1=1 当 n2 时， cn = Tn Tn 1，所以 2Tn = Tn Tn 1 + 1nnTT n ， Tn +Tn 1 = 1nn TT n ，即： 2 1 2 nn T

18、T= n， 所以， 2 2 2 1nn TT= n 1， 2 3 2 2nn TT= n 2， ， 2 1 2 2 TT=2，累加得： 2 1 2 TTn=2+3+4+ + n， 2 n T=1+2+3+4+ + n = 2 )1(nn ，Tn= 2 )1(nn 19、 （2009 上海普陀区）设数列 n a的前n项和为 n S， 3 1 4 a. 对任意 * Nn，向 量 1, n aa、 1 1 , 2 n ba 都满足ab，求lim n n S . 解 因为0aba b，所以由条件可得 1 2 n n a a， * Nn. 即数列 n a是公比 1 2 q的等比数列 . 又 3 12 1

19、 a a q ，所以， 1 12 lim 1 13 1 2 n n a S q . 9 月份更新 1.（2009 上海八校联考） n a是无穷数列，已知 n a是二项式(12 ) (*) n xnN的展开式各 项系数的和，记 12 111 n n P aaa ，则lim n n P_。 答案 1 2 2.（2009 上海青浦区） 已知数列 n a，对于任意的正整数n， )2010( .) 3 1 (2 )20091(1 2009 n n a nn ， ， 设 n S 表示数列 n a的前n项和下列关于 n n Slim的结论，正确的是 （） A1lim n n SB2008lim n n S

20、C )2010(.1 )20091(2009 lim n n Sn n ， （*Nn）D以上结论都不对 答案B -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 3.（2009 上海九校联考）设常数a0， 5 1 ()ax x 的展开式中， 3 x的系数为 5 81 ， 则 2 lim() n n aaa 答案 1 2 20072008 年联考题 一、选择题 1、 （ 2008 荆门市实验高中测试） 2 2 lim 21 n anbnc ann 等于( ) A.1 B. 2 b C. c D.1 或 2 b 答 案D 2、 （ 2008 荆门市实验高中测试）下列极限存在的是( )

21、 2 1 lim x x 0 1 lim x x 2 2 1 lim 32 x x xx 2 1 1 lim 1 x x A. B. C. D. 答 案C 3、 （ 2008 荆门市实验高中测试）已知 a,b 时互不相等的正数，则lim nn nn n ab ab 等于（） A.1 B.1 或 1 C.0 D.0 或 1 答 案B 4、 (淮南市部分重点中学2007 年高三数学素质测试）设)(lim, )0( )0(2 )( 0 xf xe xbx xf x x 若 存在，则常数b 的值是（） A0 B1 C 1 D e .答 案B 5、 (巢湖 2007 二模 )若1) 11 ( 2 1 l

22、im x b x a x , 则常数ba,、的值为（） A.4, 2 ba， B. 4,2 ba， C. 4, 2 ba， D. 4, 2 ba .答 案C 6、(皖南八校2007 届一联）xxx x 22 1(lim的值为（） A0 B不存在C 2 1 D 2 1 .答 案C 7、（南昌市2007-2008 学年度高三第一轮复习训练）已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4， 4 则这个数列的第2006 个数是( ) -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - A 62 B.63 C 64 D 65 答 案B 8、 （南昌市2007-2008 学年度高三第一轮复习训练）

23、函数 f（x） = 1 1 2 2 x xx 的不连续 点为( ) A x=1B x=1 C x=1D 以上答案都不对 答 案A 9、 （南昌市2007-2008 学年度高三第一轮复习训练）用数学归纳法证明命题时，此命题 左式为 1111 23421 n ，则 n=k+1 与 n=k 时相比，左边应添加( ) A 1 1 21 k B 1 111 22121 kkk C 1 1111 2212221 kkkk D 1 11 221 kk 答 案C 二、填空题 10、 （2008 荆门市实验高中测试）若 1 lim1, () n a nnan 则常数。 .答 案2 11、 （2008 荆门市实验

24、高中测试） 32 2 sin2sin1 lim sin1x xx x _。 答 案1 12、 （2008 宣威六中高三数学测试） 32 2 sin2sin1 lim sin1x xx x _。 答 案1 13、 （安徽宿州三中2007 年三模） 已知 32 3 3 lim 3 x xaxx b x ，则 1 1 lim nn nn n ab ab 。 答 案- 8 三、解答题 14、 （2008 荆门市实验高中测试）求 2 4 sin 22cos lim cossinx xx xx 解 2 sin 22cos 2cos cossin xx x xx 4 lim2cos2cos2 4x x原式

25、15、 （2008 荆门市实验高中测试）已知 1 31 lim 3 31 n n n n a ，求 a 的取值范围 . -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 解依题意有： 11 lim 3 1 3 3 n n a 1 lim0 3 n n a1 1 3 a 42a 16、 (南昌市 2007-2008 学年度高三第一轮复习训练)已知递增等比数列 an满足： a2+a3+a4 28 且 a3+2 是 a2和 a4的等差中项， 求数列 an 的通项公式； 若 22 1 loglog (4) n nn b aa ，Snb1b2 bn，求lim n n S 解： （1）设公比

26、为q，则1q。 据题意得： 2 2 2 222 (1)24 2(2) aqq a qaa q2 2 1 2 () 2 4 16 qq a a 或舍去 所以2 n n a （2）因为 2 22 111 11 () log 2 log 2(2)22 n nn b n nnn 所以 1111 (1) 2212 n S nn 故 3 lim 4 n n S 17、 (南昌市 2007-2008 学年度高三第一轮复习训练) 数列 *1 10, 2 n nnn n a ansanN a 中，前项和且 （1）求 1,2n a aa并猜想的表达式 （ 2）证明猜想的正确性 解： 1 11 1 1 111 2

27、a nas a 时 2 111 220,0,31aaaa 1 又则同理得， 2 53a 猜想2121 n ann （2）证明： n=1 时， 1 31a -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 假设 n=k 时，猜想正确，即2121 k akk 又 1 11 1 11 22 kk kkk kk aa ass aa 1 2321211211 k akkkk 即 n=k+1 时也成立 * 2121 n nNann对都有 18、 (南昌市 2007-2008 学年度高三第一轮复习训练)函数 bx a xf 21 1 )(的定义域为R， 且).(0)(limNnnf n （ 1

28、）求证：;0,0 ba （ 2）若 1 ,0)(, 5 4 ) 1 (在且xff上的最小值为 2 1 ， 求证：nnfff)()2()1()( 2 1 2 1 1 Nn n . 解( )fx定义域为R，120,2,0.0, bxbx aaxRaa即而若则 ( )1lim()0,0 n f xfna与矛盾 1 lim()lim 12 bx nn fn a 1(021) 1 (21)210,0,0 1 0(21) b bb b bab a 即故 由知 ) 1(, 1, 2 1 1 1 , 2 1 )0(, 1 , 0)(fa a fxf即上为增函数在 2 141141 ,2,2.( )1 1254121414 x b bxxx bf x a kN当时 11 ( )11. 142 2 kk f k 2 111 (1)(2)(3)( )() 222222 n ffff nn 1 11 . 22 n n