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1、- 1 - 专题一两边取对数 一、问题的提出 【2017 课标 1 理 11】设x、y、z为正数，且235 xyz ，则 A2x0, y0,1 lg1x xy, 两边取对数得：yxxlg)lg1 (lg=0. 即ylg= x x lg1 lg (x 10 1 ,lgx-1). 令 lgx=t, 则ylg= t t 1 (t -1). lg( xy)=lgx+lgy= 1t t t=2 1 1 )1( 1 1 1 t t t t, 2 1 1 1 t t或2 1 1 1 t t, lg( xy) 的取值范围是),04,( 【例 4】已知数列 n x中, 2 11 1 3, 2 n n n x x
2、x x 则数列 n x的通项公式 n x 四、问题的解决 - 3 - 1. 【2016 高考四川】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入. 若该公司2015 年全 年投入研发资金130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12，则该公 司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是 ( ) ( 参考数据： lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) (A)2018 年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年 【答案】 B 【解析】设从2015 年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元，由已知 得 200 130112%200
3、 ,1.12 130 n n ，两边取常用对数得 200lg2lg1.30.30.11 lg1.12lg,3.8,4 130lg1.120.05 nnn，故选 B. 2. 【2017 北京理 8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为 3 361，而可观测宇宙中 普通物质的原 子总数N约为 10 80. 则下列各数中与 M N 最接近的是 （参考数据： lg3 0.48） （A） 10 33 （B）10 53 （C） 10 73 （D）10 93 【答案】 D 点睛：本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关 系，以及指数与对数运算的关系，难点是 361
4、80 3 10 x时，两边取对数，对数运算公式包含 logloglog aaa MNMN，logloglog aaa M MN N ，loglog n aa MnM. 3. 求形如 () ( ) g x yf x=的函数的导数, 我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得： ln( )ln( )yg xf x=, 再两边同时求导得 11 ( )ln( )( )( ) ( ) ygxfxg xfx yf x , 于是得到： - 4 - 1 ( )( )ln( )( )( ) ( ) yf x gxf xg xfx f x =+, 运用此方法求得函数 1 x yx=的一个单调递增区 间是 ( ) A
5、,4e B3,6 C0,eD2,3 【答案】 C 【 解 析】 两 边 同 取 自 然 对 数得 ： 1 l nl nyx x ,再两 边 同 时 求 导 得 22 11 111 ( )lnln y xx yxx xxx , 得 22 111ln (ln) x yxx xxx , 由 1ln 0 x y x 得 0 1ln0 x x 解得0xe. 4. 【2014 高考陕西】已知42 a ，lg xa，则x_. 【答案】10 【解析】由42 a 得 1 2 a，所以 1 lg 2 x，解得10x，故答案为10. 【点晴】本题主要考查的是指数方程和对数方程，属于容易题；在解答时正确理解指数式和
6、对数式的意义有助于正确完成此题. 5. 已知 lg3lg2 2,3ab, 则 a,b 的大小关系为 . 【答案】 a=b 【解析】由 lg3lg2 2,3ab可得lglg3lg 2,lglg 2lg3ab, 所以lglgabab. 6. 【 2016 高考浙江理数】已知ab1. 若 logab+logba= 5 2 ，a b=ba，则 a= ，b= . 【答案】42 【解析】设log,1 ba tt则，因为 215 2 2 ttab t ， 因此 2 22 22,4. babb abbbbbba 7. 【 2014 高考重庆理第12 题】函数 2 2 ( )loglog(2 )f xxx的最小
7、值为 _. 【答案】 1 4 - 5 - 8. 已知 53 2510 abc , 且0abc, 则, ,a b c之间的关系式为 . 【答案】 111 53abc 【解析】设 53 2510 abc t, 两边取对数得5 lg 2,3lg5,lgabt ct 所以 1lg 21lg 5 , 5lg3lgatbt , 所以 11lg 2lg511 53lglglgabtttc . 9.0,1 x yaaa的定义域与值域均为,m nmn, 则实数 a 的取值范围是 . 【答案】 1 1 e ae 【提示】由题意知01, , mn am an,m,n 是方程 x xa的两个不同实根, 两边取对数 , 将问题转化为 ln x g x x 与直线lnya有两个不交点 , 作出 ln x g x x 的图象如下图： 由图象可得 1 0ln a e , 所以 1 1 e ae . 10. 已知),0(,zyx且 zyx 643. (1) 比较x3与y4的大小；