人教版七年级数学上册第二章数学活动课教案.pdf

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1、第 1 页 第二章数学活动课(刘绍中 ) 一、教学目标 （一）学习目标 1.用整式和整式的加减运算表示实际问题中的数量关系. 2.掌握从特殊到一般，个体到整体的观察分析问题的方法去解决规律问题. 3.体验数形结合的思想，由特殊到一般的研究方法. （二）学习重点 用整式和整式的加减运算表示实际问题中的数量关系. （三）学习难点 （1）用整式和整式的加减运算表示实际问题中的数量关系. （2）掌握从特殊到一般，个体到整体的观察分析问题的方法解决规律问题 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 如图所示是一组有规律的图案，第（1）个图案由 4 个基础图形组成，第（ 2）个图案由 7 个 基础图形组

2、成， 第n（n是正整数）个图案由31n个基础图形组成 2.预习自测 （1）如图是一组由深圳世界大学生运动会吉祥物“ ” 组成的有规律的图案，请你观察比较它 们组成的规律，试判断第n个图案需要用 “ ” （） A(1)n nB (1) 2 n n C (1) 2 n D 2 n 【知识点】整式表示数量关系 【解题过程】解：第一个图案1 个，第二个图案 123个，第三个图案 1236 个，第四 个图案 123410个第n个图案 123n (1) 2 n n ,故选 B. 【思路点拨】从前四个图中去发现数据的变化规律，从列出整式表示数量关系. 【答案】 B. （2）某市出租车的收费标准为：起步价12

3、.50元，3 千米后每千米 2.40 元，某人乘坐出租车 行驶x（3x）千米，试用含x的式子表示他应付的费用，并求出当8x时，这一 式子的值 【知识点】整式表示数量关系 第 2 页 【解题过程】解：总费用 = 12.502.4(3)x= 2.45.3x， 当8x时，原式 = 2.4 85.324.5 【思路点拨】总费用 =起步价 +单价 超过 3 千米的部分，在代入求值即可. 【答案】 2.45.3x，24.5. （3）若a表示一个三位数， b表示一个两位数，若把a放在 b 的左边组成一个五位数，则这 个五位数是 【知识点】用整式解决实际问题 【解题过程】解：把a放在 b 的左边组成一个五位数

4、，相当于b 的值不变，a的小数点向右移 动了三位，所以，所得的数是100ab. 故答案为： 100ab. 【思路点拨】把a放在 b的左边组成一个五位数，相当于把a乘以 100求出所得的积，再加上 b. 【答案】 100ab. （4）如图，在边长为a的正方形的四个角挖去边长为b的四个小正方形 （1）余下的部分（阴影部分）的面积为多少? （2）当9a，3b时，阴影部分的面积是多少? 【知识点】整式解决实际问题，并求值. 【解题过程】解： (1)余下部分的面积为 22 4ab； (2)当9a，3b时， 22 4ab 22 94 3813645. 当9a，3b时，阴影部分的面积是45. 【思路点拨】

5、(1)阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积，正方形的面 积等于边长的平方 (2)把a、b 的值代入 (1)所列式子中计算即可 . 【答案】 (1) 22 4ab；(2)45. (二)课堂设计 1.知识回顾 （1）用字母表示数的含义可以使实际问题中的数量关系更加的简洁、规范. （2）整式的加减运算实际就是去括号合并同类项. （3）用整式表示实际问题中的数量关系的方法及步骤：弄清数量关系，注意语句顺序，熟记 常用公式，规范书写 . 第 3 页 2.问题探究 探究一用整式表示规律问题中的数量关系 活动回顾旧知，整式表示数量关系 师问：用整式表示实际问题中的数量关系的方法和步骤是什么

6、？ 学生举手抢答 . 师：整式的加减运算是什么？ 学生举手抢答 . 【设计意图】通过复习提问，为用整式表示规律问题中的数量关系作好铺垫. 探究二 活动 （大胆操作，探究整式表示规律中的数量关系的方法） 如图所示，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形. (1)如果图形中含有n个三角形，需要多少根火柴棍? (2)当图形中含有 2019 个三角形时，需要多少根火柴棍? 师生活动：学生分成几个小组，利用准备好的的火柴棍动手摆放图形进行探究.学生代表展示 小组讨论的过程和结果 . 【设计意图】通过学生动手操作、讨论交流，初步感知特殊到一般的观察、分析的数形结合 思想方法 . 活动 （集思广益，发现如何探究

7、规律问题中的数量关系的方法） 师：由图形的变化规律看数据的变化规律： 从第二个图形起，与前一个图比较，每增加一个三角形，就增加两根火柴，可得 三角形个数1 2 3 4 n 火柴棍根数3 3+2 3+2+2 3+2+2+2 1 32222 n 所以表达形式： 1 32222 n =21n （2）当2012n时， 21n=2 2019+1=4025 追问：还可以从图像的哪些角度去思考，寻找数据的变化规律？ 生答 总结：方法一：每个三角形都由三根火柴棍组成，从第一个图起，火柴棍根数等于所含的三 角形个数乘以 3，再减去重复的火柴根数，可得 三角形个数1 2 3 4 n 第 4 页 火柴棍根数1 3

8、2 3-1 3 3-2 4 3-3 ()31nn 所以表达式为3(1)nn=21n 方法二：从第一个图形起，以一个火柴棍为基础，每增加一个三角形，就增加两根火柴棍， 可得 三角形个数1 2 3 4 n 火柴棍根数1+2 1+2+2 1+2+2+2 1+2+2+2+2 1222 n 所以表达式为 12n 方法三：还可以从图形的摆放位置把火柴棍分为“ 横” 放和“ 斜” 放两类统计计算，可得 三角形个数1 2 3 4 n 火柴棍根数1+2 2+3 3+4 4+5 (1)nn 所以表达式为(1)nn=21n 追问：刚才大家都是从图像的变化规律中去观察、分析、发现数据的变化规律，我们可不可 以从火柴棍

9、的根数去观察发现与三角形的个数的对应关系？ 三角形个数1 2 3 4 n 火柴棍根数3=1 2+1 5=2 2+1 7=3 2+1 9=4 2+1 21n 所以表达式为 21n 【设计意图】通过图形从不同角度去分析，加强对图形的变化的感受. 活动 （反思过程，归纳方法） 师问：刚才同学的思路都很好，我们从哪些角度去观察、分析、发现规律，从而用一个整式 表达规律的一般性？ 学生回答 . 师生活动：学生小组讨论交流并展示 总结：（ 1）如方法 1-4 种，可以从图形角度去观察、分析、发现它的变化规律，从而得到数 据的变化规律，再用整式表达出规律即可.(由形到数的研究方法 )； （2）如方法 5，也

10、可以从每个图形的火柴棍的根数去观察、分析、发现它与图形个数的对应 关系.（由数到形的研究方法） . 这种研究图形变化规律的方法：数形结合的思想方法和特殊到一般的思想方法 【设计意图】应用列表法得到用整式表示三角形个数和所用火柴棍的根数的对应关系，让学 第 5 页 生体会到特殊到一般、数形结合、个体到整体的观察、分析问题的方法. 探究三 活动 （基础性例题） 师问：今天学习了数学中很重要的思想方法即数形结合、特殊到一般的思想方法，你能利用 它可以解决图形规律变化的问题吗？ 例 1.如图所示，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1 个正方形需要 4 个小正方形，拼 第 2 个正方形需要 9 个小正

11、方形， ，按照这样的方法拼下去， 第n个大正方形比第1n个 大正方形多多少个小正方形（）. A. 2 2 1nn；B. 2 2 1nn；C. 22 11nn；D. 2 1n. 【知识点】整式表示规律 . 【数学思想】特殊到一般、数形结合. 【解题过程】解：第一个图形有 2 24个正方形组成，第二个图形有 2 39个正方形组成， 第三个图形有 2 416个正方形组成，第n个图形有 2 1n（）个正方形组成， 第1n（） 个图形有 2 n个正方形组成， 第n个大正方形比第1n（） 个大正方形多 22 1nn（）个小正方形 . 故选 A. 【思路点拨】观察题目，将第一、二、三个图形的小正方形个数表示

12、出来，根据图形中小正 方形的个数规律得出变化规律，第n个图形有 2 1n（）个正方形组成，此时即可得出第n个大 正方形比第1n（） 个大正方形多多少个小正方形. 【答案】 A. 练习：如 图 所示 的是一 个三 角 形， 分别 连接 这个 三 角形 三边 的中 点得 到 图 ，再 分别 连接 图 中间 的 小三 角形 三边 的中 点，得到 图 ，按此 方法继 续连 接，请 你根 据每 个图 中三 角形 的 个数 的规 律完 成各 题 (1) 将下 表填 写完 整 ； 图 形编 号 三 角形 个数1 5 (2) 在 第n个图 形中 有个三 角形 .（用 含n的式子 表示 ） 第 6 页 【知识点

13、】整式表示规律 【数学思想】数形结合思想、特殊到一般思想 【解题过程】解：(1) 图形 编号 为 中三 角 形的 个数 为 9=43-3； 图形 编号 为 的三 角 形的 个数 是 4 4-3=13 ，图 形编 号为 的 三角 形的 个数 是 4 5-3=17 ， 图形 编号 三角 形个 数1 5 9 13 17 (2) 第 n 图形 中三 角 形的 个数 是 4n-3. 【思路点拨】(1) 结合 题意 ，总 结可 知，每 个图 中三 角形 个数 比图形 的编 号的 4 倍 少 3 个三 角形 由此 可计 算出 答案 ； (2) 根 据(2) 中 的规 律 可直 接写 出答 案. 【答案】 4

14、n-3. 【设计意图】使学生通过由图形的变化规律去发现数据的变化规律，从而用含字母的式子把 一般性的规律表示出来，进一步体会数形结合思想和特殊到一般的研究方法. 活动 2 （提升型例题） 例 2一种笔记本售价为2.3 元/本,如果买 100 本以上 (不含 100 本),售价为 2.2 元/本,列式表示 买n本笔记本所需钱数 (注意对n的大小要有所考虑 ).请同学们讨论下面的问题: (1)按照这种售价规定 ,会不会出现多买比少买反而付钱少的情况? (2)如果需要 100本笔记本 ,怎样购买能省钱 ? (3)了解实际生活中的类似问题,并举出几个例子 . 【知识点】整式解决实际问题. 【数学思想】

15、分类讨论思想. 【解题过程】 解:(1)当100n时:需要的钱数是 2.3n 元；当100n时:需要的钱数是 2.2n元；当 100n时,需要的钱数是 2.3 100230元,由 2.2230n得：104.5n， 则100104n时,会出现多买比少买反而付钱少的情况； (2)因为如果需要 100 本笔记本 ,购买 101本时,需要的钱数是 101 2.2222.2 (元), 购买 100本时,需要的钱数是 100 2.3230 (元), 第 7 页 所以如果需要 100本笔记本 ,购买 101本能省钱； (3)例如一个乒乓球售价为2 元/个,如果买 10 个以上 (不含 10 个),售价为 1

16、.9 元/个,按照这种售 价规定 ,会不会出现多买比少买反而付钱少的情况? 【思路点拨】 (1)分两种情况讨论 ,一种是不超过 100本,另一种是超过 100 本,分别求出各自的 代数式即可 . (2)因为买 100 本以上 (不含 100 本)售价较低 ,所以可以购买 101本笔记本比较省钱 . 【答案】 （1）100104n时,会出现多买比少买反而付钱少的情况；（2）购买 101本能省钱； （3）略. 练习：A、B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司条件基本相同，只有工资待遇有如下 差异： A 公司年薪两万元，每年加工龄工资400 元，B 公司半年薪一万元，每半年加工龄工 资 100

17、元，求 A、B 两家公司，第n年的年薪分别是多少，从经济角度考虑，选择哪家公司 有利？ 【知识点】整式表示数量关系. 【数学思想】分类讨论思想. 【解题过程】解： A 公司第n年的年薪是 20000400119600400nn（）； B 公司第n年的年薪是 20000 100 2119900200nn（） A、B 公司第n年的年薪差为1960040019900200200300nnn（） （） 当1n时， 200300 0n ，此时选择 B 公司有利； 当2n时， 200300 0n ，此时选择 A 公司有利 【思路点拨】 提示 1：根据题意列出 A、B 两公司第n年的年薪的代数式，对这两个式

18、子进行比较即可 提示 2：解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系此题为文字阅读题，学生 要养成仔细阅读理解的习惯 【答案】 200300n，当1n时， 200300 0n ，此时选择 B 公司有利； 当2n时， 200300 0n ，此时选择 A 公司有利 【设计意图】使学生通过由图形的变化规律去发现数据的变化规律，从而用含字母的式子把 一般性的规律表示出来，进一步体会数形结合思想和特殊到一般的研究方法. 3.课堂总结 知识梳理 （1）整式和整式的加减表示数量关系. 第 8 页 （2）列表整理分析数据，发现变化规律. （3）数形结合思想、特殊到一般思想. 重难点归纳 （1）列表整理分

19、析数据，发现变化规律. （2）数形结合思想、特殊到一般思想. （三）课后作业 基础型 自主突破 1.观察一组数 1 3 , 2 5 , 3 7 , 4 9 , 5 11 ,根据这组数的规律 ,可推出第 100个数是 【知识点】整式解决规律问题中数量关系. 【数学思想】特殊到一般 . 【解题过程】解 :分子为 1,2,3,4,5,第 100 个数的分子为 100, 分母为 3,5,7,9,11,第 100 个数的分母为 12 100201, 第 100个数为 : 100 201 ,因此，本题正确答案是 : 100 201 . 【思路点拨】这是一组分数 ,分子是从 1 开始的连续自然数n,分母是从

20、 3 开始的连续奇数 ,且每 个分数的分子分母存在的关系: 12 n n ,故本题可解 . 【答案】 100 201 . 2.观察图中给出的四个点阵，S表示每个点阵中的个数，按照图形中的点的个数变化规律， 猜想第 10 个点阵中的点的个数S为（）. 【知识点】整式表示数量关系. 【数学思想】特殊到一般、数形结合思想. 【解题过程】解：看图可知，第n幅图就比第一幅图多1n（） 个 4，所以第n幅图中点的个数 就是1n（） ，再乘以 4，然后加 1，列式为：14 1n =44 1n =43n 所以第 10 个图形点的个数 S=4 10-3=37. 【思路点拨】仔细看图，分析图中点的数量的变化，发现

21、规律是：第n幅图就比第一幅图多 1n（） 个 4，据此即可解题；在找出点的总个数的关系后，不要忽略第n的图中点的总个数应 加上 1，否则导致答案错误 . 【答案】 43n . 第 9 页 3.如图所示，则第 2019个图形中笑脸的个数是，第n个图形中笑脸的个数是. 【知识点】整式表示数量关系. 【数学思想】特殊到一般 . 【解题过程】解：根据题意可知，第2019 个图形中笑脸的个数是4016 个，第n个图形中的 笑脸的个数是 2n. 【思路点拨】分析笑脸的个数与n的值之间的变化规律，笑脸的个数总是n的值的 2 倍，根 据这一规律可以分析出第2019 个图形笑脸的个数以及第n个图形笑脸的个数 .

22、 【答案】 4016，2n. 4.如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是( ). 第 1 个第 2 个第 3 个 A. 5nB. 51nC. 61nD. 2 21n 【知识点】整式表示数量关系. 【数学思想】特殊到一般、数形结合思想. 【解题过程】解：依题意得：摆第1 个“ 小屋子 ” 需要 5 枚围棋子； 摆第 2 个“ 小屋子 ” 需要 11 枚；摆第 3 个“ 小屋子 ” 需要 17 枚 则摆第n个图形需要围棋子的枚数为(61)n 个，故选 C. 【思路点拨】本题中可根据图形分别得出n=1，2，3，4 时的小屋子需要的点数，然后找出规 律得出第n个时小屋子需要

23、的点数 【答案】 C. 5.图是用棋子摆成的图案，每条边上有n(2n)个棋子，每个图案棋子的总数是S，按此规 律推断 S与n的函数关系式为 _ 【知识点】整式表示数量关系. 【数学思想】特殊到一般、数形结合思想. 【解题过程】解：由图可知，当n=2 时， 2 42S 当n=3 时， 2 93S；当n=4 时， 2 164S；因而 2 Sn 【思路点拨】本题中可根据图形分别得出n=1，2，3，4 时的图案需要的点数，然后找出规律 得出第n个时图案需要的点数 . 【答案】 2 Sn. 6.如图，以一根火柴棍为一边， 用火柴棍拼成一排由正方形组成的图形，如果图形中含有 2 013 第 10 页 个正

24、方形，则需要根火柴棍 . 【知识点】整式表示数量关系. 【数学思想】特殊到一般、数形结合思想. 【解题过程】 解：1n时，有 4 根火柴；2n时，有 4 37根火柴；3n时，有 4 2313 根火柴； ，()41331Snn，当2 013n时，32 013 16040S 【思路点拨】易得1n时火柴的根数，分别求得n为任意值时，火柴的根数在4 的基础上增 加了几个 3 即可 【答案】 6040. 能力型 师生共研 1. 有一组单项式： 2 a， 3 2 a ， 4 3 a ， 5 4 a 请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10 个单项式为 _. 【知识点】用整式表示规律问题中数量关系.

25、【数学思想】特殊到一般 . 【解题过程】解：注意观察各单项式系数及系数的符号和次数的变化，系数依次是1(可以看 成是 1 1 )， 1 2 ， 1 3 ， 1 4 据此推测，第十项的系数为 1 10 ；次数依次是 2，3，4，5据此推出，第十项的次数为 11所 以第十个单项式为 11 10 a ，故答案为： 11 10 a . 【思路点拨】通过已知单项式的特点可以找到以下规律：分母为自然数，偶数项符号为负号， 字母指数比分母大1 【答案】 11 10 a . 2.如图是一个有规律排列的数表,请用含n的代数式 (n为正整数 )表示数表中第n行第n列的 数. 【知识点】整式表示规律图形中数量关系.

26、 【数学思想】特殊到一般 . 第 11 页 【解题过程】解 :第一行第n个数可用 2 (1)1n来表示，而第一列第n个数可以用 2 n来表示 . 那么第n行n列的数就可用 (第一行第n个数+第一列第n个数) 2 来表示 , 即： 22 (1)1 2 nn = 2 1nn. 【思路点拨】由图可以知道,第一行第n个数可用 2 (1)1n来表示 ,而第一列第n个数可以用 2 n来表示 .那么第n行n列的数就可用 (第一行第n个数+第一列第n个数) 2 来表示 ,即 22 (1)1 2 nn = 2 1nn. 【答案】 2 1nn. 探究型 多维突破 1.某市居民使用自来水按如下标准收费:若每户月用水

27、不超过 3 12m,按a元/ 3 m收费 ,若超过 3 12m,但不超过 3 20m,则超过部分按 1.5a 元/ 3 m收费；若超过 3 20m,超过部分按 2a 元/ 3 m收费 , 根据表中户月用水量n的取值,把相应的收费金额填在下表中. 户月用水量 / 3 m10 18 26 n(n20) 收费金额 /元10a21a 【知识点】整式表示数量关系. 【解题过程】 当户月用水量是 26 方时： 121.520 122262036aaa a； 当户月用水量是n方时： 121.520 1222028aaa nna 表中空格从左至右依次填36a和 28na. 【思路点拨】分别计算出 3 12m，

28、按a元/ 3 m收费，若超过 3 8m， 按1 . 5 a 元/ 3 m收费，超过 3 20m， 按 2a元/ 3 m收费，然后计算三部分的和即可求解 【答案】 36a和 28n a. 2.一组有规律的图案如图所示，第1 个图案有 4 个五角星，第2 个图案有 7 个五角星，第 3 个图案有 10 个五角星， ，第 2019 个图案有 _个五角星 第 1 个图案第 2 个图案第 3 个图案 第 12 页 【知识点】整式表示数量关系. 【数学思想】特殊到一般、数形结合思想. 【解题过程】第一个图有4 个五星，第二个图有4+3 个五星，第三个图有4+3+3 个五星 第 n个图有43(1)n，所以

29、2019 个图有43(1)n=43 (20141)=6043. 【思路点拨】以第一个图的个数4 为基础，以后每增加一个图就增加3 个五星，从而发现增 加的个数与对应图像个数的对应关系,从而发现变化规律，用含n的式子表示出来即可 . 【答案】 6043. 自助餐 1.观察下面的一列单项式：x、 2 2x、 3 4x-、 4 8x、 5 16x-、根据其中的规律，得出的第10 个单项式是（）. A. 910 2 xB. 910 2 xC. 99 2 x-D. 99 2 x 【知识点】整式表示数量关系. 【数学思想】特殊到一般 . 【解题过程】解：依题意得： （1）n为奇数，单项式为： 1 2 nn

30、 x （） ； （2）n为偶数时，单项式为： 1 2 nn x （） 综合（ 1） 、 （2） ，本数列的通式为： 1 2 nn x（-），第 10 个单项式为： 910 2 x 故选： B 【思路点拨】通过观察题意可得：n为奇数时，单项式为负数x的指数为n时，2 的指数为 （1n） 由此可解出本题 【答案】 B. 2.一组按规律排列的多项式： ab ， 23 ab， 35 ab， 47 ab， ， 其中第 10 个式子是（） . A. 1019 ab+B. 1019 ab-C. 1017 ab-D. 1021 ab 【知识点】整式表示数量关系. 【数学思想】特殊到一般 . 【解题过程】解：多

31、项式的第一项依次是a， 2 a， 3 a， 4 a， n a， 第二项依次是 b， 3 b-， 5 b， 7 b-， 121 1 nn b （）， 所以第 10 个式子即当n=10 时，代入后得到 1211019 1 nnn abab（ -），故选 B 第 13 页 【思路点拨】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知 道了多项式的规律 【答案】 B. 3. 如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边摆上20（n=20） 根时，需火柴棍为根，若当每边摆上n根时，试写出需火柴棍为根 【知识点】整式表示数量关系 【数学思想】特殊到一般 【解题过程】

32、解：由图形可知：当1n时，火柴总数为 3 1， 当2n时，火柴总数为 312（） ，当3n时，火柴总数为 3123（） ， 当20n时，火柴总数为 312320630（）， 当每边摆上n根式，火柴总数为 3123n（） 3 (1) 2 n n 【思路点拨】 根据图中规律可发现， 每边增加一根火柴， 火柴总数就会比前面增加3n根火柴 【答案】 630， 3 (1) 2 n n 4.如图是 2019年 10 月日历，现用一长方形在日历中任意框出4 个数如图，请用一个等式 表示a、 b、c、 d 之间的关系： 【知识点】整式表示数量关系 【数学思想】特殊到一般 【解题过程】解：a、 b、c、 d 是

33、任意框出 4 个数， 81728aaaaa（） （） （）， adbc，故答案为： adbc 【思路点拨】根据日历，用a表示出 b、c、 d ，便不难得到规律 【答案】 adb c . 5.观察下列顺序排列的等式： 猜测第n个等式（n为正整数）应为 【知识点】整式表示数量关系. 【数学思想】特殊到一般 . 【解题过程】解：根据分析：即第n个式子是 911011109nnnn（）（ ） 故答案为 91109nnn（） 【思路点拨】这几个等式中，左边：第几个式子是9 乘以（几减 1） ，再加上几；右边：第几 个式子即十位是几减1，个位是 1 【答案】 91109nnn（） 第 14 页 6.观察下

34、列图形它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第20 个图形的 “ ” 有多少个？ 【知识点】整式表示数量关系. 【数学思想】特殊到一般 . 【解题过程】解：根据规律第一个图有3 个，第二个图有 6 个，第三个图有 9 个，可 知第n个图形有 3n个，所以第 20 个图形共有 20 360个 另解：通过观察发现每行五星组成的三角形的边上分别有（1n）个五星，共有 31n（） 个， 但每个角上的五星重复加了两次，故五星的个数为3(1)33nn个， 故第 20个图象共有 60 个，故第 20 个图形的 “ ” 有 60 个 【思路点拨】排列组成的图形都是三角形第一个图形中有1 33个，第二个图形中有 236个，第三个图形中有 3 39个，第 20 个图形共有 20 360个 【答案】第 20个图形的 “ ” 有 60 个