解三角形的实际应用.pdf

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1、解三角形的实际应用 一、基础知识 测量中的有关几个术语 术语名称术语意义图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线 在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平 视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标 方向线之间的夹角叫做方位角方位角 的范 围是 0 360 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角， 通常表达为北 (南)偏东 (西) 例：(1)北偏东 ： (2)南偏西 ： 坡角与坡度 坡面与水平面的夹角叫做坡角( )； 坡面的垂直 高度 (h)与水平宽度 (l)的比 (i)叫做坡度 坡角 坡度 ih l 相对于某一正方向的水平角 (1)北偏东

2、 ，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向； (2)北偏西 ，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向； (3)南偏西等其他方向角类似 考点一测量高度问题 典例 如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度， 小王在点A 处测得塔顶D 的仰角为30 ，塔底 C 与 A 的连线同河岸成15 角，小王向前走了1 200 m 到达 M 处，测得塔底C 与 M 的连线同河岸成60 角，则电视塔CD 的高度为 _m. 解析 在 ACM 中， MCA60 15 45 ， AMC180 60 120 ， 由正弦定理得 AM sin MCA AC sinAMC ，即 1 200 2 2 AC 3 2 ，解得 AC600 6(

3、m) 在 ACD 中， tan DAC CD AC 3 3 ， CD6006 3 3 6002(m) 答案 600 2 解题技法 测量高度问题的3 个注意点 (1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向 (位 )角(它 是在水平面上所成的角)是关键 (2)在实际问题中， 可能会遇到空间与平面(地面 )同时研究的问题， 这时最好画两个图形， 一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错 (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题 题组训练 1.如图，为测一树的高度，在地面上选取A，B 两点，在A， B 两点 分别测得树顶P 处的仰角为

4、30 ， 45 ， 且 A， B 两点之间的距离为10 m， 则树的高度h 为() A(5 5 3)mB(30153)m C(15303)m D(153 3)m 解析： 选 A在 PAB 中，由正弦定理，得 10 sin 45 30 PB sin 30 ，因为sin(45 30 ) sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 62 4 ，所以 PB 5( 62)(m)，所以该树的高度h PBsin 45(553) m. 2.如图， 在离地面高400 m 的热气球上， 观测到山顶C 处的仰角 为 15 ，山脚 A 处的俯角为45 ，已知 BAC60 ，则山的高度BC 为() A700

5、 m B640 m C600 m D560 m 解析： 选 C根据题意，可得在RtAMD 中， MAD45 ，MD400(m)， 所以 AM MD sin 45 4002(m) 因为在 MAC 中， AMC45 15 60 ， MAC180 45 60 75 ， 所以 MCA180 AMC MAC45 ， 由正弦定理，得AC AMsin AMC sinMCA 4002 3 2 2 2 4003(m)， 在 RtABC 中， BC ACsin BAC400 3 3 2 600(m) 考点二测量距离问题 典例 (2018 保定模拟 )如图，某游轮在A 处看灯塔B 在 A 的北偏 东 75 方向上，

6、距离为126海里，灯塔C 在 A 的北偏西30 方向上，距 离为 8 3 海里，游轮由A 处向正北方向航行到D 处时，再看灯塔B，B 在南偏东60 方向上，则C 与 D 的距离为 () A20 海里B83 海里 C232 海里D24 海里 解析 在 ABD 中，因为灯塔B 在 A 的北偏东75 方向上，距离为126 海里，游轮 由 A 处向正北方向航行到D 处时，再看灯塔B，B 在南偏东60 方向上，所以B180 75 60 45 ，由正弦定理 AD sin B AB sinADB， 可得 AD ABsin B sinADB 126 2 2 3 2 24(海里 ) 在 ACD 中， AD24(

7、海里 )，AC83(海里 )， CAD30 ， 由余弦定理得CD 2 AD2 AC22AD ACcos 30 242 (8 3) 22 248 33 2 192. 所以 CD83(海里 ) 答案 B 解题技法 测量距离问题的2 个策略 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接 求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 题组训练 1一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60 方 向， 行驶 4 h 后， 船到达 B 处， 看到这个灯塔在北偏

8、东15 方向，这时船与灯塔的距离为() A152 km B302 km C452 km D602 km 解析： 选 B作出示意图如图所示，依题意有AB15460(km)， DAC 60 ， CBM15 ， MAB30 ， AMB 45 . 在 AMB 中， 由正弦定理， 得 60 sin 45 BM sin 30 ， 解得 BM302(km) 2.如图，为了测量两座山峰上P，Q 两点之间的距离，选择山坡上一 段长度为3003 m 且和 P， Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点 作为观测点， 现测得 P AB 90 ，PAQ PBA PBQ60 ，则 P， Q 两点间的距离为_ m. 解

9、析： 由已知，得QAB PAB PAQ30 . PBA PBQ60 ， AQB30 ， AB BQ. 又 PB 为公共边，PAB PQB， PQPA. 在 RtPAB 中， P AAB tan 60 900(m)， 故 PQ900(m)， P， Q 两点间的距离为900(m) 答案： 900 考点三测量角度问题 典例 游客从某旅游景区的景点A 处至景点C 处有两条线路 线路 1 是从 A 沿直线步行到C，线路 2 是先从 A 沿直线步行到景点B 处，然后 从 B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度 的11 9 倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时

10、到达C 处经测量， AB1 040 m ，BC 500 m，则 sinBAC 等于 _ 解析 依题意，设乙的速度为x m/s， 则甲的速度为 11 9 x m/s， 因为 AB1 040 m， BC500 m， 所以 AC x 1 040500 11 9 x ，解得 AC1 260 m. 在 ABC 中，由余弦定理得， cosBAC AB 2 AC2 BC2 2AB AC 1 040 21 26025002 21 0401 260 12 13， 所以 sinBAC1cos 2BAC 1 12 13 25 13. 答案 5 13 解题技法 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的

11、基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标 出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题 的解 题组训练 1.甲船在 A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60 的方向，相距a 海里的 B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3 倍，甲船为了尽快追上乙船， 朝北偏东 方向前进，则 () A15B30 C45D60 解析： 选 B设两船在C 处相遇，则由题意得ABC180 60 120 ，且 AC BC 3， 由正弦定理得 AC BC sin 120 sin BAC 3， 所以 sinBAC 1 2. 又因为 0 BAC60 ，所以 BAC30 . 所以甲船应沿

12、北偏东30 方向前进 2.如图，甲船在海面上行驶，当甲船位于A 处时，在其正东方向相距 40 海里的B 处，有一艘游艇遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把 消息告知在甲船的南偏西30 相距 20 海里的 C 处的乙船，乙船立即朝北 偏东 30 的方向沿直线前往B 处营救，则sin 的值为 _ 解析： 连接 BC(图略 )，根据余弦定理，得BC2AB2AC22AB AC cos CAB1 600 40024020cos(90 30 )2 800.由题可知， ACB 即为角 ， 又 BC sinCAB AB sin ， BC 2 sin 2CAB AB 2 sin 2， sin 2 1 6003

13、 4 1 2 800 3 7， sin 21 7 . 答案： 21 7 课时跟踪检测 1在相距 2 km 的 A，B 两点处测量目标点C，若 CAB75 ， CBA60 ，则 A，C 两点之间的距离为() A.6 kmB.2 km C.3 km D2 km 解析： 选 A如图，在 ABC 中， 由已知可得ACB45 ， AC sin 60 2 sin 45 ， AC22 3 2 6(km) 2.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔 18 km，速度为 1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30 ，经过 1 min 后又看到山顶的俯角为75 ，则山顶的海拔高度为(精

14、确到 0.1 km)() A8.4 km B6.6 km C6.5 km D5.6 km 解析： 选 B因为 AB 1 000 1 60 50 3 (km) ， 所以 BC AB sin 45 sin 30 50 3 2(km) 所以航线离山顶的高度hBC sin 75 50 32sin 75 50 32sin(45 30 )11.4(km) 所以山高为1811.46.6(km) 3.如图，在塔底D 的正西方A 处测得塔顶的仰角为45 ，在塔底D 的 南偏东 60 的 B 处测得塔顶的仰角为30 ，A，B 的距离是84 m，则塔高 CD 为() A24 m B125 m C127 m D36

15、m 解析： 选 C设塔高 CDx m， 则 ADx m，DB3x m. 又由题意得ADB90 60 150 ， 在 ABD 中，由余弦定理， 得 842x2(3x)223 x2cos 150 ， 解得 x127(负值舍去 )，故塔高为127 m. 4.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120 的扇形AOB，C 是该 小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路 CD.已知某人从O 沿 OD 走到 D 用了 2 min， 从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 min.若此人步行的 速度为 50 m/min，则该扇形的半径的长度为() A505 m B507 m C5011 m D5019

16、 m 解析： 选 B设该扇形的半径为r，连接 CO，如图所示 由题意，得CD150(m) ，OD100(m)， CDO60 ， 在 CDO 中，由余弦定理得， CD 2OD2 2CD OD cos 60 OC2， 即 15021002 21501001 2r 2， 解得 r507(m) 5.如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15 方向，与海轮相距20 n mile 的 B 处，海轮按北偏西60 的方向航行了30 min 后到达 C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75 的方向上， 则海轮的速 度为 _n mile/min. 解析： 由已知得 ACB45 ， B60 ， 由正弦定

17、理得 AC sin B AB sinACB ， 所以 AC AB sin B sinACB 20sin 60 sin 45 106(n mile) ， 所以海轮航行的速度为 106 30 6 3 (n mile/min) 答案： 6 3 6.某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S在电动车的北偏东30 方向上， 15 min 后到点 B 处，测得 电视塔S 在电动车的北偏东75 方向上，则点B 与电视塔的距离是 _km. 解析 ：如题图，由题意知AB2415 60 6(km)，在 ABS中， BAS 30 ， ABS180 75 105 ， ASB45

18、 ，由正弦定理知 BS sin 30 AB sin 45 ， BS AB sin 30 sin 45 32(km) 答案： 3 2 7.一艘海轮从A出发， 沿北偏东75 的方向航行 (232)n mile 到达海岛 B，然后从B 出发，沿北偏东15 的方向航行4 n mile 到达海岛C. (1)求 AC 的长； (2)如果下次航行直接从A 出发到达 C，求 CAB 的大小 解： (1)由题意，在ABC 中， ABC180 75 15 120 ，AB(232)n mile，BC4 n mile ， 根据余弦定理得， AC 2 AB2 BC2 2ABBCcosABC (2 32)242(232)

19、424， 所以 AC26. 故 AC 的长为 2 6 n mile. (2)由正弦定理得，sinCABBCsinABC AC 4 3 2 26 2 2 ，所以 CAB45 . 8.已知在东西方向上有M， N 两座小山， 山顶各有一座发射塔A， B， 塔顶 A，B 的海拔高度分别为AM100 m 和 BN200 m，一测量车在小 山 M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为 30 ，该测量车向北 偏西 60 方向行驶了100 3 m 后到达点Q，在点 Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为 ，且 BQA ，经测量tan 2，求两发射塔顶A，B 之间的距离 解： 在 Rt AMP 中， APM30 ，AM100， PM100 3.连接 QM，在 PQM 中， QPM 60 ，PQ1003， PQM 为等边三角形，QM100 3. 在 RtAMQ 中， 由 AQ 2AM2QM2，得 AQ200. 在 RtBNQ 中， tan 2，BN200， BQ1005，cos 5 5 . 在 BQA 中， BA2 BQ2AQ22BQ AQcos (1005)2， BA1005. 即两发射塔顶A， B 之间的距离是100 5 m.