2019-2020年高三上学期数学一轮复习教案：第12讲三角恒等变换及应用.pdf

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1、2019-2020 年高三上学期数学一轮复习教案：第12 讲 三角恒等变换及应用 课 题 三角恒等变换及应用（共 6 课时） 修改与 创新 教 学 目 标 1经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法 的作用； 2能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的 正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系； 3能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、 半角公式，但不要求记忆）。 命 题 走 向 从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会 较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角

2、形及向 量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。 本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明 是三角变换的基本问题。历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注 重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和 综合分析能力。 教 学 准 备 多媒体课件 教 学 过 程 一知识梳理： 1两角和与差的三角函数 sincoscossin)sin(； sinsincoscos)cos(； tantan tan() 1tantan 。 2二倍角公式 cossin22sin； 2222 sin211cos2sinco

3、s2cos； 2 2tan tan2 1tan 。 3三角函数式的化简 常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角 化同角； 三角公式的逆用等。（2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角 函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方 数不含三角函数。 （1）降幂公式 2sin 2 1 cossin； 2 2cos1 sin 2 ； 2 2cos1 cos 2 。 （2）辅助角公式 22 sincossinaxbxabx， 2222 sincos ba abab 其中，。 4三角函数的求值类型有三类 （1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所

4、给角与特殊角间的关 系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题； （2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题的关键在于“变角”，如2(),()()等，把所求 角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论； （3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结 合所求角的范围及函数的单调性求得角。 5三角等式的证明 （1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用 化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”； （2） 三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系， 采用

5、代入法、消参法或分析法进行证明。 二典例分析 (2011广东高考) 已知函数f(x) 2sin 1 3x 6 ，xR. (1) 求f 5 4 的值； (2) 设 ， 0， 2 ，f 3 2 10 13， f(3 2) 6 5，求 cos( ) 的值 (1) f(x) 2sin 1 3x 6 ， f 5 4 2sin 5 12 6 2sin 4 2. (2) ， 0， 2 ，f3 2 10 13 ，f(3 2) 6 5， 2sin 10 13，2sin 2 6 5. 即 sin 5 13，cos 3 5. cos 12 13，sin 4 5. cos( ) cos cos sin sin 12

6、13 3 5 5 13 4 5 16 65. 由题悟法 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用、 的三角函数 表示 的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角 之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的 以题试法 1(1) 已知 sin 3 5， 2 ， ，则 cos 2 2sin 4 _. (2)(2012 济南模拟) 已知 为锐角， cos 5 5 ，则 tan 4 2 ( ) A 3 B 1 7 C 4 3 D 7 解析： (1) cos 2 2sin 4 cos 2sin2 2 2 2 sin 2 2 cos cos sin ， sin 3 5， 2 ，

7、 ， cos 4 5. 原式 7 5. (2) 依题意得，sin 25 5 ，故tan 2， tan 2 22 14 4 3 ，所以 tan 4 2 14 3 14 3 1 7. 答案： (1) 7 5 (2)B 三角函数公式的逆用与变形应用 典题导入 (2013德州一模) 已知函数f(x) 2cos 2x 2 3sin x. (1) 求函数f(x) 的最小正周期和值域； (2) 若 为第二象限角，且f 3 1 3，求 cos 2 1cos 2 sin 2 的值 (1) f(x) 2cos 2x 2 3sin x1cos x3sin x12cosx 3 ， 周期T 2，f(x) 的值域为 (2

8、) f 3 1 3， 12cos 1 3，即 cos 1 3. 为第二象限角，sin 2 2 3 . cos 2 1cos 2 sin 2 cos 2sin2 2cos 22sin cos cos sin 2cos 1 3 22 3 2 3 122 2 . 由题悟法 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆 用及变形，如tan tan tan( ) (1 tan tan ) 和二倍角的余弦 公式的多种变形等 以题试法 2(1)(2012 赣州模拟) 已知 sin 6 cos 4 3 5 ，则 sin 3 的 值为 ( ) A. 4 5 B. 3 5 C. 3 2 D

9、. 3 5 (2) 若 3 4 ，则 (1 tan )(1 tan ) 的值是 _ 解析： (1) 由条件得 3 2 sin 3 2cos 43 5 ， 即 1 2sin 3 2 cos 4 5. sin 3 4 5. (2) 1tan 3 4 tan( ) tan tan 1 tan tan ， tan tan 1tan tan . 1tan tan tan tan 2， 即(1 tan )(1 tan ) 2. 答案： (1)A (2)2 角 的 变 换 典题导入 (1)(2012 温州模拟)若 sin cos sin cos 3，tan( ) 2，则 tan( 2 ) _. (2)(20

10、12 江苏高考) 设 为锐角，若cos 6 4 5，则 sin 2 12 的值 为_ (1) 由条件知 sin cos sin cos tan 1 tan 13， 则 tan 2. 故 tan( 2) tan tan 1tan 22 1 4 3. (2) 因为 为锐角， cos 6 4 5， 所以 sin 6 3 5，sin 2 6 24 25， cos 2 6 7 25， 所以 sin2 12 sin2 6 4 24 25 2 2 7 25 2 2 172 50 . (1) 4 3 (2) 172 50 由题悟法 1当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差 的形式；

11、 2当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的 关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角” 3常见的配角技巧： 2 2 ； ( ) ； ( ) ； 1 2； 1 2； 4 2 4 ； 4 4 . 以题试法 3设 tan() 2 5，tan 4 1 4，则 tan 4 ( ) A. 13 18 B. 13 22 C. 3 22 D. 1 6 解析：选Ctan 4 tan 错误 ! 错误 ! 错误 ! . 化简 2cos 4x2cos2x1 2 2tan 4 xsin 2 4 x . 原式 2sin 2xcos2x1 2 2sin 4 xcos 2 4 x cos 4

12、 x 1 2 sin 22x 2sin 4 xcos 4 x 1 2cos 22x sin 2 2x 1 2cos 2 x. 由题悟法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1) 一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合 理的拆分，从而正确使用公式； (2) 二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的 有“切化弦”； (3) 三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇 到分式要通分”等 以题试法 1化简 1 tan 2 tan 2 1tan tan 2 . 解：法一：原式 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2

13、1 sin cos sin 2 cos 2 cos 2 2 sin 2 2 sin 2 cos 2 cos cos 2 sin sin 2 cos cos 2 2cos sin cos 2 cos cos 2 2cos sin cos 2 cos cos 2 2 sin . 法二：原式 1tan 2 2 tan 2 1 sin sin 2 cos cos 2 2 tan cos cos 2 sin sin 2 cos cos 2 2cos sin cos 2 cos cos 2 2 sin . 三角函数式的求值 典题导入 (1)(2012 重庆高考) sin 47 sin 17 cos 30

14、cos 17 ( ) A 3 2 B 1 2 C. 1 2 D. 3 2 . (2) 已知 、 为锐角，sin 3 5， cos( ) 4 5， 则 2_. (1) 原式 sin17 cos 30 cos 17 sin 30 cos 17 cos 30 sin 17 sin 17 cos 30 cos 17 sin 30 cos 17 cos 17 sin 30 1 2. (2) sin 3 5， 0， 2 ， cos 4 5， cos( ) 4 5，(0， ) ， sin( ) 3 5， sin(2 )sin sin cos( ) cos sin( ) 3 5 4 5 4 5 3 50. 又

15、 2 0， 3 2 . 2 . (1)C (2) 由题悟法 三角函数求值有三类 (1) “给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但 仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合 公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解 (2) “给值求值”： 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系 (3) “给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角 的范围，确定角 以题试法 2(2012广州一测) 已知函数f(x) tan3x 4 . (1) 求f 9 的值； (

16、2) 设 ，3 2 ，若f 3 4 2，求 cos 4 的值 解： (1)f 9 tan 3 4 tan 3 tan 4 1tan 3 tan 4 3 1 13 23. (2) 因为f 3 4 tan 3 4 4 tan( )tan 2， 所以 sin cos 2，即 sin 2cos . 又 sin 2cos21， 由解得cos 21 5. 因为 ，3 2 ，所以 cos 5 5 ，sin 25 5 . 所以 cos 4 cos cos 4 sin sin 4 5 5 2 2 25 5 2 2 310 10 . 三角恒等变换的综合应用 典题导入 (2011四川高考) 已知函数f(x) sin

17、 x7 4 cos x 3 4 ，xR. (1) 求f(x) 的最小正周期和最小值； (2) 已知cos( ) 4 5，cos( ) 4 5，0 2 ，求证： 22 0. (1) f(x) sinx 7 4 2 cosx 4 2 sin x 4 sin x 4 2sin x 4 ， T2，f(x)的最小值为2. (2) 证明：由已知得cos cos sin sin 4 5， cos cos sin sin 4 5. 两式相加得2cos cos 0. 0 2 ， 2 . 224sin2 4 20. 在本例条件不变情况下，求函数f(x) 的零点的集合 解：由 (1) 知f(x) 2sinx 4 ，

18、 sinx 4 0，x 4 k(kZ) ， xk 4 (kZ) 故函数f(x) 的零点的集合为x xk 4 ，kZ . 由题悟法 三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把 函数化为yAsin( x) 的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特 征，注意利用整体思想解决相关问题 以题试法 3已知函数f(x) 2cos xcosx 6 3sin 2x sin xcos x. (1) 求f(x) 的最小正周期； (2) 当 时，若f( )1，求 的值 解： (1) 因为f(x) 2cos xcosx 6 3sin 2x sin xcos x 3cos 2 xsin

19、xcos x3sin 2xsin xcos x 3cos 2xsin 2x2sin2x 3 ， 所以最小正周期T. (2) 由f( ) 1，得 2sin2 3 1， 又 ，所以2 3 3 ， 7 3 ， 所以 2 3 5 6 或 2 3 13 6 ， 故 4 或 11 12 . 板 书 设 计 三角恒等变换及应用 1两角和与差的三角函数 sincoscossin)sin(； sinsincoscos)cos(； tantan tan() 1tantan 。 2二倍角公式 cossin22sin； 2222 sin211cos2sincos2cos； 2 2tan tan2 1tan 。 3三角

20、函数式的化简 常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角； 三角公式的逆用等。 （2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使 项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。 （1）降幂公式 2sin 2 1 cossin； 2 2cos1 sin 2 ； 2 2cos1 cos 2 。 （2）辅助角公式 22 sincossinaxbxabx， 2222 sincos ba abab 其中，。 教 学 反 思 本讲知识的复习不能仅仅要求学生记忆公式，应该回顾推导公式， 把握各公式之间的关系， 利于学生整体掌握知识体系，灵活应用公式解决相关问题。 公式的应用包括求值、化简、证明。特别是化简，在复习时应筛选一定量的题目让学生训 练，使学生能灵活应用公式。 对把函数式化成y=Asin( x+) 形式，学生掌握的还不够好，以后还要在选择合适的题 目加强训练。