2019-2020年高三数学第一轮复习第05讲函数图象及数字特征教案.pdf

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1、2019-2020 年高三数学第一轮复习第05 讲 函数图象及数字特征教 案 一课标要求： 1掌握基本初等函数的图象的画法及性质。如正比例函数、反比例函数、一元一次 函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等； 2掌握各种图象变换规则，如：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等； 3识图与作图： 对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围， 变化趋势、 对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。甚至是处理涉及函 数图象与性质一些综合性问题； 4通过实例，了解幂函数的概念；结合函数 2 1 132 ,xyxyxyxyxy 的图像，了解它们的变化情况。 二命题走向

2、函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数 知识占有极其重要的地位。其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类 与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、 能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地。 从历年高考形势来看： （1）与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移 变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结 合思想来解题的能力，会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中 的问题； （2）函数综合问题多以知识交汇题为主，

3、甚至以抽象函数为原型来考察； （3）与幂函数有关的问题主要以 2 1 132 ,xyxyxyxyxy 为主，利用 它们的图象及性质解决实际问题； 预测 07 年高考函数图象： （1）题型为1 到 2 个填空选择题； （2）题目多从由解析式 得函数图象、数形结合解决问题等方面出题； 函数综合问题： （ 1）题型为1 个大题；（2）题目多以知识交汇题目为主，重在考察 函数的工具作用； 幂函数：单独出题的可能性很小，但一些具体问题甚至是一些大题的小过程要应用 其性质来解决； 三要点精讲 1函数图象 （1）作图方法： 以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法， 掌握这两种方法是本

4、讲座的重点。 作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性 质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；描点连线，画出函数的图象。 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关 键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作 一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个 难点 用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎 样的变换，这也是个难点。 （2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； 平移变换： 、水平平移：函数()yf xa的图像

5、可以把函数( )yf x的图像沿x轴方向向 左(0)a或向右(0)a平移|a个单位即可得到； 1）y=f(x) h左移 y=f(x+h)；2）y=f(x) h右移 y=f(xh)； 、竖直平移：函数( )yf xa的图像可以把函数( )yf x的图像沿x轴方向向 上(0)a或向下(0)a平移|a个单位即可得到； 1）y=f(x) h上移 y=f(x)+h；2）y=f(x) h下移 y=f(x)h。 对称变换： 、函数()yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于y轴对称即可得到； y=f(x) 轴y y=f(x) 、函数( )yf x的图像可以将函数( )yf x的图像关于x轴对称即可得到

6、； y=f(x) 轴x y= f(x) 、函数()yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于原点对称即可得到； y=f(x) 原点 y= f(x) 、函数)(yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于直线yx对称得到。 y=f(x) xy直线 x=f(y) 、 函数)2(xafy的图像可以将函数( )yfx的图像关于直线ax对称即可 得到； y=f(x) ax直线 y=f(2a x) 。 翻折变换： 、函数|( ) |yf x的图像可以将函数( )yf x的图像的x轴下方部分沿x轴翻折 到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留( )yf x的x轴上方部分即可得到； y=f(x) cba

7、o y x y=|f(x)| cba o y x 、函数(|)yfx的图像可以将函数( )yf x的图像右边沿y轴翻折到y轴左边 替代原y轴左边部分并保留( )yf x在y轴右边部分即可得到 y=f(x) cba o y x y=f(|x|) cb a o y x 伸缩变换： 、函数( )yaf x (0)a的图像可以将函数( )yf x的图像中的每一点横坐标不 变纵坐标伸长(1)a或压缩（01a）为原来的a倍得到； y=f(x) ay y=af(x) 、函数()yf ax (0)a的图像可以将函数( )yf x的图像中的每一点纵坐标不 变横坐标伸长(1)a或压缩（01a）为原来的 1 a 倍

8、得到。 f(x)y=f(x) ax y=f(ax) （3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。 2幂函数 yx (, )01在第一象限的图象，可分为如图中的三类： 1010 图 在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的幂函数 yx 中限于在集合 21 1 2 1 3 1 2 123， ，中取值。 幂函数有如下性质： 它的图象都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交； 定义域为R或（， ）（，）00的幂函数都具有奇偶性，定义域为 R 或，0的幂函数都不具有奇偶性； 幂函数yx ()0都是无界函数；在第一象限中，当0时为减函数，当 0时为增函

9、数； 任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1） ，至多有三个公共点； 四典例解析 题型 1：作图 例 1 （06 重庆理）如图所示， 单位圆中弧AB的长为x,f(x) 表示弧AB与弦AB所围成 的弓形面积的倍，则函数y=f(x) 的图象是（） AB CD 解析：显然当 2 x时，阴影部分的面积等于 4 1 圆的面积减去以圆的半径为腰的等 腰直角三角形的面积， 22 2 ) 2 1 4 (2) 2 (f， 即点) 2 2 , 2 ( 在直线 xy 的 下方，故应在C、D中选择。而当当 2 x时，阴影部分的面积等于 4 1 圆的面积加上以圆 的半径为腰的等腰直角三角形的面积， 2 3 2 2

10、3 ) 2 2 (2) 2 3 (f，即点 ) 2 23 , 2 3 ( 在直线xy的上方，故应选择D。 点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决 问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函 数图象个关系； 例 2 （1996 上海，文、理 8）在下列图象中， 二次函数y=ax 2 +bx与指数函数y= （ a b ） x 的图象只可能是（） 解析一：由指数函数图象可以看出02 时，f(x)0，从而有a0， b 0。 点评：通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。 题型 5：函数图像变换的应用 例 9已知10a，方程

11、|log| | xa a x 的实根个数为（） A2 B 3 C4 D2 或 3 或 4 根据函数与方程的关系，知方程|log| | xa a x 的根的个数即为函数 |x ay与函数 |log|xy a 的图像交点的个数。 该题通过作图很可能选错答案为A，这是我们作图的易错点。若作图标准的话，在同 一个直角坐标系下画出这两个函数的图像，由图知当10 e ea时，图像的交点个 数为 3 个；当 16 1 a时，图像的交点个数为4 个；当 2 1 a时，图像的交点个数为2 个。 选项为 D。 点评：该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函 数的交点问题” ，借助函数的

12、图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。 例 10设 2 ( )|2|f xx，若0ab，且( )( )f af b，则ab的取值范围是（） A(0 , 2)B(0 , 2C(0 , 4D(0 ,2) 解析：保留函数 2 2xy在x轴上方的图像，将其在x轴下方的图像翻折到x 轴上方区即可得到函数 2 ( )|2|f xx的图像。 21 o y x 通过观察图像， 可知( )f x在区间(,2上是减函数， 在区间2,0上是增函 数， 由0ab， 且()()f afb可知20ab， 所以 2 ( )2f aa， 2 ( )2f bb， 从而 22 22ab，即 22 4ab，又 22 2|4aba

13、b，所以02ab。选项为 A。 点评：考察函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数 2 2xy的图像和性质，进而得到 2 ( )|2|f xx的图像和性质。 题型 6：幂函数概念及性质 例 11函数 n m xy| |,| ,0,(nmmZnm 互质）图像如图所示，则（） Anmmn,0均为奇数 Bnmmn, 0一奇一偶 Cnmmn, 0均为奇数 Dnmmn,0一奇一偶 解析：该题考察了幂函数的性质，由于幂函数在第一象限的图像趋势表明函数在 ),0(上单调递减，此时只需保证0 n m ，即 0mn ，有 | | n m n m xxy；同时函数 只在第一象限有图像，则函数的定

14、义域为),0(，此时| n定为偶数，n即为偶数， 由于两个数互质，则m定为奇数。 答案：选项为B。 点评：该题突破了传统借形言数思路，属于“由图形得解析式”的题目。为此需要分 清幂函数 xy在1, 10,0几种不同情况下函数的图像的特点，更甚至在 同一种情形下取不同数值对函数图像的影响也要了解。 例 12画出函数y x x 32 3 的图象，试分析其性质。 O x y 解析： 先要找出它是哪一种函数平移而来的，它应是由 反比例函数平移而来， y x x x x 32 3 233 3 ()3 3 2 x （这种变换是解 决这类问题的关键） ， 由此说明，y x x 32 3 是由y x 3 图

15、象向右平移3 个单位， 再向下平移2 个单位得到的， 如图所 示：具体画图时对于图象与坐标轴的交点位置要大致准确， 即xyyx,0, 1,0 3 2 。故图象一定过（0， 1）和 3 2 0 ,两个关键点。 再观察其图象可以得到如下性质：定义域,2|,3|RyyyRxxx值域， 单调区间(, )( ,)33和上单调递增； 既不是奇函数也不是偶函数，但是图象是中心对 称图形，对称中心是（3， 2） 。 点评：幂函数 x y 1 的图象与性质是解决该类问题基础。注意此题两个增区间之间 不能用并集号。 题型 7：抽象函数问题 例13 函 数 )(xf 的 定 义 域 为D：0|xx且 满 足 对 于

16、 任 意Dxx 21, ， 有 ).()()( 2121 xfxfxxf （）求)1(f的值； （）判断 )(xf 的奇偶性并证明； （）如果), 0()(,3)62() 13(, 1)4(在且xfxfxff上是增函数，求x 的取值范围。 （）解：令.0)1(),1 ()1 ()11 (,1 21 ffffxx解得有 （）证明：令 12 1,xx (1)( 1)( 1)( 1),( 1)0ffff有解得 令).()(),()1()(, 1 21 xfxfxffxfxxx有 )(xf为偶函数。 （）.3)4()16()416(,2)4()4()44(ffffff )64()62)(13(3)62

17、()13(fxxfxfxf即（1） ),0()(在xf上是增函数， （ 1）等价于不等式组： .64) 62)(13( ,0)62)(13( ,64)62)(13( , 0)62)(13( xx x xx xx 或 Rx x x xx ,3 3 1 , 5 3 7 , 3 1 3 或 或 .3 3 1 3 1 3 7 53xxx或或 x的取值范围为.533 3 1 3 1 3 7 |xxxx或或 点评：以抽象函数为模型，考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极 限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力。认真分析处理好各知识的相互联系，抓住 条 件f(x1+x2) f(x1) f(x2)

18、找到问题的 突破口，由f(x1+x2)=f(x1) f(x2) 变形 为 ( )()( )( ) 2 222 xxxx f xfff是解决问题的关键。 例14 （2005广东19）设函数),()(在xf上满足 )7()7(),2()2(xfxfxfxf， 且在闭区间 0 ， 7 上，只有.0)3()1 (ff （）试判断函数)(xfy的奇偶性； （）试求方程0)(xf在闭区间 2005，2005 上的根的个数，并证明你的结论。 解析： （）由 (2)(2)( )(4) (4)(14) (7)(7)( )(14) fxfxf xfx fxfx fxfxf xfx )10()(xfxf， 从而知函

19、数)(xfy的周期为 10T 又(3)(1)0,(7)0fff而， ( 3)( 310)(7)0fff，所以( 3)(3)ff 故函数)(xfy是非奇非偶函数； (II) 又(3)(1)0,(11)(13)( 7)( 9)0ffffff 故f(x) 在 0,10和 10,0 上均有有两个解， 从而可知函数)(xfy在0,2005上有 402 个解， 在 2005.0 上有 400 个解 , 所以函数)(xfy在 2005,2005 上有 802 个解。 点评：充分利用函数的数字特征，并将其转化为函数的性质，再来解题。 题型 8：函数图象综合问题 例 15如图，点A、B、C都在函数y=x的图象上

20、，它们的横坐标分别是a、a+1、 a+2。又A、B、C在x轴上的射影分别是A、B、C , 记ABC的面积为f(a) ，A BC的面积为g(a)。 （1）求函数f(a) 和g(a) 的表达式； （2）比较f(a) 与g(a) 的大小，并证明你的结论。 解： (1) 连结AA、BB、CC, 则f(a)=SAB C=S梯形AA C CSAA BSCC B = 2 1 (AA+CC)= 2 1 (2aa), g(a)=SABC= 2 1 ACBB=BB=1a。 1 (2)( )( )(221) 2 f ag aaaa 1 (21)(1) 2 aaaa 111 ()0 2211aaaa f(a)g(a)

21、 。 点评：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等，充分借助图 象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口，解题思路：图形面积不 会拆拼、数形结合、等价转化。 例 16 设曲线C的方程是 3 yxx， 将C沿x轴、y轴正方向分别平移t、 s ( 0)t 个单位长度后得到曲线 1 C， （1）写出曲线 1 C的方程； （2）证明曲线 C与 1 C关于点(,) 2 2 ts A对称； （3）如果曲线 C与 1 C有且仅有一个公共点，证明： 2 4 t st 解析：（1）曲线 1 C的方程为 3 ()()yxtxts； （2）证明：在曲线C上任意取一点 111 (,)B

22、xy， 设 222 (,)Bxy是 1 B关于点A的对称点，则有 1212 , 2222 xxtyys ， 1212 ,xtxysy。 代入曲线 C的方程，得 22 ,xy的方程： 3 222 ()()sytxtx。 即 3 222 ()()yxtxts可知点 222 (,)Bxy在曲线 1 C上。 反过来，同样证明，在曲线 1 C上的点A的对称点在曲线C上。 因此，曲线C与 1 C关于点A对称。 （3）证明：因为曲线C与 1 C有且仅有一个公共点， 方程组 3 3 ()() yxx yxtxts 有且仅有一组解， 消去y，整理得 223 33()0txt xtts，这个关于x的一元二次方程有

23、且仅有一个 根， 43 912 ()0tt tts，即得 3 (44 )0t tts， 因为0t，所以 3 4 t st。 点评：充分利用函数图像变换的原则，解决复合问题。 五思维总结 函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定 义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为 此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌 握函数图象的平移变换、对称变换。 常见的函数数字特征有： （1）函数奇偶性： 奇函数)()(xfxf； 偶函数)()(xfxf。 （2）函数单调性： 单调递增0 )()( 21 21 xx xfxf 或0)()()( 2121 xfxfxx； 单调递增0 )()( 21 21 xx xfxf 或0)()()( 2121xfxfxx 。 （3）函数周期性 周期为T：)()(xfTxf或) 2 () 2 ( T xf T xf； （4）对称性 关于y轴对称：)()(xfxf； 关于原点对称：)()(xfxf； 关于直线ax对称：)()(xafxaf或)2()(xafxf； 关于点),(ba对称：)2(2)(xafbxf或)()(xafbbxaf。