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1、2019-2020 年高中奥数 平面几何图形集 竞赛辅导专家精品讲 义教案 一. 基本图形与基本结论 用综合法解平几题，一般可先问：（每个平几题都有涉及的基本图形与基本结论！） 发现了什么基本图形?有什么基本结论可以利用么? 从（几十个）基本图形、基本结论入手: 1. (三角形的内切圆、旁切圆的性 质) 基 本 图 形： 三 角 形 的 内切圆、 旁切圆，及其在边上的切点. 基本结论一 : 三角形内切圆的性质（可用a、b、c表出与切点有关的诸线段.） 2AM ABACBC 2p； 2AGAB ACBC；GM BC 等. 参练习 1图 基本结论二：三角形 内切圆与 旁切圆性质： 若 D 为内切圆
2、的切点，F 为旁切圆的切点， 则有 BD CFCM pb；Spr；S （ ABACBC） A r2 等. 参练习 1图 2. ( 圆与弧、角，三角形五心的性质) 基本图形： 三角形及其外接圆，外心，内心. 基本结论三 : 三角形角B 平分线与其外接圆的交点G 有性质 : GIGAGC； BIC90 2 1 A ； BOC2A；abc4RS 等 I O E D C B A G I O E D C B A P J DL K C B A J T M P L K D C B A S R K M L I C B A 基本结论四 :顺向全等的三角形保角，即对应边的夹角保持相等 顺向全等的三角形（如ADE
3、与 GOI）的 定义 : 两三角形全等； 且对应顶点的排列顺序相同. 顺向全等三角形的判定：两三角形全等；各 对应边的夹角同为锐角或钝角. 3. ( 圆与幂，证两线垂直的新法) 与圆的幂，与证线段垂直有关的 问题！ 基本结论五 : 一点关于一圆的幂： PRPCPO2r2. 基本结论六 : 两线垂直的条件 AO PQ AQ 2 AP2OQ2OP2. 4. (圆、平行线与角，证一角为锐角或钝角的方法，射影定理的引伸) 基本结论七 : 一角为直角、锐角、钝角的条件 当 CH AB 时， BCA 为直角CH 2AH BH； BCA 为锐角CH 2AH BH； BCA 为钝角CH 2AH BH. 要证
4、RIS 是锐角 , 只要证 :BI SR ，BI 2BS BR. 证一角为锐角的三种方法：利用斜率；余弦定理；及射影定理之逆 N M R O Q P C B A L SR I M K C B A P F E D C B A 5. （多圆与等幂轴， 即根轴的性质） 一个与圆的根轴有关的问题根轴，是对两圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线 的直线 基本结论八 : 两圆相交，根轴就是公共弦所在的直线；两圆相离，四条公切线的中点在 根轴上 由任意点P 到两圆 O、 O 1的切线 PE 、PF，有 PE2 PF 2=2PH OO1 . （ PH垂直于根轴，H为垂足 .PEPF.） 6 （三角形诸要素间
5、的关系） 基本结论九：三角形的内半与外半r 4R sin 2 A sin 2 B sin 2 C ； 2r R； 基本结论十：三角形的角sin 2 A bc cpbp ； 三角形的角平分线 a tapbcp cb 2 2 cos 2A cb bc 二. 常用的辅助线添法 用综合法解平几题，关键常是：要添好适当的辅助线！ 这样添辅助线，你是怎么想到的? 是从什么情境 中想出来的 ? 想法与添线：从条件、结论及准备想用的证法中， 形成的想法 7. (对称添线，从结论想到的) T S l O1 O D1 D C B1 A1 B A H O1O F E P E 1 NM P F E DC B A G
6、F E D C B A 考虑到 ADE ADF ，为了把DE与 DF拉直！用 三角形不等式证明线段的不等关系 作出 E点关于 BC的对称点E 1，使新四线段 CE 1、CF 、 DE1、DF大致能形成一个三角形 . 可能还要利用 塞瓦图景 ！ 8. (平移添线，使分散的线段BE 、CF 、AD集中到一处 ) P F E D C B A 把线段 EB 、 FC平移到 DI、DJ 处，与 AD集 中在一个四边形AIDJ 中！ 于是，欲证不等式的方向正与托勒密不等式 的方向相同，可能用四边形的托勒 密定理 证线段的不等关系么？ 9. ( 旋转添线，构造全等 形) 两个结论，证明了一个，另一 个即 “
7、同理可证 ” 考虑到圆内接四边形的外角的 性质及条件BC CD ！ 绕着 C 点旋转图形的一部分： 把 CDF转到 CBH处！这就增多了 G J I P F E D C B A M H G F E D C B A Q P E D C BA 相等线段、相等角，与比例线段、平行线等可以一试！ 10. ( 距离比, 三角法 ) 先证 A、C、U共线（余仿此！ ）. 考察 相交线形成的角的图景：即 APUS与 CRUQ 两个四 边形形成的图景 利用锐角三角函数，比例线段与相似形注意到APAS ；CRCQ等 11( 由要用的证法想到了辅助线) 有多种证法！ 一种想法是：欲利用三圆的等幂轴共点的性质 来证
8、这就要：构造出三个适当的圆，使三条对角 线恰好为每两个圆的一条等幂轴想法引导出 辅助线的一例 三. 常用方法 平几题有多种非纯几何证法！这也反映 了平几与数学各科的紧密联系与优势 三角法 , 向量法 , 代数法 , 解析法，面 积法等 12. (三角法 , 充要条件 ) 三角法的要点是； 设定能确定本问题情境的 几个基本量 后， 使重要的相关量都能用基本量表 示出来 基本量 :R、（ ACD ） 、（ BCE ） ，再 T U S R Q P D C B A T U S R Q P F E D C B A W X S P Z Y Q R U C A 令 DCE. 以 R 、（）为基本量, 如何
9、表出PQ,AP,BQ? 13. ( 向量法，比例关系 ) 向量法的要点是： 选定几个向量为基向量 后. 重要的相关向量均能用基向量表示出来 . 取任一点为原O点，以 OP 、 OQ 、OA 、OB为基向量 14. ( 代数法 , 几何最值 ) 只要证什么？可归结为证什么？； 先把问题 三角化 ，转化为证一个与半角相关的不等式； 再令x A 2 sin，化为证一个代数不等式代数化 . 15. ( 对称法 , 三角法) 中垂线，角平分线作为图形的对称轴！ 只要去证相关的面积比 为 1. 用什么面 积公式比较合适? 把各个比集中到一直线上，以便化简. l L R K Q P O C BA T N M
10、 DC B A Y X Q P T1 N1 D1 B 1 T N M Y D B Q C A X P hc B1D C B A D N M O C BA 16. ( 分析法 ) 圆的角；共圆点多处梅涅劳斯图景 要证这个，可化归为证什么？ 一步步 倒推分析 ！ 17( 同一法 ) CD AB与 CH AB且 DH AB同一 因为过一点只能作某直线的一条垂线. 四. 思路的方向 思路的方向与选择合适的方法，这两者都很重要: 你自以为，解题要点、思路方向选准了么? 从题情出发，试选择一种合适的方法! G N M F E Q P D C B A N M G D KO H C B A I HG F E
11、DC B A 18. (代数法，几何计算 ) 求三角形的面积的公式： S pr cpbpapp2 2 R sinAsinBsinC R abc 4 . 猜想的作用 : 可能有 : BGF CGE. 如果相似的话，怎样证明它们相似? 地位对等的利用. 比如，对于 BGF与 CGE ，同理可证 ! 19. （同一法，利用同理可证！ ！ ） 证三点共线的方法：综合法，同一法，向量法. P点关于 ADC ， 与 Q点关于 ABC 地位对等 . Q P F E D C B A I H G F E D C B A 20. ( 多个托勒密定理的图景 ) 条件利用于添辅助线；托勒密定理的图景. 要求最小值的结
12、论的启示:最小值与不等式； 要求f（P）的 最小值 , 就是要证f（P）不小于某一个值. 21. （四边形各边中点图景，辅助线） 三角形各边 中点与中位线定理yEG FH，xAC BD. 于是 , 目标 是推出 : y?x. 因此 , 可以 归结为推证 :EG?,FH ?. 直线段不大于同端点的曲线段之和. E P O D C B A F E P O D C B A V U N M S1 R1 Q1 P1 S R Q P H G F E D C B A F E H G S R Q P D C B A 22. ( 阿氏圆 ) 阿氏圆 : 到两定点的距离比为定值的点的轨迹. 当 AB AC为定值时， A点的轨迹为BAC的内、外角的平分线与BC的交点连线为直径 的圆.此圆即称为阿氏圆. 又有性质： CAP BAP 2FAP. F F1 P CB A