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1、2019-2020 年高二数学直线和平面平行与平面和平面平行同步辅导教材 人教版 一、本讲进度 第九章直线、平面、简单几何体 93 直线和平面平行与平面和平面平行 二、主要内容 1、直线和平面的位置关系，直线和平面平行的判定和性质； 2、两个平面平行的性质和判定。 三、学习指导 1、直 线和平面的位置关系用二分法分类 直线和平面 至少有两个公共点 有且仅有一个公共点 有公共点 无公共点 AA / 2、由于“平面”这个基本图形的引入，空间元素的位置关系在线与线的基础上，增加了直 线和平面，平面与平面的位置关系，本小节主要研究直线和平面以及平面和平面无公共点的位 置情形平行。 在研究“平行”位置关
2、系时，应突出一个转化的思想。如通过判定定理线线平行转化为线 面平行，线面平行转化为面面平行，通过性质或性质定理，上述关系可以逆转化。具体如下表： 平行关系的判定： 条件 结论 线线平行线面平行面面平行 线线平行公理 4 线面平行的性质定理面面平行的性质定理 线面平行线面平行的判定定理 若 ，a，则 a 面面平行 面面平行判定定理的 推论 面面平行的判定定理 若 ，则 3、在立体几何中，除了需要添加辅助线外，通常还需要添加辅助平面。而且辅助线往往是 依附在辅助平面上的。例如在证明a时，需要在 内找一条直线b，使得 ba。这条辅助 直线 b 的作法应该是：过直线作一辅助平面，与的交线即为所找直线b
3、，图形如下： 这种“欲作辅助线，先作辅助平面”的思考方法在后面学习过程中还会经常用到，希同学 们理解、掌握。在这里，它还反应了性质定理与判定定理的内在联系。 构造辅助平面的依据是公理三及其三个推论。 四、典型例题 例1、 P是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q是 PA中点，求证：PC 平面 BDQ 。 分析：为了在平面BDQ内找到一条与PC平行的直线，只要设法过PC作一个与平面BDQ 相 交的平面 ，则 与平面 BDQ的交线即为所求直线。 PA PC=P PA、 PC可确定平面PAC 连 AC ，设 AC BD=O 则 OAC ，OBD O平面 PAC ， O 平面 QBD 又 QPA Q
4、平面 PAC ， Q 平面 QBD 平面 PAC 平面 BQD=OQ 这就找到了过PC的辅助平面PAC与平面 BDQ的交线 OQ ，下证 OQ PC即可。 O 为平行四边形ABCD 对角线的交点 O 为 BD中点 又 Q为 PA中点 OQ PC 又 OQ 平面 BQD PC平面 BQD 注： 1、本题通过两条相交直线PA、PC构造出了辅助平面PAC ； 2、在 证明 PC OQ时，利用中位线定理； 3、本 题还可以通过构造辅助平面，利用面面平行的性质证明。 延长 AB至 E，使 AB=BE ，连 PE 、CE B 为 AE中点 BQPE BE / CD BDEC 又 BQ BD=B 平面 BD
5、Q 平面 PCE PC平面 BDQ 4、在 3 中，若再延长EC与 AD ，设它们的交点为F，则一定有平面BDQ 平面 PEF 。 5、由 上面两种证法可知，构造辅助平面在立体几何证明中的重要性。 例 2、两个全等的正方形ABCD和 ABEF所在平面相交于AB ，M AC ，NFB，且 AM=FM ，求 证： MN 平面 BCE 。 分析：由例1 的分析可知，解题的关键是如线在直线MN的基础上构造辅助平面。 法一：利用线面平行的判断定理 根据构造平面的位置差异，又有下列几种途径： 途径一：辅助平面由AC与 MN 确定 延长 AN交 BE延长于 G，连 CG ， CG为辅助平面CAN与平面 BC
6、E的交线，下证CG MN 。 AF BE NG AN NB FN FN=AM ，FB=AC NB=MC MC AM NB FN NG AN MC AM 该等式中的线段均在同一平面内 MN CG 途径二：辅助平面与MN由 BF确定，延长BM交 AD于 H，连 FH，下证 FH MN 。类似于途径 一。略 途径三：分别过M 、N作 MM 1BC，NN1BE ，M1、N1为垂足。辅助平面由MM1与 NN1构造， M1N1 为辅助平面MM1N1N与平面 BCE的交线，下证MN M1N1。 MM1AB AB MM CA CM 1 NN1EF EF NN BF BN1 AC=BF，AM=FN CM=BN
7、又 AB=EF 由得MM 1=NN1 MM1N1N为平行四边形 MN M1N1 MN平面 BCE 法二；利用面面平行的性质 此时，同样要在MN 基础上构造与平面BCE平行的辅助平面 过 M 、N分别作 AB的垂线，设垂足分别为M2、 N2 MM2CB AC AM AB AM 2 NN2AF FB FN AB AN 2 AM=FN ，AC=FB AM2=AN2 M2与 N2重合 平面 MM2N平面 BCE MN平面 BCE 注：平面几何知识是学好立体几何的基础之一，在运用平面几何知识时，应在相关元素在 同一平面的前提下进行，否则可能发生错误。如本题运用的平行线分线段成比例定理。 例 3、P是 A
8、BC所在平面外一点，A，B，C分别是PBC ， PCA ， PAB的重心， （1）求证：平面ABC平面ABC ； （2）求 SABC ：SABC。 分析：根据判定定理，欲证面面平行，应先证线面平行，而线线平行又是线面平行的基础， 就本题而言，应从容易把握的线线平行着手。 连 PC ， PA ，PB 分别交AB ，BC ，CA于 D，E，F 则 D，E， F分别为 AB ，BC，CA中点， 且 A，B，C分别为PE ，PF，PD的三等分点。 3 2 PE PA PD PC AC DE 3 2 PF PB PE PA AB EF 平面 A BCD平面ABC 注：本题直接利用面面平行判定定理的推论，
9、不必再将线线平面转化为线面平行。 （2） 3 2 PD PC DE CA AC= 3 2 DE 又 DE= 2 1 AC AC= 3 1 AC，即 3 1 AC CA 同理： 3 1 AB BA ， 3 1 BC CB ABC ABC 9 1 AC CA S S 2 ABC CBA 注：当两个三角形相似时，平移它们的位置到空间时，因三角形形状未变，仍然是相似的。 本题在空间中运用了平面几何中的三角形相似定理，是正确的。 同步练习 （一）选择题 1、a，则 a 平行于 内的 A、一条确定的直线 B、任意一条直线 C、所有直线 D、无穷多条平行直线 2、a，b 是异面直线，下列结论正确的是 A 、
10、过不在a，b 上的任一点，可作一个平面与a，b 平行 B 、过不在a，b 上的任一点，可作一条直线与a，b 相交 C 、过不在a，b 上的任一点，可作一条直线与a，b 都平行 D 、过 a 可以并且只可以作一平面与b平行 3、设 =，a ，a ，则 a 与的位置关系是 A 、异面 B、平行 C、相交 D、异面或相交 4、a 是平面 外一条直线，下列条件可得出a的是 A 、a 与内的一条直线不相交 B、a 与内的两条直线不相交 C 、a 与内的无数条直线不相交 D、a 与内的所有直线不相交 5、a 是平面 外的一条直线，过a 作平面 ，使 ，下列结论正确的是 A 、这样的 只可以作一个 B、这样
11、的 至少可作一个 C 、这样的 不存在 D、这样的 至多有一个 6、 ，a，B，则在 内过点 B的直线中 A 、不存在与a 平行的直线 B、不一定存在与a 平行的直线 C 、有且只有一条与a 平行的直线 D、有无穷多条与a 平行的直线 （二）填空题 7、A，过点 A可作 _条直线与 平行。 8、ABCD是梯形， AB CD ，AB=a ， CD=b ，AC与 BD交于 O，过 O作平面 与 AB平行， AD =M ，BC =N ，则 MN=_ 。 9、a，A是 另一侧的点， B，C，D a，线段 AB ，AC ，AD交于 E， F，G，若 BD=4 ， CF=4 ，AF=5 ，则 EG=_ 。
12、 10、 ABC中， AB=5，AC=7 ，A=60 0，G是重心，过 G的平面 与 BC平行， AB =M ，AC =N，则 MN=_ 。 11、设 ， A、C，B、D，直线 AC与 CD交于点 S，且 AS=8 ， BS=9，CD=34. （1）当 S在， 之间时， CS=_。 （2）当 S不在 ，之间时， CS=_ 。 12、，ABC在平面 内，P是，间一点， 线段 PA ，PB ，PC分别交 于 A，B， C，若 BC=12 ， AC=5 ，AB=13 ，且 PA PA=2 3，则 ABC的面积为_。 13、若 ab，a ，则 b 与的位置关系是_。 14、正方体ABCD A1B1C1
13、D1中 （1）BD与平面 AD1C的位置关系是 _； （2）BD与平面 CB1D1的位置关系是 _； （3）平面 CB1D1与平面 A1BD的位置关系是_。 （三）解答题 15、已知 ab，a，b，求证 b。 16、已知 =，a，a，求证： a。 17、正方体ABCD A1B1C1D1中， E、F、G分别为B1C1，A1D1，A1B1 的中点， 求证：平面EBD 平面 FGA 18、已知两条异面直线a，b 分别与三个平行平面，相 交于点 A，B， C和 P， Q ，R，又 AR ， CP与平面 相交于点M ，N，求证： MBNQ 为平行四边形。 19、，C，B、D，点 E、F分别在线段AB 、
14、 CD上，且 FD CF EB AE ，求证： EF 。 参考答案 （一）选择题 1、D 2、D 3、B 4、D 5、 D 6、C （二）填空题 7、无数条 8、 ba ab NOMO, b a OC AO OD BO , ba ab2 9、 9 20 。 E 、F、G共线， a， aEG ， BD EG AC AF ， 9 20 EG 10、39 3 2 。3960cosACAB2ACABBC 022 ，BC 3 2 MN / ， 39 3 2 MN。 11、16，272。 ACBD ， （1） SD CS BS AS ， x34 x 9 8 ； （2） SD SC SB SA ， 34x
15、x 9 8 。 12、 3 40 。ABC ABC ， 3 2 PA PA AC CA 。 13、平行或在平面。 14、 （1）相交；（2）平行；（3）平行。 （三）解答题 15、过 a 作平面 交于 C，则 ac， cb c，b b 16、在 内取不在上一点 A，过 a， A作平面 M ，设 M =b，则 ab。 同理，过a作平面 N交于 c，则 a b b c b b， = b 17、 A1F / B1E EF / A1B1 EF / AB AF / BE GF / 2 1 B1D1 GF / 2 1 BD AF平面 AFG ，GF平面 AFG ，AF GF=F 平面 AGF 平面 EBD 18、平面 ACP =AP，平面 ACP =BN ， BN AP 同理： MQ AP BN MQ 同理： BM NQ MBNQ为平行四边形 19、当 AB与 CD共面时，由 FD CF EB AE 得 EFBD EF 当 AB与 CD异面时，过A作 AG CD交 于 G，取 AG中点 M ，连 EM ，FM ABG中， EM BG 平行四边形ACDG 中， MF DG 平面 EMF EF