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1、2019-2020 年高考数学（理）试题及答案全国卷 科目：数学试卷名称2011 年普通高等学校招生全国统一考试全国卷II( 理科 ) 知识点检索号 新课标 题目及解析 54 （1）复数1zi，z为z的共轭复数，则1zzz （A）2i（ B） i （C）i（D）2i 【思路点拨】先求出的z共轭复数 ,然后利用复数的运算法则计算即可。 【精讲精析】选B.1,1(1)(1)(1)1zi zzziiii. 4 （2）函数2(0)yx x的反函数为 （A） 2 () 4 x yxR（B） 2 (0) 4 x yx （C） 2 4y x ( )xR（D） 2 4(0)yxx 【思路点拨】先反解用y 表示
2、 x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。 【精讲精析】选B.在函数2(0)yx x中，0y且反解x 得 2 4 y x，所以 2(0)yx x的反函数为 2 (0) 4 x yx. 24 （3）下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是 （A）1ab（B）1ab（ C） 22 ab（D） 33 ab 【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出ab，而 由 ab 推不出选项的选项. 【精讲精析】选A.即寻找命题P 使 P,ab ab推不出 P，逐项验证可选A。 11 （4）设 n S为等差数列 n a的前n项和，若 1 1a，公差2d， 2 24 kk
3、SS，则 k （A）8 （B）7 （C） 6 （D）5 【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。思路二： 利用 221kkkk SSaa直接利用通项公式即可求解，运算稍简。 【精讲精析】选D. 2211 2(21)2(21)2245. kkkk SSaaakdkk 19 （5）设函数( )cos(0)fxx，将( )yf x的图像向右平移 3 个单位长度后， 所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 （A） 1 3 （ B）3（C）6（D）9 【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将( )yfx的图像向右平 移 3 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，
4、说明了 3 是此函数周期的整数倍。 【精讲精析】选C. 由题 2 () 3 k kZ,解得 6k，令1k ，即得 min 6. 40 (6)已知直二面角l， 点,AACl,C 为垂足，,BBDl D为垂足若 AB=2 ，AC=BD=1 ，则 D 到平面 ABC 的距离等于 (A) 2 3 (B) 3 3 (C) 6 3 (D) 1 【思路点拨】本题关键是找出或做出点D 到平面 ABC 的距离 DE，根据面面垂直的 性质不难证明AC平面，进而平面平面 ABC,所以过 D 作DEBC于 E， 则 DE 就是要求的距离。 【精讲精析】选C. 如图，作DEBC于 E，由l为直二面角， ACl得AC平
5、面， 进 而ACDE， 又 ,BCDE BCACCI，于是DE平面 ABC ， 故 DE 为 D 到平面 ABC 的距离。 在Rt BCD中，利用等面积法得 126 33 BDDC DE BC . 45 (7)某同学有同样的画册2 本，同样的集邮册3 本，从中取出4 本赠送给4 位朋友每位 朋友 1 本，则不同的赠送方法共有 (A)4 种(B)10 种(C)18 种(D)20 种 【思路点拨】本题要注意画册相同，集邮册相同，这是重复元素，不能简单按照排列 知识来铸。所以要分类进行求解。 【精讲精析】 选 B.分两类： 取出的 1 本画册， 3 本集邮册， 此时赠送方法有 1 4 4C种； 取出
6、的 2 本画册， 2 本集邮册，此时赠送方法有 2 4 6C种。总的赠送方法有10 种。 53 (8)曲线 y= 2 x e+1 在点 (0，2)处的切线与直线y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为 (A) 1 3 (B) 1 2 (C) 2 3 (D)1 【思路点拨】利用导数求出点（0，2）切线方程然后分别求出与直线y=0 与 y=x 的交 点问题即可解决。 【精讲精析】选A. 2 0 2,|2 x r yey切线方程是： 22yx,在直角坐标系 中作出示意图，即得 121 1 233 S。 6 (9)设( )f x是周期为2 的奇函数，当0x 1 时，( )f x=2 (1)xx，则 5
7、 () 2 f= (A) - 1 2 (B) 1 4 (C) 1 4 (D) 1 2 【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量 5 2 转化到区间 0,1上 进行求值。 【精讲精析】选A. 先利用周期性，再利用奇偶性得: 5111 ()()() 2222 fff. 34 (10)已知抛物线C： 2 4yx的焦点为F，直线24yx与 C 交于 A，B 两点则 cosAFB= (A) 4 5 (B) 3 5 (C) 3 5 (D) 4 5 【思路点拨】方程联立求出A、B 两点后转化为解三角形问题。 【精讲精析】选D. 联立 2 4 24 yx yx ，消 y 得 2 540xx，解得
8、1,4xx. 不妨设 A 在 x 轴上方，于是A，B 的坐标分别为 (4,4),(1,-2), 可求3 5,5,2ABAFBF，利用余弦定理 222 4 cos 25 AFBFAB AFB AFBF . 42 (11)已知平面截一球面得圆M， 过圆心 M 且与成 0 60二面角的平面截该球面得 圆 N.若该球面的半径为4，圆 M 的面积为4，则圆 N 的面积为 (A)7(B)9(C)11(D)13 【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。 【精讲精析】选B. 作示意图如，由圆M 的面积为4，易得 22 2,2 3MAOMOAMA， Rt OMN中，30OMN o。 故 2 cos303,
9、39 .MNOMS o . 20 (12)设向量, ,a b c r r r 满足 1 | | 1,60 2 aba bac bc o rrr rrr rr ， 则|c r 的最大值等 于 (A)2 (B)3(c)2(D)1 【思路点拨】 本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图 形，然后分析观察不难得到当线段AC 为直径时，|c r 最大 . 【精讲精析】选A.如图，构造 ,120 ,60 ,ABa ADb ACcBADBCD oo uuu rr uuu rr u uu rr ， 所以 A、B、C、D 四点共圆，分析可知当线段AC 为直径时，|c r 最大，最大值为2. 45 (13)(1-
10、x)20的二项展开式中， x 的系数与x 9 的系数之差为 : . 【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意 rn r nn CC. 【精 讲精析】0. 由 20 120( ) r r TCx得x的系 数为 2 20 C, x 9 的系数为 18 20 C,而 182 2020CC. 17 (14)已知 a( 2 ，)， sin= 5 5 ，则 tan2= 【思路点拨】本题涉及到同角三角函数关系式,先由正弦值求出余弦值一定要注意角 的范围，再求出正切值，最后利用正切函数的倍角公式即可求解。 【精讲精析】 4 3 .由 a( 2 ，)， sin= 5 5 得 2 5sin1 co
11、s,tan 5cos2 , 2 2tan4 tan2 1 tan3 . 33 (15)已知 F1、F2分别为双曲线C: 2 9 x - 2 27 y =1 的左、右焦点，点AC，点 M 的坐标 为(2，0)，AM 为 F1AF2的平分线则 |AF2| = . 【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。 【精讲精析】 6. 由角平分线定理得： 22 12 11 | 1 ,|26 |2 AFMF AFAFa AFMF ,故 2 | 6AF. 39 (16)己知点E、 F 分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB, CF= 2FC1，则面 AEF 与
12、面 ABC 所成的二面角的正切值等于. 【思路点拨】 本题应先找出两平面的交线，进而找出或做出二面角的平面角是解决此 问题的关键 ,延长 EF 必与 BC 相交，交点为P，则 AP 为面 AEF 与面 ABC 的交线 . 【精讲精析】 2 3 .延长 EF 交 BC 的延长线于P，则 AP 为面 AEF 与面 ABC 的交线， 因为90CAP o ，所以FCA为面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的平面角。 2 2 3 tan 3 2 FC FCA CA 21 (17)(本小题满分l0 分)(注意：在试题卷上作答无效 ) ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c.己知 AC=90，
13、 a+c=2b，求 C. 【思路点拨】解决本题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系， 然后再结合AC=90,得到sincosAC.即可求解。 【精讲精析】选D.由90AC o ，得 A 为钝角且sincosAC， 利用正弦定理，2acb可变形为sinsin2sinACB， 即有sinsincossin2 sin(45 )2 sinACCCCB o ， 又 A、B、C 是ABC的内角，故 45CB o 或(45 )180CB oo (舍去 ) 所以(90)(45 )180ABCCCC ooo 。 所以15C o . 47 (18)(本小题满分12 分)(注意：在试题卷上作答无效
14、) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为05，购买乙种保险但不 购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立 (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率； ()X 表示该地的l00 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X 的期望。 【思路点拨】 解本题应首先主出该车主购买乙种保险的概率为p,利用乙种保险但不购 买甲种保险的概率为0.3，即可求出p=0.6.然后（ ii）利用相互独立事件的概率计算公 式和期望公式计算即可. 【精讲精析】 设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知：(10.5)0.3p，解得 0.6p。 （I）设所求概率为P1，则 1
15、1(10.5)(10.6)0.8P. 故该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率为0.8。 （II）对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(10.5)(10.6)0.2。 (100,0.2).1000.220XBEX: 所以 X 的期望是20 人。 39 44 （ 19 ） 如 图 ， 四 棱 锥SABCD中 ， /ABCD,BCCD，侧面SAB为等边三角 形，2,1ABBCCDSD. （）证明：SDSAB平面; （ )求AB与平面SBC所成角的大小 . 【思路点拨】本题第（I）问可以直接证明，也 可建系证明。 （II）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题
16、转化为数值 计算问题 ,思路清晰思维量小。 【精讲精析】计算SD=1，5,2ADSA，于是 222 SASDAD，利用勾股定 理，可知 SDSA，同理，可证SDSB 又SASBSI， 因此，SDSAB平面. （II）过 D 做DzABCD平面，如图建立空间直角坐标系D-xyz ， A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0), 13 (,0,) 22 S 可计算平面SBC 的一个法向量是(0,3,2),(0,2,0)nAB ru uu r |2 321 |cos,| 7| |2 7 AB n AB n ABn uuu r r uu u r r uu u rr. 所以 AB 与平面 S
17、BC 所成角为 21 arcsin 7 . 14 （20）设数列 n a满足 1 0a且 1 11 1. 11 nn aa （）求 n a的通项公式； （）设 1 1 1 ,1. n n nnkn k a bbS n 记S证明： 【思路点拨】 解本题突破口关键是由式子 1 11 1. 11 nn aa 得到 1 1 n a 是等差数 列，进而可求出数列 n a的通项公式 .（II）问求出 n b的通项公式注意观察到能采 用裂项相消的方式求和。 【精讲精析】(I) 1 1 n a 是公差为1 的等差数列， 1 11 (1) 1. 11 n nn aa 所以 1( ) n n anN n (II)
18、 1 1 1 11 1 1 n n n a n b nnnn 1 1111111 ()()()11 122311 n nk k Sb nnn L. 35 （21）已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 2 2 :1 2 y Cx在 y 轴正半轴上的焦点，过F 且 斜率为-2的直线l与C 交与A 、B 两点，点P 满足 0.OAOBOP uu u ruuu ruuu r ()证明：点P 在 C 上； （）设点P 关于点 O 的对称点为Q，证明： A、P、B、Q 四点在同一圆上. 【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本 思路， 注意把0.OAOBOP u uu ru uu ru uu r
19、 用坐标表示后求出P 点的坐标， 然后再结合直线方 程把 P 点的纵坐标也用A、B 两点的横坐标表示出来。从而求出点P 的坐标代入椭圆 方程验证即可证明点P 在 C 上。 (II) 此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明 ,APBAQB互补 .通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用 倒角公式。 思路二： 根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平 分线的交点找出圆心N，然后证明N 到四个点A、B、P、Q 的距离相等即可. 【精讲精析】(I)设 1122 (,),(,)A xyB xy 直线:21lyx，与 2 2 1 2 y x联立得 2 42 21
20、0xx 12 6262 , 44 xx 1212 21 , 24 xxx x 由0.OAOBOP uu u ru uu ru uu r 得 1212 ( (),()Pxxyy 12 2 () 2 xx, 121212 ()(2121)2()21yyxxxx 2 22( 1) ()1 22 所以点 P在 C 上。 （II）法一： 12 12 12 12 ( 1)( 1) 22 ()() 22 tan ( 1)( 1) 1 1 22 ()() 22 PAPB PAPB yy xx kk APB yy kk xx 2121 1212 3()4() 33 29 3() 22 xxxx x xxx 同理
21、 21 21 21 21 11 22 () 22 tan 11 1 1 22 () 22 QBQA QAQB yy xx kk AQB yy kk xx 1221 1212 ()4() 3 21 3() 22 xxxx x xxx 所以,APBAQB互补， 因此 A、P、B、Q 四点在同一圆上。 法 二 ： 由 2 (, 1) 2 P和 题 设 知 ， 2 (,1) 2 Q,PQ的 垂 直 平 分 线 1 l的 方 程 为 2 2 yx 设 AB 的中点为M，则 2 1 (,) 42 M，AB 的垂直平分线 2 l的方程为 21 24 yx 由得 1 l、 2 l的交点为 2 1 (, ) 8
22、8 N 222213 11 |()( 1) 2888 NP, 2 21 3 2 |1(2)| 2 ABxx 3 2 | 4 AM, 22 22113 3 |()() 48288 MN, 22 3 11 | 8 NAAMMN 故| |NPNA.| |,| |NPNQNANB 所以 A、P、B、Q 四点在同一圆圆N 上. 53 46 （22） （本小题满分12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） （）设函数 2 ( )ln(1) 2 x f xx x ，证明：当0x时，( )0f x ； （）从编号1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连 续抽取 20 次，设
23、抽得的20 个号码互不相同的概率为p.证明： 19 2 91 () 10 p e 【思路点拨】本题第（I）问是利用导数研究单调性最值的常规题，不难证明。 第(II)问证明如何利用第（ I）问结论是解决这个问题的关键也是解题能力高低的体现。 【精讲精析】 (I) 2 22 12(2)2 ( )0 1(2)(2) (1) xxx fx xxxx 所以( )fx在( 1,)上单增。 当0x时，( )(0)0f xf。 （II） 100999881 100100100100 pL 由(I)，当 x0 时，( )(0)0f xf,即有 2 ln(1) 2 x x x 故 1 () 91 10 19ln1
24、9ln(1)192 1 1010 22 10 于是 9 19ln 2 10 ee,即 19 2 91 () 10e . 利用推广的均值不等式： 12 12 ,0 n n ni xxx x xxx n L L 19 19 100999881 1009998819 100100100100 () 1001001001001910 p L L 另解： 2 11 (ln)( )0x xx ， 所以lnyx是上凸函数，于是 12 12 lnlnlnln n n xxx xxx n L L 因此 100999881 lnlnlnlnln 100100100100 pL 100999881 100100100100 19ln 19 L 9 19ln() 10 ， 故 199 () 10 p 综上： 19 2 91 () 10 p e