《2019-2020年高考数学《基本不等式》专题复习教学案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020年高考数学《基本不等式》专题复习教学案.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2019-2020 年高考数学基本不等式专题复习教学案 【知识梳理】一、基本不等式ab ab 2 1基本不等式成立的条件：a0，b0. 2等号成立的条件：当且仅当ab 时取等号 二、几个重要的不等式 a 2b22ab(a， bR)；b a a b 2(a，b 同号 )ab ab 2 2(a，bR)； ab 2 2a 2b2 2 (a， bR) 三、算术平均数与几何平均数 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为 ab 2 ，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 四、利用基本不等式求最值问题 已知 x0，y0，则： (1)如果积 xy 是定值 p，
2、那么当且仅当xy 时， xy 有最小值是2 p.(简记：积定和最 小) (2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当xy 时， xy 有最大值是 p 2 4 .(简记：和定积最大) 【基础自测】1函数 yx 1 x(x0)的值域为 _ 解析：x0， y x 1 x2，当且仅当 x1 时取等号答案：2， ) 2已知 m0，n0，且 mn81，则 mn 的最小值为 _ 解析：m0， n0， m n2mn18.当且仅当m n9 时，等号成立 3已知 01，则 x 4 x1的最小值为 _ 解析： x 4 x1 x1 4 x 1 1415.当且仅当x1 4 x1， 即 x3 时等号成立 答 案： 5 5
3、已知 x 0，y0， lg xlg y1，则 z 2 x 5 y的最小值为 _ 解析： 由已知条件lg xlg y1，可得 xy10. 则 2 x 5 y2 10 xy2，故 2 x 5 y min2，当且仅当 2y5x 时取等号 又 xy10， 即 x 2， y5 时等号成立答案： 2 1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正 各项均 为正； 二定 积或和为定值；三相等 等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现 错误 2对于公式ab2 ab， ab ab 2 2，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系， 两个公式也体现了ab 和 ab 的转化关系 3运用公式解题时
4、，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2b22ab 逆用就是ab a 2 b2 2 ；ab 2 ab(a，b0)逆用就是ab ab 2 2(a，b0)等还要注意“添、 拆项”技巧和公式等号成立的条件等 【考点探究】 考点一利用基本不等式求最值 【例 1】(1)已知 x0，则 f(x)24 x x 的最大值为 _ (2)(2012浙江高考 )若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是 _ 解(1)x0， x 0， f(x)2 4 x x2 4 x x . 4 x (x)2 44，当且仅当x 4 x，即 x 2 时等号成立 f(x)2 4 x x 24 2， f(x)
5、的最大值为 2. (2)x0，y0，由 x3y5xy 得1 5 1 y 3 x 1. 3x 4y 1 5 (3x 4y) 1 y 3 x 1 5 3x y 49 12y x 13 5 1 5 3x y 12y x 13 5 1 5 2 3x y 12y x 5(当且仅当x2y 时取等号 )， 3x4y 的最小值为5. 【一题多变】本例 (2)条件不变，求xy 的最小值 解： x0，y0，则 5xyx3y2 x 3y， xy12 25，当且仅当 x 3y 时取等号 【由题悟法 用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用 基本不等式求出最值在求条件最值时，一种方法是消元
6、，转化为函数最值；另一种方法是 将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论 哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件 【以题试法】 1(1)当 x0 时，则 f(x) 2x x 21的最大值为 _ (2)(2011天津高考 )已知 log2alog2b 1，则 3 a9b 的最小值为 _ (3)已知 x0，y0，xyx2y，若 xy m 2 恒成立，则实数m 的最大值是 _ 解析： (1) x0， f(x) 2x x 21 2 x1 x 2 2 1，当且仅当 x 1 x，即 x1 时取等号 (2)由 log2alog2b1 得 log2(ab)
7、1， 即 ab2， 3a9b3a32b23a2b 2 (当且仅当 3 a 32b，即 a2b 时取等号 ) 又 a 2b2 2ab4(当且仅当a2b 时取等号 )， 3a9b23218. 即当 a2b 时， 3a9b有最小值18. (3)由 x0， y0， xy x2y22xy，得 xy8， 于是由 m2xy 恒成立， 得 m2 8， 即 m10.故 m 的最大值为10. 考点二多元均值不等式问题 【例 2】设 x，y，z 为正实数，满足x2y 3z0，则 y 2 xz的最小值是 _ 解析： 由已知条件可得yx 3z 2 ， 所以 y 2 xz x 29z2 6xz 4xz 1 4 x z 9
8、z x 6 1 4 2 x z 9z x 6 3， 当且仅当 xy3z 时， y 2 xz取得最小值 3. 【 以题试法】若 , ,0a b c 且 ()42 3a abcbc , 求 2abc 的最小 值 . 2 , ,0,2()() 2 ()()2 2 42 32 32, 31. 22 32. a b cabcabac ab acaabacbc bc bca abc 解：由知 当且仅当 即时，等号成立 故的最小值为 考点三基本不等式的实际应用 【例 3】(2012 江苏高考 )如图，建立平面直角坐标系xOy， x 轴在地平面上，y 轴垂 直于地平面，单位长度为1 千米，某炮位于坐标原点已知
9、炮弹发射后的轨迹在方程y kx 1 20(1k 2)x2(k0)表示的曲线上， 其中 k 与发射方向有关 炮的射程是指炮弹落 地点的横坐标(1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小 )，其飞行高度为3.2 千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由 解(1)令 y0，得 kx 1 20(1k 2)x2 0，由实际意义和题设条件知 x0， k0， 故 x 20k 1k 2 20 k 1 k 20 2 10，当且仅当k1 时取等号 所以炮的最大射程为10 千米 (2)因为 a0，所以炮弹可击中目标? 存在 k 0，使 3.2ka 1 20(1k 2)a2
10、 成立 ? 关于 k 的方程 a 2 k 220aka2640 有正根 ? 判别式 (20a)24a2(a264)0 ? a6. 所以当 a 不超过 6 千米时，可击中目标 【由题悟法】利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题 目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求 解 (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基 本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解. 【以题试法】 2(2012 福州质检 )某种商品原来每件售价为25 元，
11、年销售8 万件 (1)据市场调查， 若价格每提高1 元，销售量将相应减少2 000 件，要使销售的总收入不 低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革 新和营销策略改革，并提高定价到x 元公司拟投入 1 6(x 2600)万元作为技改费用，投入 50 万元作为固定宣传费用，投入 1 5x 万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量 a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时 每件商品的定价 解： (1)设每件定价为t 元，依题意，有 8 t25 1 0.2 t258， 整理
12、得 t 265t1 000 0，解得 25t 40. 因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40 元 (2)依题意， x25 时，不等式ax25850 1 6(x 2600)1 5x 有解， 等价于 x25 时， a 150 x 1 6x 1 5有解 150 x 1 6x2 150 x 1 6x10(当且仅当 x30 时，等号成立 )， a10.2. 因此当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2 万件时，才可能使明年的销售收入不低 于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30 元 【巩固练习】 1函数 y x 2 2 x1 (x1)的最小值是 _ 解析： x1， x10. y
13、x 22 x1 x 22x2x2 x1 x 22x 12 x1 3 x 1 x1 22 x1 3 x1 x1 3 x1 22 x1 3 x1 22 32. 当且仅当 x1 3 x1，即 x1 3时，取等号 2设 a0，b0，且不等式 1 a 1 b k ab0 恒成立，则实数 k 的最小值等于_ 解析： 由 1 a 1 b k ab0 得 k ab 2 ab ，而 ab 2 ab b a a b24(ab 时取等号 )，所 以 ab 2 ab 4，因此要使k ab 2 ab 恒成立，应有k4，即实数k 的最小值等于 4. 3.求函数 2 2 5 4 x y x 的值域 . 解：令 2 4(2)
14、xt t，则 2 2 5 4 x y x 2 2 11 4(2) 4 xtt t x 因 1 0,1tt t ，但 1 t t 解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性. 因为 1 yt t 在区间1,单调递增， 所以在其子区间2,为单调递增函数， 故 5 2 y. 所以，所求函数的值域为 5 , 2 . 4、求函数 2 1 (1) 2(1) yxx x 的最小值 . 解析： 2 1 (1) 2(1) yxx x 2 1 (1)1(1) 2(1) xx x 2 111 1(1) 222(1) xx x x 3 2 111 31 222(1) xx x 3 1 2 5 2 ， 当且仅当 2
15、 11 (1) 22(1) x x x 即2x时，“=” 号成立，故此函数最小值是 5 2 . 5. 求函数 23 (32 )(0) 2 yxxx的最大值 解： 3 0,320 2 xx， 2 3 (32 )(0)(32 ) 2 yxxxx xx 3 (32 ) 1 3 xxx ，当且仅当3 2x x即 1x时， “=”号成立，故此函数最 大值是 1 6.已知 x，y 为正实数，且x 2y 2 2 1，求 x 1y 2 的最大值 . 解：x 1 2 y 2 2 x 2 ( 1 2 y 2 2 ) 2 2 x 2 y 2 2 1 2 2 3 4 即x1y 2 2 x 1 2 y 2 2 3 4
16、2 7.已知 ab0,求 a+ )( 1 bab 的最小值 . 8已知函数f(x) x p x1(p 为常数，且 p 0)若 f(x)在(1， )上的最小值为4，则实数p 的值为 _ 解析： 由题意得x 10，f(x)x1 p x1 12 p1，当且仅当xp1 时取等 号，因为f(x)在(1， )上的最小值为4，所以 2p14，解得 p9 4. 9已知 x 0，a 为大于 2x 的常数， (1)求函数 yx(a2x)的最大值；(2)求 y 1 a2xx 的最小值 解： (1)x0，a2x， yx(a2x) 1 22x(a2x) 1 2 2x a2x 2 2a 2 8 ，当且仅当xa 4时取等号
17、，故函数的最大值为 a 2 8 . (2)y 1 a2x a2x 2 a 22 1 2 a 2 2a 2. 当且仅当 x a2 2 时取等号故y 1 a2xx 的最小值为 2 a 2. 10正数 x，y 满足 1 x 9 y 1. (1)求 xy 的最小值；(2)求 x2y 的最小值 解： (1)由 11 x 9 y 2 1 x 9 y得 xy 36，当且仅当 1 x 9 y ，即 y9x18 时取等号，故xy 的最小值为36. (2)由题意可得x 2y(x2y) 1 x 9 y 19 2y x 9x y 192 2y x 9x y 19 6 2， 当且仅 当2y x 9x y ，即 9x22
18、y2时取等号，故x2y 的最小值为196 2. 11若 x，y (0， )， x2yxy 30. (1)求 xy 的取值范围；(2)求 xy 的取值范围 解： 由 x2yxy30，(2x)y30x， 则 2x0，y 30x 2x 0,0x30. (1)xy x230x x2 x 22x 32x64 64 x2 x 64 x232 x2 64 x2 3418，当且仅当x6 时取等号， 因此 xy 的取值范围是(0,18 (2)x yx 30x 2x x 32 x21 x2 32 x238 23，当且仅当 x4 22， y4 21 时等号成立，又xyx 2 32 x2330，因此 xy 的取值范围是 823,30)