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1、图二 a b c C B A 图一 c a b A B C 2019-2020 年高考数学一轮复习解三角形学案理 知识梳理： 1、直角三角形各元素之间的关系: 如图 1, 在 RtABC中，C=，BC=a，AC=b ，Ab=c。 （1） 、三边之间的关系：+=； （勾股定理） （2） 、锐角之间的关系：A+B= （3） 、边角之间的关系： （锐角三角函数的定义）： sinA=cosB= sinB=cosA= ,tanA 2、斜三角形各元素之间的关系：如图2，ABC中，A、B、C为其内角， a、 b、c 分别表示A、B 、 C的对边。 （1） 、三角形内角之间的关系：A+B+C= ； sin(A
2、+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC sin； cos； （2） 、三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3） 、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等；即 =2R (2R 为外接圆的直径) 正弦定理变形： （4） 、余弦定理： 余弦定理变形： 3、三角形的面积公式： （1） 、= a= b= c（，分别表示a，b，c 三边上的高） （2） 、= absinC= bcsinA=casinB （3） 、=2= （4） 、=；( 高考了解 ) （5） 、=rs （r 为内切圆半径，） 4、解三角形：由三角形的六个元素
3、（即三个内角和三条边）中的三个元素（其中至 少有一个是边）求其它未知元素的问题叫做解三角形，这里所说的元素还可以包括三 角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等等，解三角形问题一 般可以分为下面两个情形：若给出是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三 角形为斜三角形，则称为解斜三角形。 5、实际问题中的应用。 （1） 、仰角和俯角： （2） 、方位角： （3） 、坡度角： （4） 、距离、角度的测量 测量距离问题；测量高度问题；测量角度问题。 D C B A H G E D E B A 小河流 小河流 C AB C D B A 二、题型探究 探究一：利用正余弦定理解三角形
4、例 1: (2014 安徽 ) （本小题满分12 分） 设 ABC的内角 A,B,C 所对边的长分别是a,b,c, 且 b=3,c=1,A=2B. ( )求 a 的值； ( ) 求 4 sin A的值 . 探究二 : 求三角形的面积 例 3：已知 a、b、c 分别表示 A、B、C的对边， A，B，C成等差数列， cosA=，b= （1） 、求 sinC 的值 （2） 、求的面积。 例 4：已知三个内角A、B、C成等差数列，其外接圆的半径为1，且有 sinA-sinC+ cos(A-C)= （1） 、求 A ，B，C大小； 例 5：已知三个内角 A，B， C成等差数列， 三边 a、b、c 成等比
5、数列， 证明 为正三角形。 探究三：判断三角形的形状 例 5：在中，已知asinA=bsinB ，试判断三角形的形状； 例 6：在中，已知acosA=bcosB，试判断三角形的形状； 例 7：在中，已知acosB=bcosA，试判断三角形的形状； 探究四：正余定理的实际应用 (2014 上海 ) （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满 分 8 分. 如图，某公司要在AB、两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶 端，AC长 35 米，CB长 80 米，设AB、在同一水平面上，从 A和B看D的仰角 分别为和. （1）设计中CD是铅垂方向，若要求2，问C
6、D的长至多为多少（结果 精确到 0.01 米）？ （2）施 工 完 成 后 .CD与 铅 垂 方 向 有 偏 差， 现 在 实 测 得 ， 45.1812.38求CD的长（结果精确到0.01 米）？ 三、方法提升： （1） 、解斜三角形的常规思维方法： 已知两角和一边，可先用正弦定理解； 已知两边和夹角，先用余弦定理，之后再用正弦定理； 已知两边及一边所对的角，应用正弦定理，再由正弦定理或余弦定理求解，这种情况 要结合图形讨论解的情况； 已知三边，用余弦定理。 （2） 、三角形的内切圆半径R=，特别地，= （3） 、三角形中中射影定理 （4） 、两内角与正弦关系：在中， AcosA+cosB+
7、cosC; tanAtanBtanC1 四、反思感悟 五、课时作业 正弦、余弦定理的应用 一、选择题（每小题6 分，共 60 分） 1 在 ABC中， “30A”是“ 2 1 sin A”的（） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 2ABC中， A， B的对边分别为a,b ，且 A=60，4,6 ba，那么满足条 件的 ABC （） A有一个解 B有两个解 C无解D不能确定 3 在三角形ABC中, 如果BAcossin, 那么这个三角形是（） A直角三角形B 锐角三角形 C钝角三角形D 直角三角形或钝角三角形 4 已知ABC中，2a，3b，60B，那么角A等于
8、（） A135B90C45D30 5ABC的内角 A、B、C的对边分别为a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且2ca， 则cosB A 1 4 B 3 4 C 2 4 D 2 3 6 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A= 3 ,a=3,b=1， 则c= ( ) A 1 B 2 C 31 D 3 7 在ABC中， AB=3 ，AC=2 ， BC=10，则AB AC ( ) A 2 3 B 3 2 C 3 2 D 2 3 8 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a 2+c2- b 2 3ac, 则角B的值为 （） A. 6 B. 3 C. 6 或 5 6 D. 3
9、 或 2 3 9 设 A是 ABC中的最小角，且 1 1 cos a a A ，则实数a的取值范围是（） Aa3 Ba 1 C 1a 3 Da0 10 在ABC中，若三个内角A，B，C成等差数列且ABC，则 coscosAC 的取值范围 是（） A 11 (, 2 4 B 3 1 , 4 4 C 11 (,) 2 4 D 3 1 (,) 4 4 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题（本大题共4 小题，每题6 分，共 24 分） 11 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边， 已知3,3,30 ,abC则 A 12 在 ABC中 , 若 B=30 0，AB=2
10、 3，AC=2 ，则 ABC的面积 S是 13ABC的内角ABC， ，的对边分别为abc， ，若CaAcbcoscos3，则 Acos 16 在ABC中，角ABC， ，的对边分别为tan3 7abcC， ， ， （1）求cosC； （ 2）若 5 2 CB CA ，且9ab，求c. 17 在ABC中，内角ABC， ，对边的边长分别是abc， ，已知2c， 3 C （）若ABC的面积等于3，求ab，； （）若sin2sinBA，求ABC的面积 15 解： （I）由题意得21ABBCAC，2BCACAB， 两 式 相 减 ， 得1AB （ II ） 由ABC的 面 积 11 sinsin 26 BC ACCC， 得 1 3 BC AC， 222 cos 2 ACBCAB C AC BC 22 ()21 22 ACBCAC BCAB AC BC ， 60C 16 解： （1） sin tan3 73 7 cos C C C ，又 22 sincos1CC解得 1 cos 8 Ctan0C，C是锐角 1 cos 8 C （2） 5 2 CB CA， 5 cos 2 abC，20ab 又9ab 22 281aabb 22 41ab 222 2cos36cababC6c 17 解： （）由余弦定理得， 22 4abab，又 1 sin3 2 abC，得4ab