2019-2020年高考数学一轮复习专题6.5数列的综合应用讲.pdf

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1、2019-2020 年高考数学一轮复习专题6.5 数列的综合应用讲 考点考纲内容五年统计分析预测 与 数 列 有 关 的 综合问题 1. 理解等差数列、 等比数列 的概念，掌握等差数列、等 比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用. 2了解等差数列与一次函 数、等比数列与指数函数的 关系 . 3会用数列的等差关系或 等比关系解决实际问题. 2017 浙江 6,22 ； 2016 浙江文 8; 理 6,20 ； 2015 浙江理 20； 2014 浙江文 19；理 19. 1.高频考向 : 根据数列的递推式 或者通项公式确定基本量，选择 合适的方法求和，进一步证明不 等式 2.低频考向: 数列

2、与函数相结 合. 3.特别关注 : （ 1）灵活选用数列求和公式的 形式，关注应用公式的条件； （ 2）熟悉分组求和法、裂项相 消法及错位相减法； （3) 数列求和与不等式证明、不 等式恒成立相结合求解参数的 范围问题. 等差数列等比数列 定义 1nn aa常数 1n n a a 常数 通项公式 1 (1) n aand)0( 1 1 1 qaqaa n n 判定方法 (1) 定义法； (2) 中项公式法： 21 2 nnn aaanN? n a 为等差数列； (3) 通项公式法： n apnq(,p q 为常数 ,nN) ? n a为等差数 列； (4) 前n项和公式法： 2 n SAnBn

3、(,A B为常数 , nN) ?na为等差数列； (5) na为等比数列，且0na， 那么数列log an a (0a，且 1a) 为等差数列 (1) 定义法 (2) 中项公式法： 2 12nnn aaa nN (0 n a ) ?na为等比数 列 (3) 通项公式法： n n acq (,c q均是不 为 0 的常数，nN) ? n a为等比数 列 (4) n a为等差数列 ? n a A( n a A总有 意义 ) 为等比数列 性质 (1) 若m，n，p，qN ，且 mnpq， 则 mnpq aaaa (2) () nm aanm d (3) 232 , nnnnn S SS SS，仍成

4、等差数列 (1) 若m，n，p，qN ，且 mnpq，则 mnpq aaaa (2) mn mn qaa (3) 等比数列依次每n项和 (0 n S) ，即 232 , nnnnn S SS SS，仍成等比数列 前n项和 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snad 1q时， 1 naSn；当1q时， q qa S n n 1 )1( 1 或 1 1 n n aa q S q . 【答案】. 二数列求和 1. 等差数列的前n和的求和公式： 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snad. 2等比数列前n项和公式 一般地，设等比数列 123 , n a aaa的前n项和

5、是 n S 123n aaaa， 当1q时， q qa S n n 1 )1( 1 或 1 1 n n aa q S q ；当1q时， 1 naSn（错位相减法）. 3. 数列前n项和 重要公式： （1） 1 n k k123n 2 )1(nn （2） 1 (21) n k k13521n 2 n （3） 3 1 n k k 2 333 ) 1( 2 1 21nnn （4） 2 1 n k k)12)(1( 6 1 321 2222 nnnn 等差数列中， m nmn SSSmnd； 等比数列中， nm m nnmmn SSq SSq S. 对点练习： 【2017 届浙江台州中学高三10 月月

6、考】在等差数列 n a中， 1 3a，其前n项和为 n S，等 比数列 n b的各项均为正数， 1 1b，公比为q，且 22 12bS， 2 2 S q b （1）求 n a 与 n b ； （2）证明： 3 2111 21n SSS 【答案】（1）3 n an， 1 3 n n b； （2）详见解析 . 试题解析： （ 1） 设 n a的公差为d， 22 2 2 12bS S q b ， 61 2 6 qd d q q ， 解得3q或4q （舍），3d， 故33(1)3 n ann， 1 3 n n b； （2） (33 ) 2 n nn S， 122 11 () (33 )31 n Snn

7、nn ， 故 12 1112111111121 (1)()()()(1) 322334131 n SSSnnn ， 1n， 11 0 12n ， 11 11 21n ， 1212 (1) 3313n ， 即 12 11112 33 n SSS . 【考点深度剖析】 数列求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或 稍难，数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、 函数、最值等问题综合. 【重点难点突破】 考点 1 等差数列和等比数列的综合问题 【1-1 】 【2017杭州调研】已知数列an，bn中， a1 1，bn 1 a 2 n

8、a 2 n1 1 an1，nN *，数列 bn 的前 n 项和为 Sn. (1) 若 an2 n1，求 S n； (2) 是否存在等比数列an，使 bn2Sn对任意 nN * 恒成立？若存在，求出所有满足条件的数 列an 的通项公式；若不存在，请说明理由； (3) 若 an是单调递增数列，求证：Sn0，0 an an 11，于是 0 a 2 n a 2 n11. bn 1 a 2 n a 2 n1 1 an1 1 an an1 1 an an1 1 an1 1 an an1 1 an 1 an1 an an12 1 an 1 an1 . 故 Snb1b2 bn 2 1 a1 1 a2 2 1

9、a2 1 a3 2 1 an 1 an1 2 1 a1 1 an1 2 1 1 an1 2. 所以 Sn2. 【1-2 】已知等比数列an的各项均为正数，且2a13a2 1，a 2 39a2a6. (1) 求数列 an 的通项公式； (2) 设bn log 3an，求数列 1 bnbn1 的前n项和Tn. 【答案】（1）an 1 3 n； （2） n 4（n1） (2) an 1 3 n，bn log 3 1 3 n 2n， 从而 1 bnbn1 1 4n（n1） 1 4 1 n 1 n1 ， Tn 1 4 11 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 1 4 1 1 n1 n 4（n1）. 【

10、领悟技法】 1公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们 可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求和. 对于一些特殊的数列（正整数数列、正整 数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和. 2倒序相加法：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法，如果一个数列 n a的前n项 中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用 倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的 3错位相减法： 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的， 那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式

11、就是用此法推导的 若 nnn abc，其中 n b是等差数列， n c是公比为q等比数列，令 1 12211nnnnn Sbcb cbcb c，则 n qS 122311nnnn bcb cbcb c两式错位相减 并整理即得 . 4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在 求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂 项相消法 . 适用于类似 1nn c a a （其中 n a 是各项不为零的等差数列， c为常数）的数列、 部分无理数列等. 5. 易错提示 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面： (

12、1) 裂项过程中易忽视常数，如) 2 11 ( 2 1 )2( 1 nnnn 容易误裂为 11 2nn ，漏掉前面的系数 1 2 ； (2) 裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误 应用错位相减法求和时需注意： 给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论； 在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n. 【触类旁通】 【变式一】【2017东北三省四校模拟】已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn，公差 d0，且 S3 S550，a1，a4，a13成等比数列 . (1) 求数列 an 的通项公式； (2) 设 bn an 是首项为1，公比为3 的等比数

13、列，求数列bn 的前 n项和 Tn. 【答案】 (1)a n2n1.(2)Tnn3 n. (2) bn an3 n1， b nan3 n1(2n 1)3n1， Tn35373 2 (2n 1)3n 1， 3Tn3353 2733 (2n 1)3n1(2n1)3n， 两式相减得， 2Tn 32323 2 23n1(2n 1)3n 32 3（13 n1） 13 (2n 1)3 n2n3n， Tnn3 n. 【变式二】在数列an 中， a12，a212，a354，数列 an1 3an 是等比数列 (1) 求证：数列 an 3 n1是等差数列； (2) 求数列 an 的前 n 项和 Sn. 【答案】

14、(1) 证明：见解析(2)n1 2 3 n1 2. 【解析】 (1) 证明： a12，a212，a354， a23a16，a33a218. 又数列 an13an 是等比数列， an13an63 n 123n，an1 3 n an 3 n12， 数列 an 3 n1是等差数列 (2) 由 (1) 知数列 an 3 n 1是等差数列， an 3 n1 a1 3 0(n 1)2 2n， an2n3 n1. Sn213 02231 2n3n1， 3Sn213223 2 2n3n . Sn3Sn213 02 13 213n 12n3n213 n 13 2n3 n3n1 2n3 n， Sn n1 2 3

15、n1 2. 考点 2 数列的综合应用 【2-1 】 【安徽省六安市第一中学2018 届高三上学期第二次月考】某公司为激励创新，计划逐 年加大研发奖金投入 . 若该公司2015 年全年投入研发资金130 万元，在此基础上，每年投入 的研发资金比上一年增长12% ，则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是 （参 考数据：） （） A. 2021 年 B. 2020年 C. 2019年 D. 2018年 【答案】 C 【2-2 】已知 2 3 ,0,3 1 x fxx x ，已知数列 n a满足03, n anN，且 122010 670aaa，则 122010 ()()()f af

16、af a( ) A有最大值6030 B . 有最小值6030 C.有最大值6027 D . 有最小值6027 【答案】 A 【解析】 1 ( )3 3 f，当 122010 1 3 aaa时， 122010 ()()()f af af a=6030 对于函数 2 3 ( )(03) 1 x f xx x , 19 ( ) 316 kf, 在 1 3 x处的切线方程为 91 3() 103 yx即 3 (11) 10 yx， 则 2 2 331 (11)(3)()0 1103 x fxxxx x 成立， 所以03, n anN时，有 3 (113) 10 nn faa 122010 ()()()

17、f af af a 122010 3 11 20103()6030 10 aaa. 【2-3 】 【2017 届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4 月联考】数列 na 中， 1 1 2 a， 2 * 1 2 1 n n nn a anN aa （）求证： 1nn aa； （）记数列 n a的前n项和为nS，求证：1nS 【答案】 ( ) 见解析； ( ) 见解析. 2 1 2 11 22 111111 11 11111 111111 11 11 1 n n nn nnnnnn nn a a aaa aaaaaa aa 112 22 2233 11 1111 nnn nnnn aaa aaaa ，

18、一个一个地变形最后可得 11 1 n aa，从而证得题中不等式也可利用裂项方法，由已知递推式得 1 11 11 n nn a aa ，这样也可求得和式 n S，完成不等式的证明. 试题解析： 证： （ 1）因为=，且，所以， 所以 所以，. （2） ，所以. （）证法2：， . ， ， ， 所以. 【2-4 】 【2017 届浙江省台州市高三4 月一模】已知数列满足： . （1）求证：； （2）求证：. 【答案】 (1) 见解析 ;(2) 见解析 . 所以，因为， 所以. （2）假设存在， 由（ 1）可得当时， 根据，而， 所以. 于是， . 累加可得（* ） 由（ 1）可得， 而当时，显然有

19、， 因此有， 这显然与（ * ）矛盾，所以. 【领悟技 法】 1. 数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n项 和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解 决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题 数列与不等式的结合，一般有两类题：一是利用基本不等式求解数列中的最值；二是与数列 中的求和问题相联系，证明不等式或求解参数的取值范围，此类问题通常是抓住数列通项公 式的特征，多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式，求解参数的取值范围 以数列为背景的不等式恒成立问题，或不等式的证明问题，多与数列求和相联系，

20、最后利用 函数的单调性求解，或利用放缩法证明. 解决数列和式与不等式证明问题的关键是求和，特别是既不是等差、等比数列，也不是等差 乘等比的数列求和，要利用不等式的放缩法，放缩为等比数列求和、错位相减法求和、裂项 相消法求和，最终归结为有限项的数式大小比较 数列与不等式综合的问题是常见题型，常见的证明不等式的方法有：作差法；作商法； 综合法；分析法；放缩法. 2. 数 列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关 性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决 3. 处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论 成立

21、，然后在这个前提下进行逻辑推理若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结 论，其中反证法在解题中起着重要的作用还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒成 立的条件求解 4. 解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析 法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题数列与解析几何的综合问题 解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列 的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解 5. 数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质等差数列和等比数列是两种最基本、 最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方

22、程、不等式、三角等内容有着 广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的 进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注 数列与函数的综合问题，解决此类问题时要注意把握以下两点： (1) 正确审题，深抠函数的性质与数列的定义； (2) 明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征 【触类旁通】 【变式一】【2017 届浙江省杭州市高三4 月二模】 已知数列 n a的各项均为非负数，其前n项 和为 n S，且对任意的 * nN，都有 2 1 2 nn n aa a. （1）若 1 1a， 505 2017a，求 6 a的最大值； （2）若对任意 * nN，都有1

23、n S，求证： +1 2 0 1 nn aa n n . 【答案】（1）见解析（ 2）见解析 61125 aaddd，便可求出 6a 的最大值；（2）首先假设 1kkaa ，根据已知条件 2 1 2 nn n aa a得 112kkkk aaaa，于是通过证明对于固定的k值，存在 12 1 n aaa，由此得出与1 n S矛盾，所以得到 1 0 nn aa，再设 1kkk baa， 则根据 121nnnn aaaa可得 1, 0 kkk bbb，接下来通过放缩，可以得到 1123 n n b，于是可以得出要证的结论. 试题解析：（1）由题意知 121nnnnaaaa ，设 1iiidaa 1,

24、2,504i， 则 123504 dddd，且 123504 2016dddd， 125 5 ddd 67504 409 ddd125 2016 409 ddd ， 所以 125 20ddd， 61125 21aaddd. （2）若存在 * kN，使得 1kk aa，则由 2 1 2 nn n aa a， 得 112kkkk aaaa， 因此，从 n a项开始，数列 n a严格递增， 故 12n aaa 1kkn aaa1 k nka， 对于固定的k，当n足够大时，必有 12 1 n aaa，与题设矛盾，所以 n a不可能递 增，即只能 1 0 nn aa. 令 1kkk baa， * kN，

25、 由 112kkkk aaaa，得 1kk bb，0 k b， 故 12 1 n aaa 122n baaa 1233 2 n bbaaa， 12 2 nn bbnbna 1 12 2 nn n n n bb， 所以 2 1 n b n n ， 综上，对一切 * nN，都有 1 2 0 1 nn aa n n . 【变式二】【2017 届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下五校联考】已知 数列 n a中，满足 11 11 , 22 n n a aa记 n S为 n a前 n 项和 （I ）证明： 1nn aa； （）证明： 1 cos 3 2 nn a （）证明： 2 27 54

26、 n Sn. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 试 题解析：证明： （I ）因 222 1 2212112, nnnnnn aaaaaa 故只需要证明1 n a即可3分 下用数学归纳法证明： 当1n时， 1 1 1 2 a成立 假设nk时，1 k a成立， 那么当1nk时， 1 111 1 22 k k a a， 所以综上所述，对任意n，1 n a6分 （）用数学归纳法证明 1 cos 3?2 nn a 当1n时， 1 1 cos 23 a成立 假设nk时， 1 cos 3?2 k k a 那么当1nk时， 1 1 cos1 1 3? 2 cos 223? 2 k k k k

27、a a 所以综上所述，对任意n， 1 cos 3?2 nn a10 分 （） 2 22 11 11 11 11sin 223? 23? 2 nn nnn aa a 得 2 1 1 2 1 9?4 n n a 12 分 故 222 1 2 211241127 11 9?4229316454 n nin i Snn 15 分 【易错试题常警惕】 易错典例：【2016 高考浙江理数】设数列 n a满足 1 1 2 n n a a，n （I ）证明： 1 1 22 n n aa，n； （II ）若 3 2 n n a，n，证明： 2 n a，n 易错分析： 一是不能正确理解题意，二是在证明过程中不能正

28、确第进行不等式的放缩. 试题解析：（I ）由 1 1 2 n n a a得 1 1 1 2 nn aa，故 1 1 1 222 nn nnn aa ，n， 所以 112231 112231 22222222 nnn nnn aaaaaaaa 121 111 222 n 1， 因此 1 1 22 n n aa （II ）任取n ，由（ I）知，对于任意mn， 1121 1121 22222222 nmnnnnmm nmnnnnmm aaaaaaaa 11 111 222 nnm 1 1 2 n ， 故 1 1 2 22 mn n nm a a 1 113 2 222 m n nm 3 22 4

29、m n 从而对于任意mn，均有 3 22 4 m n n a 由m的任意性得2 n a 否则，存在 0 n，有 0 2 n a，取正整数 0 0 03 4 2 log 2 n n a m且 00 mn，则 0 03 0 4 00 0 2 log 2 33 222 44 n n a m mn n a ， 与式矛盾 综上，对于任意n ，均有2 n a 温馨提醒 ：（ I） 先利用三角形不等式及变形得 1 1 1 222 nn nnn aa ， 再用累加法可得 1 1 22 n n aa ， 进而可证 1 1 22 n n aa； （II ）由（ I ）的结论及已知条件可得 3 22 4 m n n

30、 a ，再 利用m的任意性可证 2 n a 【学科素养提升之思想方法篇】 -数列求和与比较大小 数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二 是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明. 在解 决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、 综合法、 分析法、放 缩法等 . 如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法. 【典例】数列an 是公比为 1 2的等比数列，且 1a2是 a1与 1 a3的等比中项，前n 项和为 Sn； 数列 bn是等差数列， b18，其前 n 项和 Tn满

31、足 Tnnbn1( 为常数，且1) (1) 求数列 an 的通项公式及 的值； (2) 比较 1 T1 1 T2 1 T3 1 Tn与 1 2S n的大小 【答案】 设bn 的公差为d， 又 T1b2， T22b3， 即 8， 16d 2， 解得 1 2， d8 或 1， d0 ( 舍) ， 1 2. (2) 由 (1) 知 Sn1 1 2 n， 1 2S n 1 2 1 2 n11 4， 又 Tn4n 24n，1 Tn 1 1 4 1 n 1 n 1 ， 1 T1 1 T2 1 Tn 1 4 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 1 4 1 1 n1 1 4， 由可知 1 T1 1 T2 1 Tn 1 2S n.